TD 7 : Exercice corrigé Algorithme du simplexe Méthode des deux
a) Introduisez les variables artificielles et appliquer la méthode des deux phases. ( ). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Exercice 1.2.1. Résoudre par le simplexe Max x1 + 2x2 sous −3x1
Solution optimale identique mais avec une étape de moins. 9. Page 10. Exercice 1.2.3. Résoudre par la méthode du simplexe. Min x1 − x2+ x3 sous
Chapitre 3 Méthode du simplexe
Donc nous avons trouver la solution optimale et l'algorithme se termine à cette étape. 2. Choix de la ligne de pivot. Quels sont les sommets adjacents de
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1 Programmation linéaire
Méthodes Numériques. Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc :.
Exercice 1.2.1. Résoudre par le simplexe Max x1 + 2x2 sous ?3x1
2) Tableau du simplexe (forme canonique !) x1 x2 x3 x4 x5 Exercice 1.2.2. x1 x2 x3 x4 ... Exercice 1.2.3. Résoudre par la méthode du simplexe.
Recherche opérationnelle
2.2.5 Utilisation de la méthode du simplexe dans un probl`eme de minimisation . . . . . . . 61. 2.2.6 Exercices récapitulatifs .
Chapitre 3 Méthode du simplexe
On poursuit l'algorithme jusqu'à l'obtention de la solution optimale. La méthode débute avec la forme canonique du problème (3.2) que l'on écrira sous la forme.
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Comment résoudre par la méthode du simplexe ?
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les sommets. A partir d'un sommet donné, la méthode calculera une suite de sommets adjacents l'un par rapport au précédent et qui améliore la fonction objective. Le sommet x = (4,5,2,0,0) correspond aux variables de base {x1,x2,x3}.Comment résoudre un programme linéaire par la méthode du simplexe ?
Avant que l'algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire, ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives.Comment trouver le dual ?
Le dual est max z = bty, Aty ? c, y ? 0. min z = ctx, (At)tx ? b, x ? 0. ?? min z = ctx, Ax ? b, x ? 0. Donc, le dual du dual est le primal.Si une solution de programmation linéaire existe, alors on peut trouver la solution en utilisant les étapes suivantes.
1Représenter graphiquement l'ensemble réalisable à partir des contraintes.2Déterminer tous les sommets.3Substituer les coordonnées de chaque sommet dans la fonction objectif.4Identifier la solution.
UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2012 - 2013
Master d"économie Cours de M. Desgraupes
Méthodes Numériques
Document 4 : Corrigé des exercices d"optimisation linéaire1 Programmation linéaire 1 Méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Raffinerie de pétrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Méthode des variables ajoutées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Indices d"octane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Fabrique de pièces détachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Plan de production de moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Excavation et matériaux de carrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Dualité 19
Main d"oeuvre et équipements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Trois techniques de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Production en heures-machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Programmation linéaire
Corrigé ex. 1 : Méthode du simplexe
Programme 1
8 >>>>>:Max(x1+ 2x2) x1+ 3x221
x1+ 3x218 x 1x25 x1etx20
On introduit des variables d"écart, ce qui conduit aux équations suivantes pour les contraintes du problème : 8>< :x1+ 3x2+x3= 21
x1+ 3x2+x4= 18 x1x2+x5= 5
Le premier tableau du simplexe s"écrit :
1 x1x2x3x4x51 3 1 0 021x
3-1 3 0 1 018x
41 -1 0 0 15x
5-1 -2 0 0 00
La variable entrante estx2qui correspond à l"élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne dex2(colonne entrante) : Min 213;183 =183 = 6 Doncx4est la variable sortante. La ligne dex4sert de ligne pivot et on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l"intersection de la ligne dex4et de la colonne dex2).
On obtient le tableau suivant :
x1x2x3x4x52 0 1 -1 03x
3-1/3 1 0 1/3 06x
22/3 0 0 1/3 111x
5-5/3 0 0 2/3 012
Maintenant c"estx1qui entre etx3qui sort car :
Min 32;112=3 =32 Un nouveau pivot autour du nombre 2 (à l"intersection de la ligne dex3et de la colonne dex1) conduit au tableau suivant : x
1x2x3x4x51 0 1/2 -1/2 03/2x
10 1 1/6 1/6 013/2x
20 0 -1/3 2/3 110x
50 0 5/6 -1/6 029/2
Maintenant c"estx4qui entre etx5qui sort car :
Min13=21=6;102=3
=102=3= 15 Un nouveau pivot autour du nombre 2/3 (à l"intersection de la ligne dex5et de la colonne dex4) conduit au tableau suivant : x1x2x3x4x51 0 1/4 0 3/49x
10 1 1/4 0 -1/44x
20 0 -1/2 1 3/215x
40 0 3/4 0 1/417
2 Ce tableau correspond à l"optimum car il n"y a plus de termes négatifs dans la dernière ligne. On obtient donc comme solution :8>>>>>><
>>>>>:x 1= 9 x 2= 4 x 3= 0 x 4= 15 x 5= 0 La première et la troisième contrainte sont saturées.Programme 2
8 >>>>>:Min(x13x2)3x12x27
x1+ 4x292x1+ 3x26
x1etx20
On transforme le problème en une maximisation en changeant le signe de la fonc- tion objectif :Max(x1+ 3x2)
On introduit ensuite les variables d"écart comme ceci : 8>>>< >>:3x12x2+x3= 7 x1+ 4x2+x4= 92x1+ 3x2+x5= 6
x1etx20
Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc : x1x2x3x4x53 -2 1 0 07x
3-1 4 0 1 09x
4-2 3 0 0 16x
51 -3 0 0 00
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