Produit scalaire 3D cours de niveau secondaire II
Considérons deux vecteurs u v et notons l'angle entre les deux vecteurs. u v. u v. Appliqué à cette situation
Géométrie 3d Produit scalaire et produit vectoriel Produit scalaire Le
Produit vectoriel. Le produit vectoriel permet de savoir si 2 vecteurs sont colinéaires et à calculer des moments de rotation.
Calcul dune normale
Représentation des points et vecteurs 3D. (xy
Concepts mathématiques Concepts mathématiques
Jan 13 2018 Pour le rendu
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
Produit mixte et produit vectoriel
produit scalaire bases orthonormées produit mixte produit vectoriel calcul a × (b × c) polaires 3d Hadamard Lagrange. Produit mixte et produit vectoriel.
Produit scalaire 3D exercices maths renforcées secondaire II
Géomérie analytique dans l'espace: norme distance
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
Jan 22 2014 Le produit scalaire sert à mesurer la différence entre deux ... Soient deux scalaires
Vecteurs partie 2
On remarque sur ce dessin les vecteurs unitaires i j et k selon la À l'aide du produit scalaire
Outils 3D CaRMetal
Aug 28 2010 CaRMetal 3.5.2 possède un environnement 3D
[PDF] Produit scalaire en dimension 3
Par rapport à une base orthonormée considérons le vecteur Cette grandeur est appelée "produit scalaire des vecteurs u v" et est notée u v
[PDF] Géométrie 3d
Produit scalaire Le produit scalaire permet de savoir si 2 vecteurs sont orthogonaux Le résultat d'un produit scalaire est un scalaire (nombre) 3 × 3 ? ?
[PDF] Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel
Le produit scalaire de deux vecteurs et noté est un scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de leur angle
[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques
Définition : On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P On a ainsi : - si ou est un vecteur nul
Fiche explicative de la leçon : Produit scalaire en 3D - Nagwa
Points clés · Le produit scalaire des vecteurs ? ???? et ? ???? est défini comme ? ???? ? ? ???? = ? ? ? ???? ? ? × ? ? ? ???? ? ? × ???? c o s où ???? est l'angle
[PDF] Produit scalaire et géométrie analytique de lespace - PanaMaths
29 mai 2009 · et BD JJJG sont orthogonaux Le vecteur EC JJJG étant un vecteur orthogonal à deux vecteurs ( AF JJJG et BD
[PDF] Chapitre 6 - Produit scalaire applications géométrique
A partir de la norme précédente il est possible de définir un produit scalaire dans le plan : il s'agit d'associer un nombre réel à deux vecteurs ??u et ??
[PDF] Calcul dune normale
Représentation des points et vecteurs 3D (xyz) Liste plus complète des propriétés du produit scalaire de vecteurs u v et w v • w = w • v
[PDF] Chapitre 1 : Calcul vectoriel
Il y a deux produits de vecteurs : le produit scalaire et le produit vectoriel surfaces (en 3D) qui définissent le syst`eme sont perpendiculaires l'une
[PDF] Rappels mathématiques Transformations géométriques 2D et 3D
Le produit scalaire peut être utilisé pour générer des vecteurs dont la longueur est égale à 1 (vecteurs normalisés) Pour normaliser un vecteur on calcule
PRODUIT SCALAIRE
DANS L'ESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.On a ainsi :
- si ou est un vecteur nul,Exemple :
Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
ABCDEFGH est un cube d'arête a.
uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 22) Propriétés
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.Démonstration :
Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.3) Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .Et en particulier : .
Démonstration :
En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .On a en particulier : .
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace .
uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3
Alors : et soit .
Alors .
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
II. Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.Démonstration :
Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .Démontrons que () est orthogonale à .
peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).Il existe donc deux réels x et y tels que .
Donc , car est orthogonal avec et .
Donc est orthogonal au vecteur .
Et donc est orthogonale à ().
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que le vecteur est normal au plan
(ABG).On considère le repère .
Dans ce repère : ,,,,.
On a ainsi :
, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, soit et .
Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21AB 2 0 2 C 5
On a : et .
Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soitPrenons par exemple, alors et .
Le vecteur est donc normal au plan (ABC).
2) Equation cartésienne d'un plan
Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 23020 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation
Alors le point vérifie l'équation .
Et donc E.
Soit un vecteur . Pour tout point , on a :
E est donc l'ensemble des points tels que .
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .Exemple :
Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point et de vecteur normal . x MyP z AM n.0AMnÛ= 0 0 AAA AAA axxb yyc zz axbyc zaxby czÛax+by+cz+d=0
d=-ax A -by A -cz A a¹0 x My z ax+by+cz+d=0 ;0;0 d A a ax+by+cz+d=0 AÎ a nb c x My z .000 dAMna xby cz axbyc zd
a x My z .0AMn=n x-y+5z+1=0 1 1 5 n 1 2 1 A 3 3 1 n 7 Une équation cartésienne de P est de la forme . Le point A appartient à P donc ses coordonnées vérifient l'équation : donc .Une équation cartésienne de P est donc .
3) Positions relatives d'une droite et d'un plan
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan P a pour équation .Soit et .
1) Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants.
2) Déterminer leur point d'intersection.
1) Un vecteur normal de P est .
(AB) et P sont sécants si et ne sont pas orthogonaux. On a Comme , on conclut que (AB) et le plan P ne sont pas parallèles et donc sécants.2) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
3x-3y+z+d=0
313210d´--´ ++=
d=83x-3y+z+8=0
2x-y+3z-2=0
1 2 3 A 1 2 0 B 2 1 3 n n AB 2 0 3 AB .223350ABn=-´+´=¹ 8 avec t réel. Le point intersection de (AB) et de P vérifie donc le système suivant :On a donc
soit .D'où
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] division vocabulaire
[PDF] vocabulaire multiplication
[PDF] loi géométrique probabilité exercices
[PDF] la santé définition
[PDF] fonction de répartition loi discrète
[PDF] les termes de la division
[PDF] difference entre loi binomiale et hypergeometrique
[PDF] fonction de répartition loi de bernoulli
[PDF] résultat d'une multiplication
[PDF] loi hypergéométrique calculatrice
[PDF] loi de bernoulli exemple
[PDF] nom resultat addition
[PDF] loi uniforme exemple
[PDF] variance loi uniforme démonstration