[PDF] [PDF] 3 Matrices `a coefficients dans un corps

View - Download [PDF] 3 Matrices `a coefficients dans un corps

Previous PDF

Next PDF

Universit

e de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre

2017-18semestre 1

3 Matrices a coecients dans un corps

3.1 Introduction

Une matrice par exemple a coecients reels denlignes etpcolonnes est un tableau constitue denlignes

formees depreels. L'ensemble de ces matrices est muni de deux operations naturelles : addition et multipli-

cation par un reel. Nous denissons de plus le produit "ligne-colonne" qui permet de multiplier une matrice

nlignes etpcolonnes par une matriceplignes etmcolonnes. L'inter^et de ces trois operations provient de

leurs nombreuses proprietes et de leurs compatibilites. En particulier, le produit "ligne-colonne" opere sur les

matrices carrees de taillen(matricesnlignes etncolonnes). Ce produit est associatif et possede un element

neutre. Les matrices carrees qui admettent un inverse pour cette multiplication sont dites inversibles. Pour la

multiplication matricielle, les matrices inversibles forment un groupe non commutatif appele le groupe lineaire.

Les matrices elementaires sont inversibles. La multiplication a gauche par une matrice elementaire d'une

matrice agit sur les lignes de cette matrice, tandis que la multiplication a droite agit sur ses colonnes. Les

matrices elementaires permettent par ce principe de simplier une matrice. Ainsi, si nous ordonnons les

lignes d'une matrice par l'ordre du premier coecient non nul, nous donnons un algorithme qui transforme

une matrice en une matrice echelonnee. Poursuivant cet algorithme, nous donnons un algorithme qui decide

si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse sous forme de produit de matrices elementaires.

Cet algorithme est la version matricielle de l'algorithme de triangulation d'un systeme lineaire.

A toute matrice carree, il est possible d'associer un reel appele determinant de la matrice et dont la non

nullite caracterise son inversibilite. Les determinants permettent de calculer la comatrice d'une matrice et

ainsi d'exprimer l'inverse d'une matrice. Nous detaillons cette theorie dans le cas des matrices de tailles deux

et trois.

Les matrices codent les systemes d'equations lineaires et ce codage est a la source du produit "ligne-

colonne". Il existe plus precisement une correspondance entre systeme d'equations lineaires et equation

1 matricielle que nous expliquons dans le dernier paragraphe.

Objectif :

1. Savoir multiplier des matrices et pratiquer le yoga des operations sur les matrices.

2. Savoir calculer l'inverse d'une matrice carree de taille 2 ou 3 par les deux methodes :

calcul du determinant et de la comatrice, algorithme d'inversion a l'aide des matrices elementaires.

3. Savoir passer d'un systeme d'equations lineaires a une equation matricielle et inversement.

Dans ce cours,Kdesignera toujours soit l'ensembleQdes nombres rationnels, l'ensembleRdes nombres

reels, ou l'ensembleCdes nombres complexes. Il pourra designer plus generalement un corps quelconque.

3.2 Denitions

Denition 3.2.1Soitnetpdeux entiers naturels. Une matricenpa coecients dansKest la donnee d'une famille(ai;j)1in;1jpdenpelements deK. Elle est representee par le tableau anlignes etpcolonnes : M=0 B BBB@a

1;1::: a1;p

a

2;1::: a2;p...:::...

a n;1::: an;p1 C CCCA: L'elementai;jdeKest le terme de sai-eme ligne etj-eme colonne qui est appele le terme generaldeM. On dit que la matriceMest une matrice anlignes etpcolonnes. Notation 3.2.2On noteMn;p(K)l'ensemble des matrices anlignes etpcolonnes. 2 Soita1;:::;ap2K, la matrice (a1a2::: ap)2 M1;p(K) est appelee matrice ligne.

Soita1;:::;an2K, la matrice :0

B B@a 1... a n1 C

CA2 Mn;1(K) est appelee matrice colonne.

On note 0 la matrice deMn;p(K) dont tous les coecients sont nuls.

Notation 3.2.3Les matrices anlignes etncolonnes sont appelees matrices carrees de taillen. L'ensemble

de ces matrices sera noteMn(K). SoitM= (ai;j)1in;1jn2 Mn(K) une matrice carree. Les coecientsai;isont appeles coecients diagonaux. La matriceMest dite diagonale siai;j= 0 pouri6=j:M=0 B B@a 1;10

0an;n1

C CA. La matriceMest dite triangulaire superieure siai;j= 0 pouri > j:M=0 B BBB@a

1;1a1;2a1;n

0a2;2a2;n...

0 0an;n1

C CCCA. La matriceMest dite triangulaire superieure stricte siai;j= 0 pourij:M=0 B

BBBBBB@0a1;2a1;n

0 0a2;3a2;n...

0 0an1;n

0 0 01

C

CCCCCCA.

On denite de m^eme les matrices triangulaires inferieures. 3 Enn, on noteIn2 Mn(K) la matrice diagonale dont les elements diagonaux sont egaux a 1 : I n=0 B

BBBBB@1 0 0:::0

0 1 0:::0

0

0:::0 1 0

0:::0 0 11

C

CCCCCA:

Trois operations sur les matrices a coecients dans K : Addition de deux matrices deMn;p(K):SoitM= (ai;j)2 Mn;p(K),N= (bi;j)2 Mn;p(K). La somme deMetNest la matrice deMn;p(K) dont le terme general estai;j+bi;j. Elle est noteeM+N. Ainsi : M+N=0 B @a

1;1::: a1;p

a n;1::: an;p1 C A+0 B @b

1;1::: bb1;p

b n;1::: bn;p1 C A=0 B @a

1;1+b1;1::: a1;p+b1;p

a n;1+bn;1::: an;p+bn;p1 C A: Multiplication d'une matrice deMn;p(K)par un element de K :Soit2K, le produit deMpar est la matrice deMn;p(K) dont le terme general estai;j. Elle est noteeM. Ainsi : M=0 B @a

1;1::: a1;p

a n;1::: an;p1 C A=0 B @a

1;1::: a1;p

a n;1::: an;p1 C A:

Nous noteronsMla matrice de terme generalai;j:

M=0 B @a1;1:::a1;p an;1:::an;p1 C A:

On observe queM= (1)M.

Ces deux operations munissentMn;p(K) d'une structure deK-espace vectoriel : 4

1. L'addition est une loi de groupe commutatif surMn;p(K) : pour toutM;N;P2 Mn;p(K) :

(M+N) +P= (M+N) +Passociativite;

M+N=N+Pcommutativite;

M+ 0 = 0 +M=M0 est element neutre;

M+ (M) = (M) +M= 0 existenced0un oppose:

2. Pour tout;2K:

(M) = ()M ; (M+N) =M+N ; (+)M=M+M ;

1:M=M :

Nous noteronsMN=M+ (N).

SiM1;:::;Ml2 Mn;p(K),1;:::;l2K, la matrice1M1+2M2++lMlest appele combinaison lineaire des matricesM1;:::;Ml. Produit 'ligne-colonne" d'une matrice deMn;p(K)par une matrice deMp;q(K):Nous allons denir une operation qui associera aM2 Mn;p(K),N2 Mp;q(K) une matrice noteeMN2 Mn;q(K) et appelee produit deMparN, et donc denir une application : M n;p(K) Mp;q(K)! Mn;q(K) ; (M;N)7!MN : Commencons par denir ce produit dans le cas du produit d'une matrice ligne par une matrice colonne, c'est a dire d'une matrice deM1;p(K) par une matriceMp;1(K). Ce produit est deni par l'application : M

1;p(K) Mp;1(K)! M1;1(K) =K;

L= (a1a2::: ap); C=0

B BBB@b 1 b 2... b p1 C

CCCA7!LC=a1b1+a2b2++apbp:

5 A partir de la, le produit deM2 Mn;p(K) parN2 Mp;q(K) est la matriceMNdont le terme place a lai-eme ligne etj-eme colonne estLiCjproduit de lai-eme ligne deMpar laj-eme colonne deN: M=0 B @a

1;1::: a1;p

a n;1::: an;p1 C

A; N=0

B @b

1;1::: b1;p

b n;1::: bn;p1 C

A7!MN=0

B BB@L

1C1::: L1Cq

L

2C1::: L2Cq

L nC1::: LnCq1 C CCA: ouLi= (ai;1ai;2::: ai;p) est lai-eme ligne deMetCj=0 B BBB@b 1;j b

2;j...

b p;j1 C

CCCAest laj-eme colonne deN.

Ainsi, le terme general de la matriceMN2 Mn;q(K) est :LiCj=k=pX k=1a i;kbk;j. Le produit matriciel est appele aussi appele produit "ligne-colonne". Proposition 3.2.4Des qu'elles ont un sens, nous avons les egalites entre matrices : (MN)P=M(NP) note :MNP ;

M(N+P) =MN+MP ;

(M)N=M(N) =(MN) note :MN ; (M+N)P=MP+NP ; I nM=MIp=Mpour toutM2 Mn;p(K): Transposition :C'est une application qui aM2 Mn;p(K) associe une matrice noteetM2 Mp;n(K) appelee transposee deMdenie par : M n;p(K)! Mp;n(K); M= (ai;j)1in;1jp7!tM= (bi;j)1ip;1jnoubi;j=aj;i: Autrement dit, lai-eme ligne detMest lai-eme colonne deMet laj-eme colonne detMest laj-eme ligne deM. Ou encore, l'application transposee echange les lignes et les colonnes d'une matrice. 6

Exemple :

t 4 5 2 1

1 2 1 1!

=0 B BB@41 5 2 2 1 1 11 C CCA: Proposition 3.2.5Soit2K,M;N2 Mn;p(K), des qu'elles ont un sens, on a les egalites : t (M+N) =tM+tN ;t(M) =(tM); t(MN) = (tN)(tM); t(tM) =M :

Preuve : laissee au lecteur. La formule

t(MN) = (tN)(tM) s'etablit facilement apres l'avoir verie dans le cas ouMest une matrice ligne etNune matrice colonne de m^eme longueur.

On notera que

tIn=In. Denition 3.2.6Une matrice carree est dite symetrique si elle est egale a sa transposee. L'anneauMn(K)des matrices carrees :En particulier,Mn(K) est muni de deux operations : addition :Mn(K) Mn(K)! Mn(K);(M;N)7!M+N ; multiplication :Mn(K) Mn(K)! Mn(K);(M;N)7!MN : Muni de l'addition, nous avons vu queMn(K) est un groupe commutatif. Mais, on a de plus : a) La multiplication est associatice :

8M;N;P2 Mn(K) (MN)P=M(NP);

b) Elle est distributive par rapport a l'addition :

8M;N;P2 Mn(K)M(N+P) =MN+MPet (M+N)P=MP+NP ;

7 c) La multiplication admetIncomme element neutre :

8M2 Mn(K)InM=MIn=M :

On resume toutes ces proprietes en disant queMn(K) est un anneau unitaire. On notera qu'en general siMetNsont deux matrices deMn(K) :MN6=NM. Notation 3.2.7SiM2 Mn(K), on noteMM=M2,MMM=M3et pour tout entiern,Mnle produitn fois deMpar elle m^eme.

3.3 Matrices elementaires

Proposition 3.3.1(Denition deDi(a)) Soitn1un entier,i2 f1;2;:::;ngeta2K. Il existe une unique matriceDi(a)2 Mn(K)telle que pour tout entierp1etM2 Mn;p(K), la matrice produitDi(a)M se deduit deMen multipliant lai-eme ligne deMparasans changer les autres lignes.

Preuve : SiDi(a) existe,Di(a) =Di(a)In. Ainsi,Di(a) est la matrice diagonale denie parai;i=aetai;j= 1

sij6=i. Il reste a voir que cette matrice convient. Proposition 3.3.2(Denition deTi;j()) Soitn1un entier,i;j2 f1;2;:::;ngdistinctset2K. Il existe une unique matriceTi;j()2 Mn(K)telle que pour tout entierp1etM2 Mn;p(K), la matrice produitTi;j()Mse deduit deMen ajoutant a lai-eme ligne deMle produit parde laj-eme ligne deM sans changer les autres lignes.

Preuve : SiTi;j() existe,Ti;j() =Ti;j()In. Ainsi, les termes diagonaux de la matriceTi;j() sont egaux a

1 et le seul terme non diagonal non nul estplace a lai-eme ligne etj-eme colonne. Il reste a voir que cette

matrice convient.

Exemple: Pourn= 3,

D

2(a) =D2(a)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 0a0

0 0 11

C

Aet T2;3() =T2;3()0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 0 1

0 0 11

C A: 8 Denition 3.3.3(Matrices elementaires) Les matricesDi(a)poura6= 0etTi;j()pour tout2Ksont appeles matrices elementaires. Proposition 3.3.4(Denition deSi;j) Soitn1un entier eti;j2 f1;2;:::;ngdistincts. Il existe une unique matriceSi;j2 Mn(K)telle que pour tout entierp1etM2 Mn;p(K), la matrice produitSi;jMse deduit deMen permutant lai-eme ligne et la laj-eme ligne deMsans changer les autres lignes. Preuve : La matriceSi;jest denie par son action surIn:Si;j=Si;jIn. Il reste a voir que cette matrice convient.

Exemple : Pourn= 3; S2;3=S2;3I3=S2;30

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 0 0 1

0 1 01

C A. Remarque 3.3.5On peut noter queSi;jest produit de matrices elementaires : S i;j=Di(1)Ti;j(1)Tj;i(1)Ti;j(1): Preuve : Regarder l'action sur les lignes de la multiplication a gauche d'une matrice par : D i(1)Ti;j(1)Tj;i(1)Ti;j(1): Proposition 3.3.6Soitn1un entier,i2 f1;2;:::;ngeta2K. La matriceDi(a)2 Mn(K)est l'unique matrice veriant la propriete : pour tout entierp1etM2 Mp;n(K), la matrice produitMDi(a)se deduit deMen multipliant lai-eme colonne deMparasans changer les autres colonnes. Preuve : M^eme preuve que pour la proposition??. On notera que multiplier paralai-eme ligne deInsans

changer les autres lignes revient a multiplier paralai-eme colonne deInsans changer les autres colonnes.

On obtient dans les deux cas la matriceDi(a).

Proposition 3.3.7Soitn1un entier,i;j2 f1;2;:::;ngdistincts et2K. La matriceTi;j()2 Mn(K) est l'unique matrice veriant la propriete : pour tout entierp1etM2 Mp;n(K), la matrice produit MT i;j()se deduit deMen ajoutant a laj-eme colonne deMle produit parde lai-eme colonne deM sans changer les autres colonnes. 9

Preuve : M^eme preuve que pour la proposition??. On notera que ajouter a lai-eme ligne deInle produit

parde saj-eme ligne sans changer les autres lignes revient a ajouter a laj-eme colonne deInle produit

parde sai-eme colonne sans changer les autres colonnes. On obtient dans les deux cas la matriceTi;j().

Proposition 3.3.8Soitn1un entier eti;j2 f1;2;:::;ngdistincts. La matriceSi;j2 Mn(K)est l'unique matrice veriant la propriete : pour tout entierp1etM2 Mp;n(K), la matrice produitMSi;jse deduit deMen permutant lai-eme colonne et la laj-eme colonne deMsans changer les autres colonnes.

Preuve : M^eme preuve que pour la proposition??. On notera que permuter lai-eme ligne et laj-eme ligne de

I

nsans changer les autres lignes revient a permuter lai-eme colonne et laj-eme colonne deInsans changer

les autres colonnes. On obtient dans les deux cas la matriceSi;j.

Exemple pourn= 3 :

T

2;3(17) =0

B @1 0 0

0 1 17

0 0 11

C A:

On a :

T

2;3(17)0

B @a b c d e f g h i1 C A=0 B @a b c d+ 17g e+ 17h f+ 17i g h i1 C A et 0 B @a b c d e f g h i1 C

AT2;3(17) =0

B @a b c+ 17b d e f+ 17e g h i+ 17h1 C A:

3.4 Matrices carrees inversibles

Denition 3.4.1Une matriceM2 Mn(K)est dite inversible, s'il existeN2 Mn(K)tel queMN=NM= I n. La matriceNest alors unique, appelee inverse deMet noteeM1. 10

Montrons pour ^etre complet l'unicite de l'inverse : SupposonsMinversible. SiN0etN00sont deux inverses

seM. On a : N

0MN00= (N0M)N00=N0(MN00) =InN00=N0In=N00=N0:

Noter que cette preuve utilise l'associativite de la multiplication matricielle qui est un point essentiel.

Notation 3.4.2Nous noteronsGln(K)l'ensemble des matrices inversiblesMn(K). Proposition 3.4.31. La matriceInest inversible d'inverseIn.

2. SiMetNsont deux matrices carrees inversibles, la matrice produitMNest inversible et l'inverse de

MNest :

(MN)1=N1M1:

3. SiMest une matrice carree inversible, son inverseM1est inversible et l'inverse deM1est :

(M1)1=M :

4. SiMest une matrice carree inversible, sa transposeetMest inversible et l'inverse detMest :

tM)1=t(M1): Preuve : 1) Cela resulte de l'identiteInIn=InIn=In.

2) SoitMetNdeux matrices carrees inversibles. Nous avons toujours gr^ace a l'associativite de la multipli-

cation matricielle :

MN(N1M1) =M(NN1)M1=MInM1=MM1=In

et (N1M1)MN=N1(M1M)N=N1InN=N1N=In:

Ainsi,MNest inversible d'inverse (N1M1.

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] produit de 3 matrices

[PDF] produit de deux matrices de taille différentes

[PDF] nombre relatif multiplication et division

[PDF] multiplication de nombres relatifs 4ème exercices

[PDF] variable aléatoire définition

[PDF] variable aléatoire pdf

[PDF] variable aléatoire discrète

[PDF] fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète

[PDF] variable aléatoire exemple

[PDF] soliman et françois 1er

[PDF] fonction de distribution statistique

[PDF] produit scalaire deux vecteurs

[PDF] produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan

[PDF] fonction de répartition d une variable aléatoire discrète

[PDF] multiplication coordonnées vecteurs