[PDF] Analyse de fonctions lim x?±? cos(x) x

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Chapitre 6

Analyse de fonctions

6.1

Li miteset a symptotesDenition 6.1.On ecrit que

lim x!af(x)=1 sif(x)est aussi grand que l'on veut quandxest assez pres dea. lim x!af(x)=1 sif(x)est aussi petit que l'on veut quandxest assez pres dea. lim x!1f(x)=L sif(x)est aussi proche deLque l'on veut quandxest assez grand. lim x!1f(x)=L sif(x)est aussi proche deLque l'on veut quandxest assez petit. lim x!1f(x)=1 sif(x)est aussi grand (ou petit) que l'on veut quandxest assez grand. lim x!1f(x)=1 sif(x)est aussi grand (ou petit) que l'on veut quandxest assez petit.89 Exemple 6.1.Considerons la fonction ayant le graphe suivant.xf(x)2-1

Pour cette fonction,

?limx!2+f(x)=1 ?limx!2f(x)=1 ?limx!2f(x)@ ?limx!1+f(x)=1 ?limx!1f(x)=1 ?limx!1f(x)=1 ?limx!1f(x)=0 ?limx!1f(x)=0Remarque 6.1.Dans l'exemple precedent, on a ecritlimx!f(x)=1car la fonction tend vers1peu importe commentx! 1. Cependant, comme cette limite n'a pas de valeur car1n'est pas un nombre reel, mais un symbole indiquant le comportement d'une fonction. On pourrait aussi ecrire quelimx!1f(x)@. Certaines limites a l'inni n'existent pas, car les valeurs de la fonction ne s'approchent pas d'une valeur determinee quandxdevient de plus en plus grand (ou de plus en plus petit). Les fonctions trigonometriques sont un exemple : leur periodicite entraine que les limites a l'inni ne convergent pas.Exemple 6.2. ?limx!1sin(x)@xsin(x)90

?limx!1cos(x)@xcos(x)6.1.1Ar ithmetiquede l 'inniDe maniere generale, on peut utiliser"l'arithmetique de l'inni»(aussi appele

"algebre de l'inni») pour determiner le comportement d'une fonction qui tend vers

1ou1, ou quandx! 1.Denition 6.2(Arithmetique de l'inni).

1+1=1 11=1 1k=1 k1=1 1 1=1 1 k=1(1)k=8 >><>>:1sikpair

1sikimpair

n p1=1 n p1=8 >><>>:1sinimpair @sinpair Il faut cependant garder en t^ete que ces regles de manipulation du symbole"1»ne sont que des manieres d'etudier le comportement de certaines limites;"1»n'est pas un nouveau nombre, m^eme si ces regles peuvent donner cette impression. Ce symbole n'est qu'une maniere commode de raisonner rapidement sur des limites ou des valeurs sont aussi grande ou petite que l'on veut. En fait, on pourrait completement se passer de l'arithmetique de l'inni et raisonner qu'avec des limites.Exemple 6.3. Determinons quelques limites a l'aide de l'arithmetique de l'inni. ?limx!1x2=12=1 ?limx!1x2=(1)2=1 ?limx!1x3=13=1 ?limx!1x3=(1)3=1 ?limx!1x+x2=1+13=1+1=1 ?limx!1px

2+5=p1

2+5=p1+5=p1=1.

?limx!1px

3+1=p(1)3+1=p1+1=p1@.

?limx!1x 3+14 =13+14 =1+14 =14 =1.91

Limites impliquant1=1,1=0+et1=0On peut ajouter les regles suivantes a l'arithmetique de l'inni. Elles sont deduite du

comportement de la fonctionf(x)=1=x.x1=x11 =0+11 =010 +=110 =1Note : comme 11 =0, on a quek1 =k11 =k0=0pour n'importe quelle constantek.Exemple 6.4. lim x!1 2+3x 3! =2+31

3=2+311

=2+3(0)=2Exemple 6.5. lim x!1x(1=x)=10 +=110 +=11=1: On peut aussi voir que1=0+=1de la maniere suivante : lim x!1x(1=x)=limx!1x0BBBBB@x1 1

CCCCCA=limx!1x2=1:

Ou encore, avec l'arithmetique de l'inni :

11=1=111

=12=1: On doit garder en t^ete que les formes00et11et11sont indetermines { voir la section suivante. 6.1.2

F ormesi ndeterminees

Nous avons deja etudie les indeterminations de la forme"00.»Si on ajoute les limites quandx! 1et celles qui tendent vers1, il y a de nouvelles formes indeterminee, c'est-a-dire qu'en evaluant certaines limites a l'aide de l'arithmetique de l'inni, on peut obtenir des expressions qui ne nous permettent pas de determiner la valeur de la limite. 92

Formes indeterminees"11

»Pour comprendre pourquoi il y a indetermination quand l'evaluation directe donne un resultat de la forme"11

», comparons les trois situations suivantes :

lim x!1x 3x

2limx!1x

2x

2limx!1x

2x 3 En evaluant directement, on obtient une expression de la forme"11

»pour chacune

des trois limites. Si on simplie avant d'evaluer, on obtient cependant trois resultats tres dierents : lim x!1x 3x

2=limx!1x=1

lim x!1x 2x

2=limx!11=1

lim x!1x 2x

3=limx!11x

=11 =0 On peut interpreter intuitivement ces resultats de la maniere suivante : dans une forme"11 », le numerateur et le denominateur sont deux fonctions qui tendent vers l'inni. Si le denominateur"va plus vite»a l'inni que le numerateur, le denominateur l'emporte et le rapport tend vers 0. Si le numerateur"va plus vite»a l'inni que le denominateur, le numerateur l'emporte et le rapport tend vers l'inni. Si les deux vont vers l'inni"a la m^eme vitesse,»le rapport tend vers une constante. Dans une telle forme d'indetermination, il faut mettre en evidence la plus grande puissance dexau numerateur et au denominateur. On peut ensuite simplier, ce qui revient a comparer les"vitesses»du denominateur et du numerateur.Exemple 6.6. lim x!1x

3+x+13x4+2x+3=11

En mettant en evidence la plus grande puissance dexau numerateur et au93 denominateur, on trouve que lim x!1x

3+x+13x4+2x+4=limx!1x

31+1x
2+1x 3x 43+2x
2+3x 3 =limx!1 1x 1+1x 2+1x 33+2x
2+3x 3 = 11 1+11 2+11 33+21
2+31 3 =(0)1+0+03+0+0 =0:Exemple 6.7. lim x!15x2+3x+43x2+x+2=11 :En mettant en evidence la plus grande puissance dexau numerateur et au denominateur, on trouve que lim x!15x2+3x+43x2+x+2=limx!1x 25+3x
+4x 2x 23+1x
+2x 2 =limx!15+3x +4x 23+1x
+2x 2 5+31 +41
23+11
+21
2

5+0+03+0+0

53
Dans ces exemples, on peut voir que le resultat d'une telle limite est determine par le rapport des termes de plus grande puissance.

Forme"11»

Comme dans la section precedente, une telle forme est indeterminee car la limite a evaluer peu donner des resultats dierents selon la"vitesse»a laquelle les termes vont a l'inni. Considerons les trois limites suivantes : lim x!1x3x2limx!1x2x2limx!1x2x3: 94
lim x!1x3x2=limx!1x3(11=x)=1(10)=1 lim x!1x2x2=limx!10=0 lim

x!1x2x3=limx!1x3(1=x1)=1(01)=1On ne peut donc pas determiner la valeur d'une limite uniquement sachant qu'elle est

de la forme"11». Il faut transformer algebriquement la fonction pour pouvoir evaluer la limite.Exemple 6.8. lim x!0+1x 21x
3=1(0 +)21(0 +)3=11 Pour lever l'indetermination, on met au denominateur commun. lim x!0+1x 21x

3=limx!0+xx

31x
3 =limx!0+x1x 3 (0)1(0 +)3 10 =1

Noter que la mise au denominateur commun est la clef pour evaluer cette limite.Autres formes indetermineesLes formes

01111000

sont toutes indeterminee. Elles seront etudiees de maniere detaillee en calcul integral avec l'introduction de laRegle de l'Hospitalpermettant de lever ce type d'indetermi- nation. La strategie consiste a transformer les fonctions dont les limites donnent une de ces formes indeterminees en fonctions ou les formes indeterminees sont"00

»ou

"11 6.2

Li miteset a symptotes

6.2.1

As ymptotesv erticalesDenition 6.3.

Une fonction reellefa commeasymptote verticalela droite x=asi limx!a+f(x)=1oulimx!af(x)=1:95 xf(x)aDe maniere generale, une fonction de la formef(x)g(x)peut avoir une asymptote verticale quandg(x)=0, c'est-a-dire pour les valeurs dexou il y a une division par zero. Il n'y a pas toujours une asymptote verticale quand il y a division par zero, mais c'est l'endroit ou les chercher!Exemple 6.9.La fonctionf(x)=1x2a une asymptote verticale enx=2car lim x!2+1x2=10 +=1:xf(x)Une fonction peut avoir plusieurs asymptotes verticales.

Exemple 6.10.

La fonctionf(x)=1(x2)(x3)a une asymptote verticale enx=2 et enx=3car lim x!2+1(x2)(x3)=1(0 +)(1)=1(0 )=1; lim x!3+1(x2)(x3)=1(1)(0 +)=1(0 +)=1:96

6.2.2As ymptoteshor izontales

Denition 6.4.Une fonction reellefa commeasymptote horizontalela droitey=Lsi limx!1f(x)=Loulimx!1f(x)=Lxf(x)L

Exemple 6.11.Soitf(x)=11x

2.xf(x)=11x

21
Determinons algebriquement sifune asymptote horizontale. lim x!111x 2=111

2=10=1

La droitey=1est donc une asymptote horizontale de la fonctionf.Exemple 6.12.Determinons sif(x)=x23x43x2+2a une asymptote horizontale.97

lim x!1x

23x43x2+2=limx!1x

213x
4x 2x 23+2x
2 =limx!113x 4x 23+2x
2 131
41
23+21
2

1003+0

13

La droitey=1=3est donc une asymptote horizontale de la fonctionf.Il y a generalement des asymptotes horizontale dans un quotient de fonction quand

les deux fonctions sont"de m^eme force»ou du m^eme ordre quandx! 1, ce qui fait en sorte que la limite du quotient ait une valeurk2R. Note :fpeut avoir deux asymptotes horizontales dierentes, une quandx! 1et une autre quandx! 1.Exemple 6.13.

La fonction denie parf(x)=px

2+1xa deux asymptotes hori-98

zontales dierentes. lim x!1px 2+1x =limx!1px

2q1+1x

2x =limx!1jxjq1+1x 2x =limx!1xq1+1x 2x =limx!1r1+1x 2 =r1+11 2 =p1+0 =1 lim x!1px 2+1x =limx!1px

2q1+1x

2x =limx!1jxjq1+1x 2x =limx!1xq1+1x 2x =limx!1r1+1x 2 =s1+1(1)2 =p1+0 =1Les droitesy=1ety=1sont donc toutes deux des asymptotes horizontales de la fonctionf. Voici le graphe def.99 xf(x)Remarque 6.2.Une erreur frequente est de penser qu'une asymptote est une droite de laquelle le graphe d'une fonction se rapprochesans jamais la croiser. Cette conception est erronee. Par exemple, pour la fonction suivantexf(x) la droitey=1est une asymptote horizontale, m^eme si la fonction croise une innite de fois l'asymptote! Pour information, la fonction dans cet exemple estf(x)=sin(x)x +1.100

6.3Cr oissancee te xtremums

6.3.1 Cr oissancee td ecroissanceDenition 6.5.La fonctionfestcroissantesur[a;b]si pour toutx1etx2 dans l'intervalle[a;b], x

1x2=)f(x1)f(x2):xf(x)x

1f(x1)x

2f(x2)ab

f(x)est strictement croissante sur[a;b]si pour toutx1etx2dans[a;b], x

1 La fonctionfestdecroissantesur un intervalle ferme[a;b]si pour toutx1et x2dans l'intervalle[a;b], x

1x2=)f(x1)f(x2):xf(x)x

1f(x1)x

2f(x2)ab

f(x)est strictement croissante sur[a;b]si pour toutx1etx2dans[a;b], x

1 Pour illustrer l'utilisation de cette denition pour verier qu'une fonction est croissante sur une intervalle, montrons quef(x)=x2est croissante sur [0;1[. Prenons deux nombres reelsx121x22()x22x210()(x2x1)(x2+x1)0

Or,x10. De plus, commex1;x20, (car ils sont dans l'intervalle[0;1[), on a aussi quex2+x10.101

6.3.2Cr oissancee td eriveepre miereL'intuition geometrique nous dit que la pente de la tangente a une fonction est liee a

sa croissance. La pente est positive, la fonction doit ^etre croissante, si la pente est negative, elle doit ^etre decroissante. Comme la pente de la tangente est en faitf0(x), la croissance est determinee par le signe def0(x).f

0(x)>0f

0(x)<0f

0(x)>0Theoreme 6.1.Sif0(x)0sur[a;b], alorsf(x)est croissante sur[a;b].ab

Sif0(x)0sur[a;b], alorsf(x)est decroissante sur[a;b].ab 102

6.3.3Ex tremumsLesextremumsd'une fonction sont etroitement lies a la croissance et la la decrois-

sance de la fonction. Le terme"extremum»designe a la fois les maximums et les minimums, les deux types de"valeurs extr^emes»d'une fonction.

Extremums globaux

Unextremum globalest la valeur la plus grande ou la plus petite atteinte par une fonction sur l'ensemble de son domaine.Denition 6.6.Une fonction reellefa unmaximum globalenx=asi f(a)f(x) pour toutxdans le domaine def.

Une fonction reellefa unminimum globalenx=asi

f(a)f(x) pour toutxdans le domaine def.Note : on appelle aussiextremum absoluun extremum global 6.3.4

Ex tremumsl ocaux

Unextremum localest la valeur la plus grande ou la plus petite atteinte par une

fonction dans une region de son graphe, autour d'une valeur dexdonnee.Denition 6.7.Une fonction reellefa unmaximum localenx=asi

f(a)f(x) pour toutxassez pres dea(c'est a dire dans un intervalle ouvert]c;d[contenant a).

Une fonction reellefa unminimum localenx=asi

f(a)f(x) pour toutxassez pres dea(c'est a dire dans un intervalle ouvert]c;d[contenant a).Note : on appelle aussiextremum relatifun extremum globalExemple 6.15. La fonction suivante a un maximum global (qui est aussi un maximum local) enx=cet un max local (qui n'est pas global) enx=a. Elle a aussi un minimum local enx=b, mais aucun minimum global.103 xf(x)Max global cMax local aMin local b 6.3.5 D eriveese tex tremumsSi determiner ou une fonction a un maximum ou un minimum local sur son graphe est simple, le determiner a partir de la denition de la fonction est generalement beaucoup plus complexe. Cependant, la derivee est d'une aide precieuse : la un une fonction a un extremum, la tangente est horizontale ou il n'y a pas de tangente du tout. Cela nous donne un critere pour determiner ou sont les extremums locaux d'une fonction.Denition 6.8. Une valeur critiquecde la fonctionfest un nombrecdans le domaine deftel que f

0(c)=0ouf0(c)@:Theoreme 6.2.

(Fermat generalise) Sif(x)a un minimum ou un maximum local enx=c, alorscest une valeur critique def.xf(x)f

0(x)=0xf(x)f

0(x)@ Le theoreme de Fermat generalise nous permet de limiter la recherche des extremum d'une fonctionfaux valeurs ouf0(x)s'annule ou n'existe pas. La proposition suivante permet de determiner le type d'extremum en etudiant le signe def0(x). 104

Proposition 6.1.Sif0(c)=0, alors

a)fa un maximum enx=csif0change de signe de positif a negatif enx=c b)f a un maximum enx=csif0change de signe de negatif a positif enx=c c)fa un point stationnaire sif0a le m^eme signe a droite et a gauche dec.Exemple 6.17. Determinons les maximums et les minimums globaux de la fonc- tion f(x)=x33 x22x+1: On commence par trouver les valeurs critiques def. f

0(x)=0()x22x3=0()x=3oux=1:

f

0(x)est deni pour toutx2R, il n'y a donc pas de point critique ouf0(x)@.

On fait un tableau de signe pourf0(x)pour determiner les intervalles de croissance et de decroissance def(x). Notons quef0(x)=x22x3=(x+1)(x3), ce qui facilite la determination du signe def0(x).x1-1 31(x+1)- 0 + + + (x3)- - - 0 +f

0(x)+ 0 - 0 +f(x)1 %MAX&MIN% 1

La derivee peut s'annuler a un point qui n'est ni un maximum, ni un minimum. On appelle un tel point unpoint stationnaire.Exemple 6.18.Determinons maximums et minimums def(x)=x3. f

0(x)=0()3x2=0()x=0:

Il n'y a aucun point ouf0(x)@.x101f

0(x)=3x21+ 0 +1f(x)1 %STA% 1f(x)a un point stationnaire enx=0.105

xf(x)=x3Exemple 6.19.On analyse la fonction denie par f(x)=x22x1:

Le domaine de la fonction estRnf1=2g.

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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