TS Limites de fonctions (2) Études de cas dindétermination
Elaborer une technique pour déterminer le limite (lever l'indétermination dans chaque cas). On pourra visualiser les courbes des différentes fonctions à l
Méthodes pour lever des indéterminations Cas général
√b dont la limite est indéterminée . REFLEXE : On tente d'appliquer alors la méthode 1 (UTILISATION DU TERME PREPONDERANT) pour lever l'indétermination.
Partie 1 : Limite dune suite
algébriques ou utiliser d'autres propriétés sur les calculs de limites afin de lever l'indétermination. Les quatre formes indéterminées sont par abus d
FICHE MÉTHODE : LEVER UNE INDÉTERMINATION Exemple 1
Remarque : dans cet exemple la factorisation x2 + x = x(x + 1) permet aussi de lever l'indétermination. Autre méthode : la limite d'une fonction polynôme
Fiche 3. Limites
Savoir lever une indétermination. La notion de limite permet d'étudier le comportement d'une fonction f : → en un point en −∞
TS Méthodes pour lever une indétermination dans un calcul de
TS Méthodes pour lever une indétermination dans un calcul de limites. 1 er cas : la limite est du type «. 0. 0. » : 1) Simplification après factorisation (ex
Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour
Pour lever une indétermination avec des exponentielles il y a donc deux nouvelles méthodes : Factoriser par l'exponentielle de plus haut degré. Utiliser la
Limites de fonctions 5 Détermination graphique
limites. Il faudra si possible lever l'indétermination c'est l'objet de la section suivante. 8.1 Limite d'une somme lim f l l l. +∞. −∞. −∞ lim g l ...
Fiche de méthode : Comment lever une indétermination de calcul de
Posons x y. 1. = alors y y xf sin. )( = et lorsque x tend vers ∞+ y tend vers 0. On peut alors calculer la limite. = = →. +∞. →.
Limites de suites – Applications
Il faut étudier plus en détail les suites pour « lever l'indétermination » et trouver la limite. Exemples : 1. limn→+∞. ( 1 n. +. √ n + 2) =? limn→+∞. 1 n.
FONCTIONS 1) Limites 1-1 méthodes pour lever une
1-1 méthodes pour lever une indétermination au voisinage d'un infini. Exemple1 f(x) = x + 1 x2 + 3x + 1. Quelle est la limite en +? ?
Méthodes pour lever des indéterminations Cas général
limites ne permettent pas de conclure on dit que l'on a affaire à une forme indéterminée. Pour "lever l'indétermination"
TS Limites de fonctions (2) Études de cas dindétermination
Études de cas d'indétermination donc par limite d'un produit lim ... Elaborer une technique pour déterminer le limite (lever l'indétermination dans ...
annales de lannée universitaire 2011-2012
Écrire les développements limités en x = 0 et à l'ordre indiqué entre parenthèses Pour lever l'indétermination on factorise les numérateurs.
Partie 1 : Limite dune suite
faudrait utiliser des calculs algébriques afin de lever l'indétermination ou utiliser d'autres propriétés sur les calculs de limites.
Table des matières 1 Limites
Finalement la définition officielle d'une limite de nombres réels consiste à Pour lever l'indétermination
Limites de fonctions
limite de somme produit
Fiche méthode : lever une indétermination
Remarque : dans cet exemple la factorisation x2 + x = x(x + 1) permet aussi de lever l'indétermination. Autre méthode : la limite d'une fonction polynôme
TS Méthodes pour lever une indétermination dans un calcul de
si la limite. )( lim xf ax. ? est du type «. 0. 0. » et f est une fonction rationnelle alors a est racine du numérateur et du dénominateur : simplifier
Sans titre
Tableau résumant les différentes limites des fonctions usuelles (n ? N). infinie absence de limite. Seule une étude permet de lever l'indétermination.
Chapitre 1
´Etude de fonctions
"Unprobl`eme sans solution est un probl`eme mal pos´e."Albert Einstein. Physicien allemand.
1 Fonctions usuelles
1.1 Fonction en escalier
D´efinition 1.1
Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.Exemple 1.1
La fonction d´efinie sur [-8;+∞[
par : f(x)=?3si0 8 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
1.2 Fonction affine
D´efinition 1.2
Soientaetbdeux r´eels donn´es.
La fonction d´efinie surRparf(x)=ax+best appel´eefonction affine. Sa repr´esentation graphique est la droite d"´equationy=ax+bo`u: ?le r´eelaest le coefficient directeur de cette droite. ?le r´eelbest l"ordonn´ee `a l"origine. Exemple 1.2
Exemples de repr´esentation gra-
phique de fonctions affines. 1.3 Fonction logarithme
D´efinition 1.3
La fonctionlogarithme n´ep´erien,
not´ee ln, est la fonction d´efinie ?x?]0;+∞[, telle que ln(1) = 0 et sa d´eriv´ee est la fonction inverse. Sif(x)=ln(x)alorsf
(x)=1 x. CHAPITRE 1.´ETUDE DE FONCTIONS 9
Proposition 1.1
Soientaetbdeux r´eels strictement positifs etnun entier naturel, alors : ?ln(ab)=ln(a)+ln(b) ?ln?a b? =ln(a)-ln(b) ?ln?1 a? =-ln(a)?ln(a n )=nln(a) ?ln(⎷ a)=1 2ln(a)
?ln(e)=1 En r´esum´e, le logarithme n´ep´erien poss`ede la particularit´ede transformer les produits en sommes, les quotients en diff´erences et les puissances en multiplications. D´efinition 1.4
Soitaun r´eel strictement positif diff´erent de 1. On d´efinit la fonctionlogarithme de baseapar : log a (x)=ln(x) ln(a). Sia= 10, on l"appellefonction logarithme d´ecimalet on la note log. 1.4 Fonction exponentielle
D´efinition 1.5
La fonctionexponentielle,estlafonctiond´efinie surRparf(x)=e x o`ue x (not´e´egalement exp(x)) est l"unique nombre r´eel positif tel que : ln(e x )=x. 10 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
Remarque 1.1
La fonction exponentielle est la
fonction r´eciproque de la fonc- tion logarithme, ce qui signifie que, graphiquement, les courbes sont sym´etriques par rapport `ala premi`ere bissectrice (y=x)dans un rep`ere orthonormal. La fonction exp est toujours strictement positive. La valeur en 1 est not´eee 1 =e?2,718. Nous avons la relation suivante?x>0: e ln(x) =x. Propri´et´e1.1
Soientaetbdeux r´eels etnun entier relatif, alors : ?e a+b =e a ×e b ?e a-b =e a e b ?1 e a =e -a ?e an =(e a n En r´esum´e l"exponentielle `a la particularit´e de transformer les sommes en produits, les diff´erences en quotients et les multipli- cations en puissances (inversement au logarithme). 1.5 Fonction puissance
D´efinition 1.6
Soitα?R, la fonction puissance (d"exposant)α,not´eef ,estlafonction qui, `a tout nombrex?]0;+∞[ associef (x)=x =e αln(x)
Remarque 1.2
Pourα=0,5onaf
0,5 (x)=x 0,5 =e 0,5ln(x)
=⎷x. CHAPITRE 1.´ETUDE DE FONCTIONS 11
2 Notion de limites
2.1 Interpr´etation graphique
?Limite en un point Le graphique illustre deux types de
limites en un point. On dit alors que la courbe
admetune asymptote verticale d"´equationx=0. ?Limite en l"infini Le graphique illustre diff´erents
types de limites en l"infini. Onditalorsquelacourbedela
fonctionfadmetune asymptote horizontaled"´equationy=2. ?Asymptote oblique D´efinition 2.1
Soitfune fonction etDla droite d"´equationy=ax+btel que : lim x→±∞ f(x)-(ax+b)=0. On dit alors que la droiteDest uneasymptote oblique`alacourbe repr´esentativeC f en±∞. 12 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
Exemple 2.1
Soitfla fonction d´efinie surR
par f(x)=1 x+12x+1 etDla droite d"´equationy=1 2x+1. On en d´eduit lim
x→+∞ f(x)-?1 2x+1? = limx→+∞ 1 x=0. La courbe admet la droiteDcomme asymptote oblique en +∞. 2.2 Limite des fonctions usuelles
Tableau r´esumant les diff´erentes limites des fonctions usuelles (n?N). f(x)x n 1/x n ln(x)e x cos(x)sin(x) npairnimpairnpairnimpair lim x→-∞ +∞-∞00×0×× lim x→0 00+∞-∞×11 0
lim x→0 00+∞+∞-∞11 0
lim x→+∞ +∞+∞00+∞+∞×× 2.3 Op´erations sur les limites
La notationFId´esigne une forme ind´etermin´ee, c"est-`a-dire qu"on ne sait pas calculer par une op´eration ´el´ementaire. La notation "?" signifie qu"il faut appliquerla r`egle des signes. ?Limite d"une somme de fonctions limfλλ+∞-∞-∞ limgμ±∞+∞-∞+∞ CHAPITRE 1.´ETUDE DE FONCTIONS 13
?Limite d"un produit de fonctions limfλλ?=0±∞0 limgμ±∞ ±∞ ±∞ limf×gλ×μ?∞ ?∞FI ?Limite d"un quotient de fonctions limfλλλ±∞ ±∞0 limgμ?=0±∞0μ?=0±∞0 limf/g λ/μ0?∞ ?∞FI FI ?Limite d"une compos´ee de fonctions Avant de d´efinir la limite d"une compos´ee de fonctions, rappelons quelques notions sur l"op´erationcompos´ee de fonctions. D´efinition 2.2
Soientfetgdeux fonctions. On appellecompos´ee defsuivie deg, not´eeg◦f,lafonctionhqui pourxassocieg(f(x)). Exemple 2.2
Soitfla fonction d´efinie surRparf(x)=3x+2etgla fonction d´efinie surRparg(x)=x 3 La fonctionh,compos´ee defsuivie degest donn´ee par : h(x)=(3x+2) 3 En effet :x?-→f(x)=(3x+2)?-→g(f(x)) = (3x+2) 3 Remarque 2.1
G´en´eralement, la fonction compos´eef◦gest diff´erente deg◦f. La fonction?,compos´ee degsuivie defa pour expression : ?(x)=3x 3 +2. Clairement,?x?R,?(x)?=h(x).
14 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
Propri´et´e2.1
SoientIetJdeux intervalles deR.
Soient deux fonctions,fd´efinie deIdansJetgdeJdansR. Supposons que lim
x→a f(x)=bet lim x→b g(x)=c,alors: lim x→a g◦f(x) = lim x→a g(f(x)) =c. Exemple 2.3
Consid´erons la fonctionh(x)=e
-x+3 . Comme lim x→+∞ -x+3=-∞et lim X→-∞
e X =0,onend´eduit alors lim x→+∞ h(x)=0. 2.4 Calcul de limites dans les cas de formes ind´etermin´ees
En pr´esence d"une forme ind´etermin´ee, toutes les situations sontapriori possibles : existence d"une limite finie, nulle ou non, existence d"une limite infinie, absence de limite. Seule une´etude permet de lever l"ind´etermination. Tableau des ind´eterminations des limites
limf(x) limg(x) Limite ind´etermin´ee Type d"ind´etermination +∞-∞f(x)+g(x)∞-∞ 0±∞f(x)×g(x)0×∞
00f(x)
g(x)00 ±∞ ±∞f(x)
g(x)∞ffi ?Ind´etermination du type∞-∞ Consid´erons la fonctionf(x)=3x
2 -x. Comme lim
x→+∞ 3x 2 =+∞et lim x→+∞ x=+∞,onend´eduit alors que lim x→+∞ 3x 2 -xest une forme ind´etermin´ee du type∞-∞.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
8 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
1.2 Fonction affine
D´efinition 1.2
Soientaetbdeux r´eels donn´es.
La fonction d´efinie surRparf(x)=ax+best appel´eefonction affine. Sa repr´esentation graphique est la droite d"´equationy=ax+bo`u: ?le r´eelaest le coefficient directeur de cette droite. ?le r´eelbest l"ordonn´ee `a l"origine.Exemple 1.2
Exemples de repr´esentation gra-
phique de fonctions affines.1.3 Fonction logarithme
D´efinition 1.3
La fonctionlogarithme n´ep´erien,
not´ee ln, est la fonction d´efinie ?x?]0;+∞[, telle que ln(1) = 0 et sa d´eriv´ee est la fonction inverse.Sif(x)=ln(x)alorsf
(x)=1 x.CHAPITRE 1.´ETUDE DE FONCTIONS 9
Proposition 1.1
Soientaetbdeux r´eels strictement positifs etnun entier naturel, alors : ?ln(ab)=ln(a)+ln(b) ?ln?a b? =ln(a)-ln(b) ?ln?1 a? =-ln(a)?ln(a n )=nln(a) ?ln(⎷ a)=12ln(a)
?ln(e)=1 En r´esum´e, le logarithme n´ep´erien poss`ede la particularit´ede transformer les produits en sommes, les quotients en diff´erences et les puissances en multiplications.D´efinition 1.4
Soitaun r´eel strictement positif diff´erent de 1. On d´efinit la fonctionlogarithme de baseapar : log a (x)=ln(x) ln(a). Sia= 10, on l"appellefonction logarithme d´ecimalet on la note log.1.4 Fonction exponentielle
D´efinition 1.5
La fonctionexponentielle,estlafonctiond´efinie surRparf(x)=e x o`ue x (not´e´egalement exp(x)) est l"unique nombre r´eel positif tel que : ln(e x )=x.10 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
Remarque 1.1
La fonction exponentielle est la
fonction r´eciproque de la fonc- tion logarithme, ce qui signifie que, graphiquement, les courbes sont sym´etriques par rapport `ala premi`ere bissectrice (y=x)dans un rep`ere orthonormal. La fonction exp est toujours strictement positive. La valeur en 1 est not´eee 1 =e?2,718. Nous avons la relation suivante?x>0: e ln(x) =x.Propri´et´e1.1
Soientaetbdeux r´eels etnun entier relatif, alors : ?e a+b =e a ×e b ?e a-b =e a e b ?1 e a =e -a ?e an =(e a n En r´esum´e l"exponentielle `a la particularit´e de transformer les sommes en produits, les diff´erences en quotients et les multipli- cations en puissances (inversement au logarithme).1.5 Fonction puissance
D´efinition 1.6
Soitα?R, la fonction puissance (d"exposant)α,not´eef ,estlafonction qui, `a tout nombrex?]0;+∞[ associef (x)=x =eαln(x)
Remarque 1.2
Pourα=0,5onaf
0,5 (x)=x 0,5 =e0,5ln(x)
=⎷x.CHAPITRE 1.´ETUDE DE FONCTIONS 11
2 Notion de limites
2.1 Interpr´etation graphique
?Limite en un pointLe graphique illustre deux types de
limites en un point.On dit alors que la courbe
admetune asymptote verticale d"´equationx=0. ?Limite en l"infiniLe graphique illustre diff´erents
types de limites en l"infini.Onditalorsquelacourbedela
fonctionfadmetune asymptote horizontaled"´equationy=2. ?Asymptote obliqueD´efinition 2.1
Soitfune fonction etDla droite d"´equationy=ax+btel que : lim x→±∞ f(x)-(ax+b)=0. On dit alors que la droiteDest uneasymptote oblique`alacourbe repr´esentativeC f en±∞.12 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
Exemple 2.1
Soitfla fonction d´efinie surR
par f(x)=1 x+12x+1 etDla droite d"´equationy=1 2x+1.On en d´eduit lim
x→+∞ f(x)-?1 2x+1? = limx→+∞ 1 x=0. La courbe admet la droiteDcomme asymptote oblique en +∞.2.2 Limite des fonctions usuelles
Tableau r´esumant les diff´erentes limites des fonctions usuelles (n?N). f(x)x n 1/x n ln(x)e x cos(x)sin(x) npairnimpairnpairnimpair lim x→-∞ +∞-∞00×0×× lim x→000+∞-∞×11 0
lim x→000+∞+∞-∞11 0
lim x→+∞ +∞+∞00+∞+∞××2.3 Op´erations sur les limites
La notationFId´esigne une forme ind´etermin´ee, c"est-`a-dire qu"on ne sait pas calculer par une op´eration ´el´ementaire. La notation "?" signifie qu"il faut appliquerla r`egle des signes. ?Limite d"une somme de fonctions limfλλ+∞-∞-∞ limgμ±∞+∞-∞+∞CHAPITRE 1.´ETUDE DE FONCTIONS 13
?Limite d"un produit de fonctions limfλλ?=0±∞0 limgμ±∞ ±∞ ±∞ limf×gλ×μ?∞ ?∞FI ?Limite d"un quotient de fonctions limfλλλ±∞ ±∞0 limgμ?=0±∞0μ?=0±∞0 limf/g λ/μ0?∞ ?∞FI FI ?Limite d"une compos´ee de fonctions Avant de d´efinir la limite d"une compos´ee de fonctions, rappelons quelques notions sur l"op´erationcompos´ee de fonctions.D´efinition 2.2
Soientfetgdeux fonctions. On appellecompos´ee defsuivie deg, not´eeg◦f,lafonctionhqui pourxassocieg(f(x)).Exemple 2.2
Soitfla fonction d´efinie surRparf(x)=3x+2etgla fonction d´efinie surRparg(x)=x 3 La fonctionh,compos´ee defsuivie degest donn´ee par : h(x)=(3x+2) 3 En effet :x?-→f(x)=(3x+2)?-→g(f(x)) = (3x+2) 3Remarque 2.1
G´en´eralement, la fonction compos´eef◦gest diff´erente deg◦f. La fonction?,compos´ee degsuivie defa pour expression : ?(x)=3x 3 +2.Clairement,?x?R,?(x)?=h(x).
14 Cours et exercices corrig´es de math´ematiques
Propri´et´e2.1
SoientIetJdeux intervalles deR.
Soient deux fonctions,fd´efinie deIdansJetgdeJdansR.Supposons que lim
x→a f(x)=bet lim x→b g(x)=c,alors: lim x→a g◦f(x) = lim x→a g(f(x)) =c.Exemple 2.3
Consid´erons la fonctionh(x)=e
-x+3 . Comme lim x→+∞ -x+3=-∞et limX→-∞
e X =0,onend´eduit alors lim x→+∞ h(x)=0.2.4 Calcul de limites dans les cas de formes ind´etermin´ees
En pr´esence d"une forme ind´etermin´ee, toutes les situations sontapriori possibles : existence d"une limite finie, nulle ou non, existence d"une limite infinie, absence de limite. Seule une´etude permet de lever l"ind´etermination.Tableau des ind´eterminations des limites
limf(x) limg(x) Limite ind´etermin´ee Type d"ind´etermination +∞-∞f(x)+g(x)∞-∞0±∞f(x)×g(x)0×∞
00f(x)
g(x)00±∞ ±∞f(x)
g(x)∞ffi ?Ind´etermination du type∞-∞Consid´erons la fonctionf(x)=3x
2 -x.Comme lim
x→+∞ 3x 2 =+∞et lim x→+∞ x=+∞,onend´eduit alors que lim x→+∞ 3x 2 -xest une forme ind´etermin´ee du type∞-∞.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] lever une forme indéterminée 0*infini
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