[PDF] PRODUIT SCALAIRE Définition : Soit un vecteur





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PRODUIT SCALAIRE

Définition : Soit un vecteur u Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par ... Soit un carré ABCD de côté c.



Vecteurs gaussiens

Par conséquent un vecteur aléatoire gaussien est de carré intégrable. Proposition 3.1 Soit qX la forme quadratique de variance d'un vecteur gaussien X m son.



Propriétés de moindres carrés de la matrice de covariance dun

Soit X un vecteur aléatoire à valeurs dans de matrice de covariance Ex supposée non singulière. La minimisation de la trace du produit où M désigne une matrice 



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Une matrice avec une seule ligne ou une seule colonne est un vecteur et une construit un vecteur d'entiers de 1 à 10 et prend la racine carrée de ...



Calcul vectoriel – Produit scalaire

Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si il Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. ... est le carré scalaire.



1 Matrice de covariance

et aussi si X1



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MODELES LINEAIRES

On appelle modèle linéaire gaussien la donnée d'un vecteur y de IRn tel que : Le critère des moindres carrés peut s'écrire aussi de la façon suivante :.



MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsquapplicable l

sqrt : racine carrée. x = [m :h : M] donne un vecteur ligne formé des nombres m m+h



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TP info : Lectures de coordonnées : http://www maths-et-tiques fr/telech/Lecture_coord pdf Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur Exemple :



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??u2 et est appelé carré scalaire de ??u •??u2 = ??u 2 (carré de la longueur du vecteur ??u) • (??u+??v)2 = ??u2 +2??u·??v+??v2 



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La norme d'un vecteur est la racine de son carré scalaire : A AA = I 3 Application : formule d'Al-Kashi Soient deux vecteurs A et B :

  • Comment calculer le carré d'un vecteur ?

    Le produit scalaire du vecteur u par lui-même, noté u 2 ou ?u ?2, est un réel appelé carré scalaire de u . Pour tout vecteur AB on a AB 2=AB2.

  • Quelle est la formule du vecteur ?

    Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. ?u??v=uxvx+uyvy.
  • Comme on vient de le mentionner, le produit scalaire s'écrit à l'aide du symbole ? . Par exemple, ?u??v u ? ? v ? . Par contre, si on utilise une croix (× ) pour signifier le produit de deux vecteurs, on qualifiera cette opération de produit vectoriel (notion habituellement étudiée au niveau collégial).

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2

Propriété : Soit

u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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