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1. Limite d'une fonction à l'infini. a/ Définition: Soit/une fonction définie sur un intervalle du type [ + ]. Dire que /(x) tend vers + quand tend vers.
Corrigé du TD no 9
1. Montrer à partir de la définition donnée en cours
Les Développements Limités
Calculons le DL de la fonction f(x) = cos x. sin x à l'ordre 5 au point 0.Ona: sin x = x ? x3. 6. + x5. 120. + x5?1(x) cos x = 1 ?.
Feuille dexercices n?11 : Limites et continuité
Feb 8 2013 donc ce qui est dans l'exponentielle tend vers ??. Du coup
Analyse de fonctions
lim x?±? cos(x) x cos(x). 6.1.1 Arithmétique de l'infini alg`ebre de l'infini ») pour déterminer le comportement d'une fonction qui tend vers.
Analyse de fonctions
lim x?? f(x) = L si f(x) est aussi proche de L que l'on veut quand x est assez grand. L. On écrit lim tend vers ?? peu importe comment x ? ?1.
Exercices de mathématiques - Exo7
[001244]. 2 Applications. Exercice 4. Calculer les limites suivantes lim x?0 ex2. ?cosx x2 lim x?0 ln(1+x)?sinx x lim x?0 cosx?. ?. 1?x2 x4. 1
1. Limites
Comme on fait tendre x vers 0 cos(x) tend vers 1 et il résulte que : Si f et g admettent des limites finies quand x?a
Exercices de mathématiques - Exo7
et de plus (sinx)1/(2x??) = eln(sinx)/(2x??). Quand x tend vers ? lim x??. 2
Développements limités
FiGURe 4 – Fonctions sinus et cosinus hyperboliques avec leurs premiers polynômes de. Taylor en 0. Utilisons maintenant le développement de 1/(1 ? x). Par
Chapitre 6
Analyse de fonctions
6.1 Limites et asymptotes
D´e
fi nition 6.1.On ´ecrit
lim x a f x sif(x)est aussi grand que l'on veut quandxest assez pr`es de a aOn ´ecrit
lim x a f x sif(x)est aussi petit que l'on veut quandxest assez pr`es de a aOn ´ecrit
lim x f x L sif(x)est aussi proche deLque l'on veut quandx est assez grand. LOn ´ecrit
lim x f x L sif(x)est aussi proche deLque l'on veut quandx est assez petit. LOn ´ecrit
lim x f x si f x est aussi grand (ou petit) que l'on veut quand x est assez grand.On ´ecrit
lim x f x si f x est aussi grand (ou petit) que l'on veut quand x est assez petit. 94Exemple 6.1. Consid´erons la fonction ayant le graphe suivant. x f x 2-1
Pour cette fonction,
lim x 2 f x lim x 2 f x lim x 2 f x �� lim x 1 f x lim x 1 f x lim x 1 f x -∞� lim x f x 0 lim x f x 0 Remarque 6.1.Dans l'exemple pr´ec´edent, on a ´ecritlim x f x -∞car la fonction tend vers-∞peu importe commentx → -1. Cependant, comme cette limite n'a pas de valeur car∞n'est pas un nombre r´eel, mais un symbole indiquant le comportement d'une fonction. On pourrait aussi ´ecrire que lim x 1 f xCertaines limites `a l'in
fi ni n'existent pas, car les valeurs de la fonction ne s'approchent pas d'une valeur d´etermin´ee quandxdevient de plus en plus grand (ou de plus en plus petit). Les fonctions trigonom´etriques sont un exemple : leur p´eriodicit´e entraine que les limites `a l'in fi ni ne convergent pas.Exemple 6.2.
lim x sin( x x sin( x lim x cos( x x cos( x 956.1.1 Arithm´etique de l'infini
De mani`ere g´en´erale, on peut utiliser"l'arithm´etique de l'infini»(aussi appel´e "alg`ebre de l'infini») pour d´eterminer le comportement d'une fonction qui tend vers ou , ou quand xD´e
fi nition 6.2 (Arithm´etique de l'in fi ni) k k k k ∞ si k pair si k impair n n -∞ si n impair si n pair Il faut cependant garder en tˆete que ces r`egles de manipulation du symbole" ∞ »ne sont que des mani`eres d'´etudier le comportement de certaines limites;»n'est pas
un nouveau nombre, mˆeme si ces r`egles peuvent donner cette impression. Ce symbole n'est qu'une mani`ere commode de raisonner rapidement sur des limites o`u des valeurs sont aussi grande ou petite que l'on veut. En fait, on pourrait compl`etement se passer de l'arithm´etique de l'in fi ni et raisonner qu'avec des limites. Exemple 6.3.D´eterminons quelques limites `a l'aide de l'arithm´etique de l'infini. lim x x 2 2 lim x x 2 2 lim x x 3 3 lim x x 3 3 lim x x x 2 3 lim x x 2 5 2 5 lim x x 3 1 3 1 lim x x 3 14=∞
3 14=∞+14=∞4= ∞.
Limites impliquant
1 1 0 et 1 0 On peut ajouter les r`egles suivantes `a l'arithm´etique de l'in fi ni. Elles sont d´eduites du comportement de la fonction f x 1 x 96x 1 x 1 0 1 0 -1 0 1 0
Note : comme1
∞= 0, on a quek∞= k 1 k 0 0 pour n'importe quelle constante kExemple 6.4.
lim x 2 +3 x 3 2 +3 3 2 31∞= 2+3(0) = 2
Exemple 6.5.
lim x x (1 x )=∞0 ∞1 0On peut aussi voir que
0 de la mani`ere suivante : lim x x (1 x )= limx→∞ = limx→∞ x 2Ou encore, avec l'arithm´etique de l'in
fi ni : 1 ∞= ∞∞1= ∞ 2On doit garder en tˆete que les formes
0 0 et et∞-∞sont ind´etermin´es - voir la section suivante.6.1.2 Formes ind´etermin´ees
Nous avons d´ej`a ´etudi´e les ind´eterminations de la forme" 0 0 .»Si on ajoute les limites quand x ∞et celles qui tendent vers±∞, il y a de nouvelles formes ind´etermin´ee, c'est-`a-dire qu'en ´evaluant certaines limites `a l'aide de l'arithm´etique de l'in fi ni, on peut obtenir des expressions qui ne nous permettent pas de d´eterminer la valeur de la limite.Formes ind´etermin´ees
Pour comprendre pourquoi il y a ind´etermination quand l'´evaluation directe donne un r´esultat de la forme ∞», comparons les trois situations suivantes : lim x x 3 x 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limit of resolution formula
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