3. Calcul vectoriel
La notion de vecteur peut être définie en dimension deux (le plan) ou trois 2. Si ? < 0 alors le produit ? ?v est le vecteur dont l'intensité a ? fois ...
Chapitre 2.3 – Le produit vectoriel
v et de trouver un vecteur perpendiculaire à ce plan. Puisqu'il y a deux choix possibles la règle de la main droite choisie l'orientation.
Déterminants
Cas de deux vecteurs dans R2. Définition et propriétés. Orientation. 2 Déterminant en dimension 3. Produit mixte et produit vectoriel.
Produit vectoriel dans lespace euclidien orienté de dimension 3
18 mai 2009 produit vectoriel de. ?? u par. ?? v lorsque les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Soit. ?? v1 un vecteur unitaire du plan vectoriel ...
GELE3222 - Chapitre 1
Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B est un autre vecteur Si on conna?t 2 vecteurs de ce plan on utilise le produit vectoriel pour trouver le.
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
de vecteurs dans R. 2 et R. 3 ainsi que le produit vectoriel. Les prérequis On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme.
Produit mixte et produit vectoriel
2. On se donne un espace vectoriel E sur R de dimension quelconque éventuellement 3 pour Si x et y sont deux vecteurs arbitraires de l'espace vectoriel.
Sur le produit vectoriel
Il y a sur cette droite deux vecteurs opposés dont la norme est donnée par la formule ci-dessus et seul l'un des deux donne une base directe avec u v. 2. Page
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Par exemple deux vecteurs non colinéaires de ? dont dépend un vecteur de . Les plans vectoriels sont tous de dimension 2
Produit vectoriel et déterminant cours de niveau secondaire II
Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs. Etant donné deux vecteurs a b
Fiche explicative de la leçon : Produit vectoriel en 2D - Nagwa
Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan
[PDF] Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui • Forme analytique
[PDF] Chapitre 23 – Le produit vectoriel - Physique
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur On utilise l'opérateur « × » pour désigner le
[PDF] Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
I 2 Scalaire et vecteur I 3 Opérations sur les vecteurs I 3 1 Somme et multiplication par un scalaire I 3 2 Produit scalaire I 3 3 Produit vectoriel
Produit vectoriel - Wikipédia
Produit vectoriel opération entre deux vecteurs dans un espace euclidien orienté de dimension 3 dont le résultat est un vecteur orthogonal aux deux vecteurs
[PDF] Sur le produit vectoriel
Il y a sur cette droite deux vecteurs opposés dont la norme est donnée par la formule ci-dessus et seul l'un des deux donne une base directe avec u v 2 Page
[PDF] Produit scalaire produit vectoriel produit mixte
2 Produit scalaire dans l'espace vectoriel euclidien VR à 3 dimensions entre deux vecteurs quelconques x ? VR 3 et y ? VR 3 il est bien connu
[PDF] Produit vectoriel
2 Colinéarité 2 3 Orthogonalité 2 4 Une équation avec un produit vectoriel 2 d'inconnue x o`u u et v sont deux vecteurs fixés
[PDF] Produit vectoriel F2School
et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace de dimension 3 2) Propriétés algébriques et géométriques du produit vectoriel
Produit vectoriel - Vikidia lencyclopédie des 8-13 ans
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont les coordonnées dépendent de celles des deux vecteurs de départ (contrairement au produit scalaire
Comment trouver le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs peut être calculé comme le déterminant d'une matrice trois fois trois où les éléments de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires ��, �� et �� pointant respectivement dans les directions des ��, ��, et ��.Qu'est-ce que le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont les coordonnées dépendent de celles des deux vecteurs de départ (contrairement au produit scalaire où le résultat du produit de deux vecteurs est un scalaire (un nombre)). Le produit vectoriel s'applique seulement dans un espace en trois dimensions.- Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet. Prenons l'exemple d'une roue de voiture qui peut tourner librement autour de son axe. Une force ? �� est appliquée à la roue en un point situé sur le bord de la roue.
1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.Définition de famille génératrice
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Démonstration :
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݒԦܧא
3. Exemples
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :Théorème de la base incomplète
Soit ܧ
famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :՜Si oui, on garde ࣠.
כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩCe qui veut dire que ࣠ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.
6 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
II algèbre de cette année !1. Définitions
Théorème fondamental : dimension et cardinal des basesSoit ܧ
Alors toutes les bases de ܧ
dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧExemples :
- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ
dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ.Lemme clé
Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.Lemme clé ֜
Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݊ implique que ࣠ est liée.՜ Si ߣ
7 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
՜ Si ߣ
On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿOn a donc ܧൌܧ
(S) ൝݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ
(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).՜ Sinon, il existe au moins un ߣ ߣ
ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que2. Conséquences importantes
Théorème
Soit ܧ
est une base de ܧii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ
a exactement ܧ ܧCorollaire utile
࣠ de ܧ8 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ
Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧPropriété de la croissance de la dimension
Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.Démonstration i) :
- Si ܨ automatiquement ܧ݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ
Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌܮ3. Rang des systèmes de vecteurs
9 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.Proposition :
Démonstration i) : ܸ݁ܿ
࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ10 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
III utilité des notions abstraite
vectoriel, de base et de dimension1. Le problème
cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle queOn cherche une fonction interpolatrice ܲ
possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲSi on a ൝
et ൝ et אߣAlors ൝
11 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Synthèse : On pose
On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal àSoit ܧ
Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :
faut montrer que ܲ ge.Démonstration du TH2 :
libre.12 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soient ߣǡߣଵǡǥǡߣିଵ tels que ߣܲߣଵܲଵڮߣିଵܲ
Alors, ݔאԹǡߣߣଵݔڮߣ Ce qui montre que ߣൌߣଵൌڮൌߣOn a donc ܧ
On pose ܧൌᇱ. ܧ
Vérifions. On a pour tout ݊א
Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑൌݎ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).13 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème
tout ݊אԳ, on ait ݑൌߣଵݎଵߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵߣE est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓൌͲ et ݓଵൌͲ.
La preuve pour le cas ߂
On doit donc avoir ݑൌߣ
avec ൝On trouve ݑൌଵ
(est un entier !)Pour n assez grand, ݑ ଵ
On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :՜ ». Elle représentait alors
une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).14 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
IV Supplémentaire, somme directe
1. Définitions
ܨܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ
ݒԦൌݔԦݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ
Premier exemple dans Թ:
Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨܩDémonstration :
(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨܩ. Soit ݒԦܩתܨא
Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?2. Constructions et critères
Théorème
Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ
supplémentaire dans ܧ F G15 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration :
Remarque importante sur la preuve
Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ possède un supplémentaire ܩparticulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ, i.e. du
type ܩൌܸ݁ܿPar exemple, tout plan ܲ
à la fois !
Théorème : critère de somme directe
Soit ܧ un espace vectoriel de dimension finie, ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧLemme : Soient ܨ et ܧ ܩ
F G16 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration du : Caractérisation de ܧൌܩْܨOn a ܧൌܩْܨ
Démonstration du lemme :
- 1er point à faire en exercice.Exemples :
- Dans Թଷ : une droite ܦ et un plan ܲ sont en somme directe ssi ܦתܲ sont supplémentaires dans Թସ.3. La formule de Grassmann
Pour conclure, on
17 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème de Grassmann :
Soient ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ Illustration : Si ܨܩܧ alors ܩתܨExemples :
- Deux plans vectoriels de Թଷ se coupent toujours au moins suivant une droite : facile - Deux sous-espaces de dimension 3 dans Թସ contiennent au moins un plan : moins facile à voir !Démonstration géométrique :
Soit ܸ un supplémentaire de ܩתܨ dans ܩOn montre que ܨܩൌْܸܨ
- Soit ݒԦܸתܨא. Alors ݒԦܩתܨא car ܩؿܸOn a donc ܨܩൌْܸܨ
F G O Vquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] multiplication de deux vecteurs colonnes
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