La bissectrice dun angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui le partage en 2 angles de même mesure. 2. Construction de la bissectrice d'un angle à l'aide d'un rapporteur.
1 La médiatrice dun segment la bissectrice dun angle
Si une droite n'est pas perpendiculaire au segment ou bien ne passe pas en son milieu alors ce n'est pas la médiatrice de ce segment. Bissectrice d'un angle.
Construire la bissectrice dun angle à la règle et au compas
On veut tracer la bissectrice de l'angle a. xOy . Tracer un arc de cercle de centre. O de rayon quelconque coupant les deux demi-droites [Ox) et. [
La bissectrice dun angle est la droite (ou demi-droite) qui partage
La construction de la bissectrice d'un angle. La bissectrice d'un angle a pour origine le sommet de l'angle. 1. Tracer un arc de cercle de centre O.
BISSECTRICE On appelle bissectrice dun angle la demi-droite qui
On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. xOy = 76°. [Ot) bissectrice de xOy donc xOt = tOy =.
COMMENT DEMONTRER……………………
Pour démontrer qu'une droite est la bissectrice d'un angle. On sait que xOz et zOy sont deux angles adjacents égaux.
Chapitre 5 : Distance dun point à une droite. Bissectrice dun angle.
Bissectrice d'un angle. 1. Distance d'un point Placer le point H de la droite (d) de telle sorte que la distance de A à H soit la plus petite possible.
Ch12 : Bissectrices 1 Bissectrice dun angle 2 Bissectrices dun
La bissectrice d'un angle est la droite partageant l'angle en deux angles de même mesure. O x y ?bissectrice de l'angle u. xOy. Pour construire la bissectrice
BISSECTRICE DUN ANGLE
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents égaux. Remarque : La bissectrice d'un angle est l'axe de
Définitions: La bissectrice dun angle est son axe de symétrie. La
La bissectrice d'un angle le partage en deux angles adjacents de même mesure. Le point O est le sommet de l'angle. Les demi droites [Ox) et [Oy) en sont les
Chapitre 5 : Distance d'un point à une droite.
Bissectrice d'un angle.
1. Distance d'un point à une droite.
1.1 Problème
Soient (d) une droite et A un point n'appartenant pas à (d).Placer le point H de la droite (d) de telle sorte que la distance de A à H soit la plus petite possible.
1.2 Conjecture
Soient (d) une droite et A un point qui n'appartient pas à (d). On appelle C, le pied de la perpendiculaire menée de A à la droite (d). Il semble que : AC est la plus petite distance du point A à la droite (d).1.3 Démonstration
Hypothèses : (d) est une droite et A un point qui n'appartient pas à (d).Reformulons le problème :
Pour démontrer que AC est la plus petite distance du point A à la droite (d), il faut et il suiÌifiÌit de
démontrer que : pour tout point M de (d) distinct de C, on a :AC < AM
Soit M un point de (d) distinct de C.
On appelle A' le symétrique de A par rapport à (d).•On démontre que : AC = A'COn sait que : A et A' sont symétriques par rapport à (d) (hypothèse) et C et M sont invariants
par cette même symétrie. Propriété : Une symétrie axiale transforme un segment en un segment de même longueur.Conclusion : AM = A'M et AC = A'C
•On démontre que : 2AC < 2AM :Les points A, M et A' sont tous distincts.
Donc AMA' est un triangle.
D'après l'inégalité triangulaire, on a : AA' < AM + A'MDonc : 2AC < 2AM
•Conclusion :On a 2AC < 2AM
Donc AC < AM
1.4 Enoncé de la propriété
On vient de démontrer la propriété suivante :Propriété :
Soient (d) une droite et A un point qui n'appartient pas à (d).Si on appelle C, le pied de la perpendiculaire menée de A à la droite
(d) alors C est le point de (d) le plus proche de A.Remarque: Si le point A appartient à la droite (d) alors le point de (d) le plus proche de A c'est A.
D'où la déifinition :
Déifinition :
Soient
(d) une droite et A un point. On appelle C, le pied de la perpendiculaire menée de A à la droite (d). AC est appelée la distance du point A à la droite (d). Remarque : Dans le cas où A appartient à la droite (d), la distance de A à (d) est nulle.2. Bissectrices d'un angle
2.1 Problème
Soient (xz) et (yt) deux droites sécantes.
Trouver tous les points équidistants de (xz) et de (yt).2.2 Etudions un cas particulier : (xz) et (yt) sont perpendiculaires.
2.3 Etudions le cas général
2.4 ConjecturesHypothèse : (xz) et (yt) sont deux droites sécantes en A.
Il semble que :
•L'ensemble des points équidistants de (xz) et (yt) soient les points des bissectrices des angles
x̂Ay et x̂At.
•Ces deux bissectrices soient perpendiculaires.2.3 Démonstration
Hypothèses :
•(xz) et (yt) sont sécantes en A. •(d) est la bissectrice de ̂xAy.Soit M, un point de (d).
On appelle G le pied de la perpendiculaire menée de M à la droite (Ax). On appelle G' le symétrique de G par rapport à (d).1. On démontre que G' appartient à (Ay).
G appartient à (Ax) et (d) est la bissectrice de ̂xAy, c'est à dire l'axe de symétrie de ̂xAy. Donc le symétrique de la droite (Ax) par rapport à (d) est (Ay).Donc G' appartient à (Ay).
2. On démontre que (MG') et (AG') sont perpendiculaires.
On sait que : A, G', M sont les symétriques respectifs de A, G, M par rapport à (d). Propriété : Une symétrie axiale transforme un angle en un angle qui lui est égal.Conclusion : ̂MG'A = ̂MGA = 90°
On en déduit que (MG') et (AG') sont perpendiculaires. Donc (MG') et (Ay) sont perpendiculaires car G' appartient à (Ay).3. On justiifie que MG' est la distance de (d) à (Ay).
G' appartient à (Ay) d'une part et (MG') et (Ay) sont perpendiculaires. G' est donc le pied de la perpendiculaire menée de M à la droite (Ay). Donc par déifinition, MG' est la distance de M à (Ay).4. On démontre que MG = MG'.On sait que : M et G' sont le symétriques respectifs de M et G par rapport à (d).
Propriété : Un symétrie axiale transforme un segment en un segment de même longueur.Conclusion : MG = MG'.
Autrement dit M est équidistant de (Ax) et de (Ay).2.3 Théorèmes
On vient de démontrer la propriété suivante :Propriété :
Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des côtés de l'angle. On admet que la réciproque de cette propriété est vraie.Propriété :
Si un point est équidistant des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet
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