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PRODUIT SCALAIRE

DANS L'ESPACE

I. Produit scalaire de deux vecteurs

1) Définition

Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.

Définition :

On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.

On a ainsi :

- si ou est un vecteur nul,

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk

ABCDEFGH est un cube d'arête a.

uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 2

2) Propriétés

Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.

Démonstration :

Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.

3) Expression analytique du produit scalaire

Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .

Et en particulier : .

Démonstration :

En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .

On a en particulier : .

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E

On considère le repère de l'espace .

uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222
.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3

Alors : et soit .

Alors .

Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.

II. Vecteur normal à un plan

1) Définition et propriétés

Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

Démonstration :

Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, Hermann

Günther Grassmann (1809 ; 1877).

Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Démonstration (exigible BAC) :

- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .

Démontrons que () est orthogonale à .

peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).

Il existe donc deux réels x et y tels que .

Donc , car est orthogonal avec et .

Donc est orthogonal au vecteur .

Et donc est orthogonale à ().

Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan

Vidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4

ABCDEFGH est un cube.

Démontrer que le vecteur est normal au plan

(ABG).

On considère le repère .

Dans ce repère : ,,,,.

On a ainsi :

, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan

Vidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU

Dans un repère orthonormé, soit et .

Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).

d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21
AB 2 0 2 C 5

On a : et .

Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soit

Prenons par exemple, alors et .

Le vecteur est donc normal au plan (ABC).

2) Equation cartésienne d'un plan

Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.

Démonstration (exigible BAC) :

- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 230
20 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation

Alors le point vérifie l'équation .

Et donc E.

Soit un vecteur . Pour tout point , on a :

E est donc l'ensemble des points tels que .

Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .

Exemple :

Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point et de vecteur normal . x MyP z AM n.0AMnÛ= 0 0 AAA AAA axxb yyc zz axbyc zaxby cz

Ûax+by+cz+d=0

d=-ax A -by A -cz A a¹0 x My z ax+by+cz+d=0 ;0;0 d A a ax+by+cz+d=0 AÎ a nb c x My z .000 d

AMna xby cz axbyc zd

a x My z .0AMn=n x-y+5z+1=0 1 1 5 n 1 2 1 A 3 3 1 n 7 Une équation cartésienne de P est de la forme . Le point A appartient à P donc ses coordonnées vérifient l'équation : donc .

Une équation cartésienne de P est donc .

3) Positions relatives d'une droite et d'un plan

Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE

Dans un repère orthonormé, le plan P a pour équation .

Soit et .

1) Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants.

2) Déterminer leur point d'intersection.

1) Un vecteur normal de P est .

(AB) et P sont sécants si et ne sont pas orthogonaux. On a Comme , on conclut que (AB) et le plan P ne sont pas parallèles et donc sécants.

2) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

3x-3y+z+d=0

313210d´--´ ++=

d=8

3x-3y+z+8=0

2x-y+3z-2=0

1 2 3 A 1 2 0 B 2 1 3 n n AB 2 0 3 AB .223350ABn=-´+´=¹ 8 avec t réel. Le point intersection de (AB) et de P vérifie donc le système suivant :

On a donc

soit .

D'où

Ainsi la droite (AB) et le plan P sont sécants en .

4) Positions relatives de deux plans

Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans

Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ

Dans un repère orthonormé, les plans P et P ' ont pour équations respectives et .

1) Démontrer que les plans P et P' sont sécants.

2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.

x=1-2t y=2 z=-3+3t x My z x=1-2t y=2 z=-3+3t

2x-y+3z-2=0

2122 33 320 tt--+-+-=

5t-11=0

t= 11 5 x=1-2´ 11 5 17 5 y=2 z=-3+3´ 11 5 18 5 1718
;2; 55
M -x+2y+z-5=0

2x-y+3z-1=0

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1) P et P' sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Un vecteur normal de P est et un vecteur normal de P' est . Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc leurs vecteurs ne sont pas colinéaires.

2) Le point de d, intersection de P et de P', vérifie donc le système suivant :

On choisit par exemple x comme paramètre et on pose . On a alors : Ce dernier système est une représentation paramétrique de d, avec ℝ. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. - Admis - 1 2 1 n 2 '1 3 n x My z -x+2y+z-5=0

2x-y+3z-1=0

x=t x=t -t+2y+z-5=0

2t-y+3z-1=0

x=t z=-2y+t+5 -y+3z=1-2t 25

3251 2

xt zyt yytt x=t z=-2y+t+5 -y-6y+3t+15=1-2t x=t z=-2y+t+5 -7y=-14-5t 5 2 7 5 225
7 xt yt ztt x=t y=2+ 5 7 t z=1- 3 7 t tÎ 10 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc

Dans un repère orthonormé, les plans P et P' ont pour équations respectives et . Démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires. Les plans P et P' sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de P est et un vecteur normal de P' est . Les vecteurs et sont orthogonaux donc les plans P et P' sont perpendiculaires.

2x+4y+4z-3=0

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