[PDF] IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques

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IMN428

Chapitre 2 - Transformations géométriques

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

22 janvier 2014

Transformations géométriques1 / 104

Plan de la présentation

1Vecteurs et matrices

2Systèmes de coordonnées

3Transformations affines 2D

4Transformations affines 3D

5Gestion des matrices dans OpenGL

6Transformation fenêtre clôture

7Changement de repère

8Références

Transformations géométriques2 / 104

Vecteurs et matrices

1Vecteurs et matrices

2Systèmes de coordonnées

3Transformations affines 2D

4Transformations affines 3D

5Gestion des matrices dans OpenGL

6Transformation fenêtre clôture

7Changement de repère

8Références

Transformations géométriques3 / 104

Propriétés des vecteurs

Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104

Propriétés des vecteurs

Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104

Propriétés des vecteurs

Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que si

P= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);

alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104

Propriétés des vecteurs

On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV

2x+V2y+V2z:

Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104

Propriétés des vecteurs

Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQj

Cette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104

Propriétés des vecteurs

Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par

1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.

Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.

Transformations géométriques9 / 104

Produit scalaire

Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:

PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2

6 664Q
1 Q 2... Q n3 7

775:Transformations géométriques10 / 104

Produit scalaire

SoientPetQ, deux vecteurs de

taillen. Le produit scalairePQ peut aussi être évalué avec la formule

PQ=jPjjQjcos;

oùest l"angle planaire entre les vecteursPetQ.niPQoPrthgalzP n P Q P n Q n n niPQorthghgniPQnortnhgroaltnzengQ vtQontrntPQnvc1 Qn2Qt3QQcnt3rn4Qltrgen25ntPQnQ6avtzrcn lre.n=alal 7n aozzegt8Qtn.n2QntPQnvc1 Qn2Qt3QQcntPQn4Qltrgenanvconl9nvenePr3cnzcn:z1agQn;7;7n <5ntPQn v3nr=nlrezcQen>eQQn?hhQcoz@n<9nAQltzrcn<7BC9n3QnDcr3n n ;lre.i=lialal al7n>;7EFCn iPzenQ@hvcoentrn nhg EEE ;lre nnn iii i iii

PQPQ .

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