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Session Normale| Filière : SMI-5

Durée : 2h - Documents non autorisés

Exercice 1: [3 points][~ 15 minutes]

Un fabricant de yaourt produit 2 types de yaourts A et B à partir de fraise, de lait et de sucre. La production de 1 Kg de chaque type de yaourt doit respecter les proportions suivantes:

Quantité en Kg de

Fraise

Quantité en Kg de

Lait

Quantité en Kg de

Sucre

1 Kg de A 2 1 0

1 Kg de B 3 2 1

Les matières premières sont en quantité limitée : 90 Kg (Kilogrammes) de fraises, 60 Kg de lait et 30 Kg de sucre. La vente du yaourt A rapporte 40 Dh par Kg et celle du yaourt B rapporte 60 Dh par Kg. signification de chaque variable.

Solution :

Max Z = 40XA + 60XB

SC

2XA + 3XB ʵ 90

XA + 2XB ʵ 60

XB ʵ 30

réalisables.

Solution :

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3. A partir de la représentation graphique, trouver une solution en

précisant le(s) phénomène(s) rencontré(s) par ce programme linéaire.

Solution :

Max Z = 1800 relatif au point (0,30) ou (45,0)

Phénomènes rencontrés :

ƒ Dégénérescence de 1ère espèce : Droite régissant la contrainte 1 (2XA + 3XB = 90) parallèle à Z (40XA + 60XB =0) ƒ Dégénérescence de 2ème espèce : Plus que deux droites (4 droites) passent par le point (0,30) :

¾ 2XA + 3XB = 90

¾ XA + 2XB = 60

¾ XB = 30

¾ XA = 0

Exercice 2: Algoritme de Ford [5 points][~ 30 minutes] Dans le graphe orienté GR-1 = (X, U) valué par des longueurs positives,

—-‹Ž‹•‡" ŽŨƒŽ‰‘"‹-Šme de Ford vu au cours (voir organigramme) pour

En déduire le chemin optimal ainsi que sa valeur. N.B. Ecrivez votre réponse en utilisant le tableau sur la page 3/4.

Figure 1. Graphe orienté GR-1

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Exercice 3:[2 points][~10 minutes]

unité de P2 nécessite 2kg de la matière première M. Sachant que la capacité de la société en matière première M ne dépasse pas 30Kg:

2. Résoudre ce programme linéaire en utilisant la méthode de simplexe, en

précisant à chaque itération la valeur de la fonction objectif ainsi que les coordonnées relatives.

Solution :

1. Max Z = 12X1 + 9X2

SC

3X1 + 2X2 ʵ ɪɥ

2.

Itération 1 X1 X2 e1

e1 3 2 1 30

Z 12 9 0 0 (X1,X2)= (0 , 0)

Itération 2 X1 X2 e1

X1 1 2/3 1/3 10

Z 0 1 -4 120 (X1,X2)= (10 ,0)

Itération 3 X1 X2 e1

X2 3/2 1 1/2 15

Z -3/2 0 -9/2 135 (X1,X2)= (0 ,15)

Exercice 4: [10 points][~ 65 minutes]

Soit la fonction objectif P(x1,x2,x3,x4,x5) suivante : P(x1,x2,x3,x4,x5) = 30x1 + 16x2 + 15x3 + 20x4 + 4x5

Sous contraintes

ƒ 6x2 + 5x3 - x4 ʵ ɨɩɥ

ƒ 5x2 + x3 ʵ ɨɬ

ƒ x1 - x2 + 2x4 ʵ ɪɥ

ƒ 3x1 + 2x2 + x4 ʵ ɯɥ

ƒ x1 + 2x5 ʵ ɫɥ

la fonction objectif ainsi que les coordonnées relatifs. N.B. Vous pouvez répondre sur la page 4/4. Si le nombre des itérations est

2. En considérant le programme linéaire traité dans la question 1 comme

programme primal, écrivez le programme dual correspondant.

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i Ȝ0 Ȝ1 Ȝ2 Ȝ3 Ȝ4 Ȝ5 Ȝ6 Ȝ7 Ȝ8

Init - 0

Iter 1 0 0 10 14 15

Iter 2 1 0 10 14 15 12 18

Iter 3 2 0 10 14 15 12 18

Iter 4 3 0 10 14 15 12 18 21

Iter 5 4 0 10 13 15 12 18 21

Iter 6 2 0 10 13 14 12 18 21

Iter 7 3 0 10 13 14 12 17 20

Iter 8 4 0 10 13 14 12 17 20 22

Iter 9 5 0 10 13 14 12 17 19 21 24

Iter 10 6 0 10 13 14 12 17 19 21 23

Iter 11 7 0 10 13 14 12 17 19 21 22

Iter 12 8 0 10 13 14 12 17 19 21 22

Iter 13

Iter 14

Iter 15

Iter 16

Iter 17

Iter 18

Iter 19

Iter 20

Iter 21

Iter 22

Iter 23

Iter 24

Iter 25

Le chemin optimal est : X0, X1, X4, X2, X3, X5, X7, X8

Sa valeur est : 22

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I0 x1 x2 x3 x4 x5 e1 e2 e3 e4 e5

e1 0 6 5 -1 0 1 0 0 0 0 120 e2 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 15 e3 1 -1 0 2 0 0 0 1 0 0 30 e4 3 2 0 1 0 0 0 0 1 0 80 e5 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 40

P 30 16 15 20 4 0 0 0 0 0 0

I1 x1 x2 x3 x4 x5 e1 e2 e3 e4 e5

e1 0 6 5 -1 0 1 0 0 0 0 120 e2 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 15 e3 0 -5/3 0 5/3 0 0 0 1 -1/3 0 10/3 x1 1 2/3 0 1/3 0 0 0 0 1/3 0 80/3 e5 0 -2/3 0 -1/3 2 0 0 0 -1/3 1 40/3

P 0 -4 15 10 4 0 0 0 -10 0 800

I2 x1 x2 x3 x4 x5 e1 e2 e3 e4 e5

e1 0 -19 0 -1 0 1 -5 0 0 0 45 x3 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 15 e3 0 -5/3 0 5/3 0 0 0 1 -1/3 0 10/3 x1 1 2/3 0 1/3 0 0 0 0 1/3 0 80/3 e5 0 -2/3 0 -1/3 2 0 0 0 -1/3 1 40/3

P 0 -79 0 10 4 0 -15 0 -10 0 1025

I3 x1 x2 x3 x4 x5 e1 e2 e3 e4 e5

e1 0 -20 0 0 0 1 -5 3/5 -1/5 0 47 x3 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 15 x4 0 -1 0 1 0 0 0 3/5 -1/5 0 2 x1 1 1 0 0 0 0 0 -1/5 2/5 0 26 e5 0 -1 0 0 2 0 0 1/5 -2/5 1 14

P 0 -69 0 0 4 0 -15 -6 -8 0 1045

I4 x1 x2 x3 x4 x5 e1 e2 e3 e4 e5

e1 0 -20 0 0 0 1 -5 3/5 -1/5 0 47 x3 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 15 x4 0 -1 0 1 0 0 0 3/5 -1/5 0 2 x1 1 1 0 0 0 0 0 -1/5 2/5 0 26 x5 0 -1/2 0 0 1 0 0 1/10 -1/5 1/2 7

P 0 -67 0 0 0 0 -15 -32/5 -36/5 -2 1073

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Réponse xercice 4 :

Coordonnées :

( x1,x2, x3, x4, x5) = (0,0,0,0,0)

Coordonnées :

( x1,x2, x3, x4, x5) = (80/3,0,0,0,0)

Coordonnées :

( x1,x2, x3, x4, x5) = (80/3,0,15,0,0)

Coordonnées :

( x1,x2, x3, x4, x5) = (26,0,15,2,0)

Coordonnées :

( x1,x2, x3, x4, x5) = (26,0,15,2,7)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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