PRODUIT SCALAIRE
La norme du vecteur u ! notée u !
Annexe B : Les vecteurs Scalaires et vecteurs
On peut multiplier un vecteur U par un scalaire (un nombre réel) a : aU représente un nouveau vecteur de longueur (norme) a U et de même direction que U
Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui. • Forme analytique.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Dans le plan les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent. 3) Expression analytique du produit scalaire. Propriété : Soit et deux
Opérateurs différentiels
Pour un champ de vecteurs ce sont le rotationnel (un vecteur) la divergence (un scalaire) et le laplacien vectoriel (un vecteur). 1 Produit scalaire et
Le produit scalaire
Utiliser la formule du produit scalaire utilisant des coordonnées. 2. Vecteurs colinéaires. Si u et v sont colinéaires de même sens alors u? v
PRODUIT SCALAIRE
Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en. 1853. I. Définition et propriétés. 1) Norme d'un vecteur.
Alg`ebre linéaire 3 : normes produits scalaires
https://www.ceremade.dauphine.fr/~mischler/Enseignements/L2AL3/poly.pdf
Math2 – Chapitre 4 Champs scalaires et champs de vecteurs
Sans unités de mesure on peut supposer Hpyq “ y. En maths
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE. Exercice 1 : on considère le carré de centre et de côté 8. Calculer les produits scalaires suivants :.
Le produit scalaireLe produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de diverses façons.
C'est cette diversité qui en fait un outil puissant.A Expressions du produit scalaire1. DéfinitionSoient u et v deux vecteurs.Le produit scalaire des vecteurs
u et v est le nombre réel u⋅v=12 ∥u∥2 ∥v∥2 -∥v-u∥2 Conséquences•Si A, B et C sont trois points tels que
AB=u et AC=v, on a BC=BAAC=v-u, d'où l'égalité AB⋅AC=12AB2 AC2 -BC2.
u⋅u=u2 =∥u∥2; u2 est appelé carré scalaire de u.
0 ⋅u=02. Avec des coordonnéesDans le plan muni d'un repère orthonormal O,i,j, on considère les vecteurs ux,y et vx',y'. On a alors u⋅v=xx'yy'.DémonstrationIl suffit d'appliquer la formule
∥u∥=x2 y2 pour un vecteur ux,y.3. Formule du cosinusSoient
u et v deux vecteurs non nuls.On a DémonstrationOn considère un repère orthonormal directO,i,j et les points A et B tels que OA=u=∥u∥i
etOB=v. Les coordonnées polaires de B sont ∥v∥,u,v. On a donc :
xu=∥u∥, yu=0, xv=∥v∥cosu,v et yv=∥v∥sinu,v et on en déduit que
ConséquenceSi A, B et C sont trois points distincts,KB 1 sur 2
B Propriétés du produit scalaire1. Règles de calculQuels que soient les vecteurs u, v, w et les réels a et b :
1.au⋅bv=abu⋅vDémonstrationUtiliser la formule du produit scalaire utilisant des coordonnées.2. Vecteurs colinéairesSi
u et v sont colinéaires de même sens, alors u⋅v=∥u∥⋅∥v∥Si
u et v sont colinéaires de sens opposés, alors u⋅v=-∥u∥⋅∥v∥DémonstrationSi
u et v sont colinéaires de même sens, u,v=0, donc cosu,v=1 et u⋅v=∥u∥⋅∥v∥Si
u et v sont colinéaires de sens opposés, u,v=, donc cosu,v=-1 et u⋅v=-∥u∥⋅∥v∥3. Vecteurs orthogonauxConsidérons deux vecteurs
u et v tels que u⋅v=0.On a alors
∥u∥⋅∥v∥⋅cosu,v=0 et donc 3 possibilités : 1.
∥u∥=0 , c'est à dire u=02. ∥v∥=0 , c'est à dire v=03. cosu,v=0, c'est à dire que u,v=2 ou u,v=-
2.On dit que deux vecteurs
u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaireu⋅v est nul.Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur. Application Dire que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires équivaut à dire que
AB⋅CD=0.4. Utiliser une projection orthogonaleOn considère trois points A, B et C. On appelle H la projection orthogonale de C sur la
droite (AB). On a alors :DémonstrationOn a :
AB⋅AC=AB⋅AHHC=AB⋅AHAB⋅HC. Or les vecteurs AB et HC sont
orthogonaux, donc AB⋅HC=0, ce qui donne AB⋅AC=AB⋅AH.KB 2 sur 2
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