[PDF] annales de lannée universitaire 2011-2012

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Annexe Dannales de l"année universitaire2011-2012D.1 Examen partiel numéro 1 du 3 novembre 2011

En une heure, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

Exercice 1.

Déterminer le domaine de définition de

f(x) =? x2-3x+ 2

Exercice 2.

Calculer

lim x→+∞x

3+xcosx+ sinx

2x3; limx→+∞⎷

x2+ 2x+ 2 x.

Exercice 3.

Calculer

lim x→0x

2+⎷

x+ 4 x+ 1; limx→1x

2-1x2+x-2; limx→01-⎷

1 + 2x

x.

Exercice 4.

Étudier le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de f(x) = (x2-3)⎷ x+ 1.

Exercice 5.

Montrer que l"équation(x+1)cosx-⎷x= 0admet au moins une solution dans R.

Exercice 6.

Calculer le domaine de définition et de continuité def(x) =log(2+cosx)x. Peut-on la prolonger par continuité en0?

Exercice 7.

Soitf:R→Rdéfinie surR. On suppose quelimx→+∞f(x)x= 2. Montrer que pour toutxsuffisament grand, on af(x)> x. 127

128ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

D.2 Examen partiel numéro 2 du 8 décembre 2011 En une heure, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

Formulaire des DL en0

1

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

log(1-x) =-x-x2

2-x33+··· -xnn+xnε(x)

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)

2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

expx= 1 +x

1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)

cosx= 1-x2

2!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)

sinx=x-x3

3!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)

Exercice 1.Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses

des expressions suivantes : log(1 +x)-log(1-x)à l"ordre4;cosx×log(1-x)à l"ordre4; 3 cosxà l"ordre3;log(1-x)cosxà l"ordre3; Exercice 2.Déterminer les limites suivantes en0:

1 +x-1

Exercice 3.On suppose que le DL defen0d"ordrenest

f(x) =P(x) +xnε(x), avecP(x) =a0+a1x+a2x2...+anxnpolynôme de degrénetlimx→0ε(x) = 0. Supposons de plus quea0=a1= 0et quen≥2. Montrer que le DLn-2(0)def(x) x2est f(x) x2=P(x)x2+xn-2ε(x) =a2+a3x+a4x2+...+anxn-2+xn-2ε(x).

Application : donner les DL

3(0)delog(1+x)-x

x2et delog(cosx)x2.

D.3. EXAMEN TERMINAL DU 10 JANVIER 2012129

D.3 Examen Terminal du 10 janvier 2012

En deux heures, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

L"énoncé comporte un recto et un verso

Formulaire des DL en0

1

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

log(1-x) =-x-x2

2-x33+··· -xnn+xnε(x)

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)

2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

expx= 1 +x

1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)

cosx= 1-x2

2!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)

sinx=x-x3

3!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)

Exercice 1.Déterminer les domaines de définition, de continuité et de dérivabilité def(x) =⎷

x2-9ex.

Exercice 2.Montrer que l"équationex=⎷

x+ 1possède au moins une solution surR.

Exercice 3.Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses

des expressions suivantes : cosx-⎷

1 +xà l"ordre2;log(1-x)×3⎷1 +xà l"ordre2;

e x cosxà l"ordre3;(cosx)sinxà l"ordre3. Exercice 4.Déterminer les limites suivantes en0: 3

1 +x-1⎷1 +x-1;esinx-1log(1-x);ecosx⎷1 +x;sin2x1-cosx;xsinx-1xlogx.

Exercice 5.Déterminer les limites suivantes en+∞: x

2-⎷

x logx;⎷

1 + sinx

x;?

1 +2x?

x

130ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

Exercice 6.Calculerf(0),f?(0)etf??(0)pour

f(x) = (1 + sinx)⎷ 1+x.

Exercice 7.Montrer que(cosx)sinx≂e-x3

2au voisinage de0.

Exercice 8.Montrer que les premiers termes des développements asymptotiques en+∞des fonctions suivantes sontx2 x-1=x+ 1 +1x+o?1x? xsin?1 x? = 1-16x2+o?1x2? D.4 Corrigé de l"examen partiel du 3 novembre 2011

Examen partiel numéro 1 du 3 novembre 2011

En une heure, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

Exercice 1.

Déterminer le domaine de définition de

f(x) =? x2-3x+ 2

Corrigé.

Soitx?R. On a quefest définie enxsi, et seulement six2-3x+ 2≥0. Pour étudier le signe du binôme, on le factorise. Le discriminantvaut32-4×1×2 = 9-8 = 1et les deux racines sont1et2, doncx2-3x+ 2 = (x-1)(x-2), qui est positif si et seulement si

x?]- ∞,1[?]2,+∞[(un tableau de signes peut-être dressé si on n"est pas sûr de soi). Donc

D f=]- ∞,1]?[2,+∞[.

Exercice 2.

Calculer

lim x→+∞x

3+xcosx+ sinx

2x3; limx→+∞⎷

x2+ 2x+ 2 x.

Corrigé.

On a x

3+xcosx+ sinx

2x3=12+cosx2x2+sinx2x3.

tendent vers0lorsquex→+∞. Donc, par le théorème des gendrames, on alimx→+∞cosx

2x2= 0.

pour toutx?= 0, et par le théorème des gendarmeslimx→+∞sinx

2x3= 0. Finalement,

lim x→+∞x

3+xcosx+ sinx

2x3=12+ 0 + 0 =12.

D.4. CORRIGÉ DE L"EXAMEN PARTIEL DU 3 NOVEMBRE 2011131 Concernant le seconde limite, on commence par rappeler que six?R, alors⎷ x2=|x|.

D"autre part, on rappelle aussi que six0, on a|x|

x= 1. On a donc, pourx >0, en mettantx2en facteur dans la racine : x2+ 2x+ 2 x=|x|?

1 +2x+2x2

x=?1 +2x+2x2, avec 2 x→0et2x2→0lorsquex→+∞, donc le terme à l"intérieur de la racine tend vers

1 + 0 + 0 = 1, et par continuité de la racine carrée en 1

lim x→+∞⎷ x2+ 2x+ 2 x=⎷1 = 1. Une remarque importante, à lire.Dans ces deux exercices, ilne faut passe contenter de dire "on garde les termes de degrés les plus importants" (c"est-à direx3

2x3=13pour la première

limite, et⎷ x2 x= 1pour la seconde limite). En effet, cet argumentn"est valable que pour les fractions rationnelles, i.e. les quotients de polynômes.Hors, aucune de ces deux fonctions

n"est un polynôme : la première fait intervenir des sinus et cosinus, la seconde des racines carr´des.

Ilfautfaire comme dans ce corrigé.

Exercice 3.

Calculer

lim x→0x

2+⎷

x+ 4 x+ 1; limx→1x

2-1x2+x-2; limx→01-⎷

1 + 2x

x.

Corrigé.

Le numérateur dex2+⎷x+4

x+1tend vers0 +⎷0 + 4 = 2lorsquex→0alors que le dénominateur tend vers0 + 1 = 1. Donc le quotient tend vers2 1= 2: lim x→0x

2+⎷

x+ 4 x+ 1= 2. Commentaire. Il arrive parfois (mais pas à chaque examen) qu"une limite ne soit pas une forme indéterminée. Commencez donc toujours par vérifier si, comme c"est le cas ici, la limite se calcule sans difficulté. Lorsquextend vers1, les numérateurs et dénominateurs dex2-1 x2+x-2tendent tous deux vers0, d"où une forme indéterminée du type 0

0. Pour lever l"indétermination, on factorise les numérateurs

et dénominateurs en x 2-1 x2+x-2=(x-1)(x+ 1)(x-1)(x+ 2)=x+ 1x+ 2. Dans cette dernière expression, le numérateur tend vers2et le dénominateur vers3, donc lim x→1x 2-1 x2+x-2=23. Enfin, lorsquextend vers0, les numérateurs et dénominateurs de1-⎷ 1+2x xtendent tous deux vers0, d"où une forme indéterminée du type0

0. Pour lever l"indétermination, on multiplie haut

et bas par ce qu"on appelle "la quantité conjuguée" :

1-⎷

1 + 2x

x=(1-⎷

1 + 2x)(1 +⎷1 + 2x)

x(1 +⎷1 + 2x)=12-(1 + 2x)x(1 +⎷1 + 2x)=-2xx(1 +⎷1 + 2x)=-21 +⎷1 + 2x.

132ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

Lorsquex→0, le haut tend vers2, alors que le bas tend vers1 +⎷

1 + 2×0 = 1, donc

lim x→01-⎷

1 + 2x

x=21= 2. Remarquons que pour cette dernière limite, un DL d"ordre 1 des numérateurs et dénominateurs auraient conduits à la même solution.

Exercice 4.

Étudier le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de f(x) = (x2-3)⎷ x+ 1.

Corrigé.

f(x) = (x2-3)⎷x+ 1est définie si et seulement six+ 1≥0, donc D f= [-1,+∞[. Puisquex?→(x2-3)est continue surR,fsera continue par produit de fonctions continues là oùx?→⎷ x+ 1l"est. Puisquet?→⎷test continue surt?[0,+∞[, on déduitx?→⎷x+ 1est continue enxtel quet=x+ 1≥0, c"est-à dire exactement six?Df. Doncfest continue sur D f= [-1,+∞[. Enfin, puisquex?→(x2-3)est dérivable surR,fsera dérivable par produit de fonctions dérivables là oùx?→⎷ x+ 1l"est. Puisquet?→⎷test dérivable surt?]0,+∞[, on déduit x?→⎷ x+ 1est dérivable enxtel quet=x+ 1>0, c"est-à dire exactement six?]-1,+∞[.

Doncfest dérivable sur]-1,+∞[.

Remarque, à lire.Il ne faut pas montrer quefest dérivable en se contentant de le justifier en

donnant la formule de la dérivée.Il faut, avant d"écrire une formule de dérivée, justifier

que le calcul est licite. En général, il faut appliquer les propositions selon lesquelles une somme, un produit ou une composée de fonctions continues sont continues.

Exercice 5.

Montrer que l"équation(x+1)cosx-⎷x= 0admet au moins une solution dans R.

Corrigé.

Posonsf(x) = (x+ 1)cosx-⎷x. Alorsfest continue surR+comme somme de⎷ x, continue surR+, et de(x+ 1)cosx, continue surR. On a d"autre partf(0) = cos0-⎷0 =

1-0 = 1>0, etf(π

2) =-?

2<0. Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe

c?]0,π

2[, tel quef(c) = 0.

Exercice 6.

Calculer le domaine de définition et de continuité def(x) =log(2+cosx)x. Peut-on la prolonger par continuité en0?

Corrigé.

f(x) =log(2+cosx)xest définie si, et seulement six?= 0ET2+cosx >0. Cette dernière D f=R?. Pour voir si on peut prolongerfpar continuité en0, on regarde sifa une limite en0. Lorsque x→0, le numérateur tend, par continuité decosen0et delogen3, verslog(2 + cos(0)) = log3>0, alors que le dénominateur tend vers0+six→0+et vers0-six→0-. Donc lim x→0+log(2 + cosx) x=log30+= +∞etlim x→0-log(2 + cosx)x=log30-=-∞, D.5. CORRIGÉ DE L"EXAMEN PARTIEL DU 8 DÉCEMBRE 2011133 doncfn"a pas de limite en0, doncfne peut-être prolongée par continuité en0

Exercice 7.

Soitf:R→Rdéfinie surR. On suppose quelimx→+∞f(x)x= 2. Montrer que pour toutxsuffisament grand, on af(x)> x.

Corrigé.

Par définition de la limite, on a

?ε >0,?A?R,?x?R,x≥A? -ε x. D.5 Corrigé de l"examen partiel du 8 décembre 2011

Rappel important :Pour alléger les écritures, une expression du typexnε(x)avecε(x)→0

lorsquex→0est souventabrégée eno(xn).

Exercice 1.Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses

des expressions suivantes : log(1 +x)-log(1-x)à l"ordre4;cosx×log(1-x)à l"ordre4; 3 cosxà l"ordre3;log(1-x)cosxà l"ordre3;

Corrigé.On a, à l"ordre4au voisinage de0et d"après le formunaire (pourlog(1 +x), on écrit

celui delog(1-x)en remplaçantxpar-x) : log(1 +x) =x-x2

2+x33-x44+o(x4)

log(1-x) =-x-x2

2-x33-x44+o(x4)

donc en faisant la différence log(1 +x)-log(1-x) = 2x+2

3x3+o(x4)

Deuxième DL, à l"ordre4

: d"après le formulaire : cosx= 1-x2

2+x44+o(x4)

log(1-x) =-x-x2

2-x33-x44+o(x4)

134ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

donc par produit, et en ne gardant que les termes de degré jusqu"à4: cosx×log(1-x) = (1-x2

2+x44)(-x-x22-x33-x44) +o(x4)

=-x-x2

2-x33-x44+x32+x44+o(x4)

=-x-x2

2+x36+o(x4).

Troisième DL, à l"ordre3

3 cosx= (cosx)13 = (1-x2

2+o(x3))1

3

Posonst=-x2

2+o(x3), qui tend vers0lorsquextend vers0. On a aussi d"après le formulaire :

(1 +t)1

3= 1 +t3-t29+αt3+o(t3)

pour un certain coefficientα=1

3×(13-1)×(13-2)6qu"il est inutile de calculer car il disparaitra dans

la suite. Donc, en ne gardant que les termes de degré jusqu"à3: 3 cosx= (1-x22+o(x3))1 3 = 1 + -x2

2+o(x3)

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