[PDF] Chapitre 2 - Variables Aléatoires





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Chapitre 2 - Variables Aléatoires

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Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers ? et prenant les valeurs x1x2



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On parle alors de loi diffuse ou de v.a.r. continue (voir définition 21). DÉFINITION 19. — Soit X une v.a.r. de fonction de répartition FX supposée strictement 



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calculer et interpréter l'espérance et la variance d'une variable aléatoire. • calculer une probabilité sur une variable aléatoire continue.



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  • Comment définir une variable aléatoire ?

    Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre différentes valeurs avec une probabilité définie pour chacune des occurences, au contraire d'une variable certaine qui ne prend qu'une seule valeur définie, avec une probabilité de 1.

  • Quelle est la loi de la variable aléatoire ?

    Une variable aléatoire X est une application définie sur ? dans ?. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur ??=X(?) : on a P?(xj)=P(X?1(xj))=P(X=xj). La loi P? est appelée loi de X.

  • Comment montrer qu'une variable est une variable aléatoire ?

    On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p?[0,1] p ? [ 0 , 1 ] lorsque X est à valeurs dans {0,1} et que P(X=1)=p et P(X=0)=1?p.
  • Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur E et prenant les valeurs x1,x2,, xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité pi = P(X = xi).

Chapitre2

VariablesAléatoires

aléatoires.

àvaleursdansR,X:Ω→R.

discrète.

UnvecteuraléatoireX:Ω→R

d estunefonctionX=(X 1 ,...,X d )àvaleursdansR d tellequelescoordonnéesX i soientdesvariablesaléatoires.

événement.

1 2 1 2 obtenu.Onaalors 1 2 )?→max(ω 1 2 17

18CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

Ts'écritalors

T:Ω-!R

1 2 )?→inf{ω 1 2 desdifférentesvaleursdecettevariable. lafonctionF X F X :R→[0,1] derépartitionF X =F Y tellequelim x→-∞ F X (x)=0etlim x→+∞ F X

1.1Loid'unevariablediscrète

variablediscrèteàvaleursdans{x 1 ,...,x n }avecx 1 <...IP(X=x i )avecktelquex k k+1 1 ,...,x n ,...}avecx 1 <...IP(X=x i )avecktelquex k k+1

LessautsdelafonctionderépartitionF

X ontlieuenlespointsx i etlahauteurdusaut aupointx i estégaleàIP(X=x i pointsx i 1 ,...,x n }(ou{x 1 ,...,x n ,...}),la i ):i≥1}.(Eneffet,voirp.8)

Onremarqueque

1.pourtouti≥1,IP(X=x

i )?[0,1], 2. i≥1

IP(X=x

i )=1.(Eneffet,1=IP(X?R)= P i≥1

IP(X=x

i k23456789101112 k123456

IP(Y=k)1/363/365/367/369/3611/36

F Y (k)1/364/369/3616/3625/361

LafonctionderépartitiondeYest

101234567

0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

Fonction de Repartition de Y

1.2Loisdiscrètesusuelles

LoideBernoulli,B(p),avecp?]0,1[.

valeur0sielleestsaine(échec).

Laloiestdonnéepar:P(X=1)=pP(X=0)=1-p.

k?

20CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

loiBinomialedeparamètresnetp.Ona

P(X=k)=

n k p k (1-p) n-k aveck?{0,1,..,n}.

OnnoteX

i lerésultatdelai

ème

expérience: X i

1silai

ème

expérienceestréussie

0silai

ème

expérienceestunéchec

OnaalorsX=X

1 +...+X n 2 marqués?

Laloiestdonnéepar:P(X=k)=

0 m k 1 A 0 N-m n-k 1 A 0 N n 1 A sik?{0,..,min(m,n)}. proportionde"poissonsmarqués".

LoiGéométrique,G(p),avecp?]0,1[.

aupremierlancer,audeuxième,...,auk ième lancer,....OnnoteXlenombredelancers nécessairespouravoirunsuccès.

Laloiestdonnéepar:P(X=k)=p(1-p)

k-1 aveck?N,k≥1. 1+x 2 +...+x n 1-x n+1 1-x i aveci≥1. loidePoisson.

LaloiestdonnéeparP(X=k)=

k k! e aveck?N.

Uneformuleutile:

e x =1+x+ x 2 2 x 3 3! k=0 x k k! existedesvariablespluscomplexes. ?x?RF X (x)= x f(t)dt

1.f(t)≥0pourtoutt?R,

2. f(t)dt=1.

Alorspourtoutx?R,IP(X=x)=0.

22CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

IP(X=x)=IP(X?I)=

Z x x f(t)dt=0. b a f(t)dtcorrespondàl'airedela X .SiF X est X (x).

1.4Loisàdensitéusuelles

LoiUniforme,U([a,b]),aveca,b?R,a

Densité:

f(x)= 1 b-a six?[a,b] =0sinon

Fonctionderépartition:

F(x)=0six x-a b-a six?[a,b] =1six>b exponentielle.

Densité:

f(x)=λe -λx six≥0 =0six<0

Exponentielle(1)

Exponentielle(2)

0 0.5 1 1.5 2 1234
x

Densitédeloisexponentielles

Fonctionderépartition:

F(x)=0six<0

=1-e -λx six≥0 leurreste,quelquesoitleurâge.

LoiNormale(ouloiGaussienne),N

m,σ 2 ,avecm?R,σ>0réel. lorsd'uneexpérience).

Densité:

f(x)= 1 2π e (x-m) 2 2σ 2 avecx?R.

Normale(0,1)

Normale(0,4)

0 0.1 0.2 0.3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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