Limites de fonctions 5 Détermination graphique PDF

2. Déterminer si elle existe

http://claine.fr/fichiers/ts/methodes/Calcul%20de%20limites_fiche%20de%20m%C3%A9thodes-livret.pdf

Limite dune fonction et dune suite

Limites de fonctions 5 Détermination graphique

Limites de fonctions. Niveau 1. Niveau 2. Niveau 3. • Je sais conjoncturer limites et asymptotes graphiquement. •Je sais calculer une limite `a.

Amplificateur linéaire intégré

4 sept. 2021 Cas limite d'un ALI idéal de gain infini en régime ... Remarque : Dans la limite de gain infini la fonction de transfert du montage devient.

Synthèse de cours (Terminale S) ? Limite dune fonction

Cas d'une limite infinie. Soit f une fonction d'ensemble de définition f. D . On suppose que f est définie au voisinage de +? (resp. ?? ).

FONCTION EXPONENTIELLE

On dit dans ce cas que la limite de en +? est égale à +?. Et on note : lim. ?. = +?. - On cherche à conjecturer de

Fonctions dune infinité de variables indépendantes

Une fonction continue dans un ensemble de points limité et Un p3int de Fespace Q' est constitué par une suite infinie de valeurs complexes.

10.2 Fiche méthodologique : Etude de la continuité de la

Montrer qu'une fonction est continue dérivable

CONTINUITÉ DES FONCTIONS

premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet ...

Limite dune fonction numérique

7.1.2 Limite infinie en a et asymptote verticale. Définition 2. Si lorsque le réel x s'approche de a. • le réel f(x) devient de plus en plus grand et finit

Limites de fonctions

Niveau 1Niveau 2Niveau 3

Je sais conjoncturer limites et

asymptotes graphiquement.Je sais calculer une limite `a l"aide des op´erations et des fonc- tions compos´ees.Je sais lever une forme ind´etermin´ee en me ramenant `a la croissance compar´ee de deux fonctions de r´ef´erence.

Je sais utiliser la notation

limx→...f(x)Je sais lever une forme ind´etermin´ee simple.

Je connais les limites des fonc-

tions de r´ef´erences.Je sais d´eterminer par le calcul la position d"une courbe par rap- port `a son asymptote.

Je sais calculer une limite `a

l"aide des op´erations.

Cette ann´ee, nous chercherons les limites des fonctions uniquement aux bornes ouvertes des inter-

valles de d´efinition des fonctions.

Id´ee g´en´erale :Sifest d´efinie sur ]a;b[,f(a) n"existe pas, mais sif(x) s"approche de plus en plus

d"une valeurlquandxs"approche de a, on dit quefa une limite quandxtend versaet on note limx→af(x) =l.

De mˆeme on peut d´efinir des limites en-∞, en +∞et les limites peuvent ˆetre infinies.

5 D´etermination graphique

Avertissement :En toute rigueur, il est impossible de d´eterminer graphiquement une limite, car

le graphique ne couvre pas `a la fois l"ensemble de l"intervalle de d´efinition et l"ensemble des valeurs

prises par la fonction. Le codage des asymptotes apporte une solution `a ce probl`eme dans certains cas.

5.1 Limite en un point

fest d´efinie sur ]-3;+∞[

0 1 2 3-1-2-3-40

-11 23456
limx→-3f(x) = 1

Il n"y a pas d"asymptote.

fest d´efinie sur ]- ∞;2[?]2;+∞[

0 1 2 3 4 5-1-21

23456
limx→2f(x) = +∞

La courbe admet une asymptote

verticale d"´equationx= 2. fest d´efinie sur ]- ∞;-2[?]-2;+∞[ -1-2-3-4-5-60 -1 -2 -3 -4 -5 -61 lim x→-2-f(x) =-∞

La courbe admet une asymptote

verticale d"´equationx=-2.

5.2 Limite en+∞

fest d´efinie sur ]-5;-3[?]-3;+∞[

0 1 2 3-1-2-3-41

23456limx→+∞f(x) = 2

La courbe admet une asymptote

horizontale d"´equationy= 2. fest d´efinie sur ]- ∞;+∞[

0 1 2 3-1-2-3-41

23456
limx→+∞f(x) = +∞

Il n"y a pas d"asymptote.

fest d´efinie sur ]- ∞;+∞[

0 1 2 3 4 5-1-2-3-40

-1 -2 -3 -41 23
limx→+∞f(x) =-∞

La courbe admet une asymptote

oblique d"´equationy=1

2x+ 1.

5.3 Limite en-∞

fest d´efinie sur ]-5;3[?]3;+∞[

0 1 2 3-1-2-3-41

23456
limx→-∞f(x) = 1

La courbe admet une asymptote

horizontale d"´equationy= 1. fest d´efinie sur ]- ∞;+∞[

0 1 2 3-1-2-3-41

23456
limx→-∞f(x) = +∞

Il n"y a pas d"asymptote.

fest d´efinie sur ]- ∞;3 [

0 1 2 3-1-2-3-40

-1 -2 -3 -4 -5 -61 limx→+∞f(x) =-∞

La courbe admet une asymptote

oblique d"´equationy=1

2x+ 1.

6 AsymptotesD´efinition :Soitfd´efinie sur un intervalle ouvert de borne le r´eela, si limx→af(x) =±∞, on dit que la droited

d"´equationx=aest uneasymptote horizontaleena.

D´efinition :

Soitfune fonction etdla droite d"´equationy=ax+btel que : lim x→±∞[f(x)-(ax+b)] = 0 on dit alors que la droitedest uneasymptote`a la courbe repr´esentativeCfen±∞.

D´efinition :

Dans la d´efinition pr´ec´edente :

Sia?= 0 on dit que la droitedest uneasymptote oblique. Sia= 0 on dit que la droitedest uneasymptote horizontale.

Exemple :

Soitfla fonction d´efinie surR?parf(x) =1x+12x+ 1.

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-60

-1 -2 -3 -41 23
limx→+∞? f(x)-?12x+ 1?? = lim x→+∞? 1x? = 0. La courbe admet une asymptote oblique d"´equationy=1

2x+ 1 en +∞.

7 Limites des fonctions de r´ef´erences

Voir les fiches des fonctions de r´ef´erences.

8 Op´erations sur les limitesDans tout ce qui suit "FI" d´esigne une forme ind´etermin´ee, c"est-`a-dire qu"on ne peut pas dire si la

limite existe, ni la calculer `a l"aide des op´erations sur les limites. Il faudra si possiblelever l"ind´eterminationc"est l"objet de la section suivante.

8.1 Limite d"une somme

limflll+∞-∞-∞ lim (f+g)l+l?-∞+∞+∞-∞FI

Exemples :

?limx→-∞1x= 0- lim x→-∞x2= +∞??? limx→-∞?

1x+x2?

limx→+∞lnx= +∞ lim x→+∞x2= +∞? lim x→+∞(lnx+x2) = +∞. limx→-∞x=-∞ lim x→-∞x3=-∞? lim x→-∞(x+x3) =-∞. limx→-∞x2= +∞ lim x→-∞x3=-∞? lim x→-∞(x2+x3) est une forme ind´etermin´ee du type∞ - ∞.

8.2 Limite d"un produit

limfll?= 0±∞0 limgl?±∞±∞±∞ lim (f×g)l×l??∞?∞FI

Exemple :

?limx→0(ex+ 3) = 4 lim x→0(ex-2) =-1? lim x→0[(ex+ 3)×(ex-2)] =-4. lim x→0+(x-3) =-3 lim x→0+1 x= +∞??? lim x→0+? (x-3)×1x? limx→-∞(x-1) =-∞ lim x→-∞x3=-∞? lim x→-∞[(x-1)×x3] = +∞. limx→-∞(x2+ 1) = +∞ lim x→-∞1 x= 0-??? limx→-∞? (x2+ 1)×1x? est une FI du type 0× ∞.

8.3 Limite d"un quotient

limflll±∞±∞0 limgl??= 0±∞0l?±∞0 lim?fg? l l?0?∞?∞FIFI

Exemple :

?limx→0(ex+ 3) = 4 lim x→0ex-2) =-1? lim x→0? ex+ 3ex-2? =e5. limx→+∞? 1 x-3? =-3 lim x→+∞x2= +∞????? limx→+∞? 1x-3 x2? = 0 lim x→0+x-4 =-4 lim x→0+x= 0+? lim x→0+? x-4 x? lim x→0+lnx=-∞ lim x→0+(x-1) =-1? lim x→0+? lnx x-1? limx→-∞(x-1) =-∞ lim x→-∞x3=-∞? lim x→-∞? x-1 x3? est une forme ind´etermin´ee. limx→0x2= 0 lim x→0⎷ x= 0? lim x→0? x2⎷x? est une forme ind´etermin´ee .

8.4 Limite d"une fonction compos´eePropri´et´e :Soient deux fonctions :fd´efinie deIdansJetgdeJdansR.

Si limx→af(x) =b lim x→bg(x) =c? alors lim x→a(g◦f)(x) = limx→ag[f(x)] =c.

Exemple :

Calcul de "composition" de limites :

limx→-∞(x+ 3) =-∞ lim

X→-∞eX= 0?

lim x→-∞ex+3= 0. limx→+∞(2x+ 1) = +∞ lim x→+∞lnX= +∞? lim x→+∞ln(2x+ 1) = +∞. limx→0(x+ 4) = 4 lim

X→4⎷

X= 2? lim x→0⎷x+ 4 = 2.

8.5 Calcul de limites dans le cas de formes ind´etermin´ees

Dans ce cas, toutes les situations sonta prioripossibles : existence d"une limite finie, nulle ou non;

existence d"une limite infinie; absence de limite. Seule une ´etude particuli`ere permet de lever l"ind´etermination. Rappelons pour commencer les cas d"ind´etermination des limites : limf(x)limg(x)Limite ind´etermin´eetype d"ind´etermination +∞-∞f(x) +g(x)∞ - ∞

0±∞f(x)×g(x)0× ∞

00f(x)

g(x) 0 0

±∞±∞f(x)

g(x)

Propri´et´e :

Le comportement d"une fonction polynomiale en±∞est dict´e par le comportement de son terme de

plus haut degr´e en±∞.

Exemple :

limx→-∞(3x2-x)

3x2est le terme de plus haut degr´e de 3x2-xor limx→+∞3x2= +∞donc limx→-∞(3x2-x) = +∞

Propri´et´e :

Le comportement d"une fraction rationnelle en±∞est dict´e par le comportement du quotient des

deux termes de plus haut degr´e en±∞.

Exemple :

limx→+∞? x2+ 2x+ 12x2-3? x

2est le terme de plus haut degr´e dex2+ 2x+ 1

2x2est le terme de plus haut degr´e de 2x2-3 orx2

2x2=12

donc lim x→+∞x 2

2x2=12donc limx→-∞?

x2+ 2x+ 12x2-3? =12 Croissance compar´ee de l"exponentielle, du logarithme etdes fonctions puissance

Propri´et´e :

Pour tout nombre r´eelαstrictement positif : ?limx→+∞? lnx xα? = 0.?limx→+∞? exxα? = +∞.?lim x→0+(xαlnx) = 0.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Limites de fonctions 5 Détermination graphique

Limites de fonctions

Niveau 1Niveau 2Niveau 3

Je sais conjoncturer limites et

Je sais utiliser la notation

Je connais les limites des fonc-

Je sais calculer une limite `a

5 D´etermination graphique

5.1 Limite en un point

0 1 2 3-1-2-3-40

Il n"y a pas d"asymptote.

0 1 2 3 4 5-1-21

La courbe admet une asymptote

La courbe admet une asymptote

5.2 Limite en+∞

0 1 2 3-1-2-3-41

23456limx→+∞f(x) = 2

La courbe admet une asymptote

0 1 2 3-1-2-3-41

Il n"y a pas d"asymptote.

0 1 2 3 4 5-1-2-3-40

La courbe admet une asymptote

2x+ 1.

5.3 Limite en-∞

0 1 2 3-1-2-3-41

La courbe admet une asymptote

0 1 2 3-1-2-3-41

Il n"y a pas d"asymptote.

0 1 2 3-1-2-3-40

La courbe admet une asymptote

2x+ 1.

6 AsymptotesD´efinition :Soitfd´efinie sur un intervalle ouvert de borne le r´eela, si limx→af(x) =±∞, on dit que la droited

D´efinition :

D´efinition :

Dans la d´efinition pr´ec´edente :

Exemple :

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-60

2x+ 1 en +∞.

7 Limites des fonctions de r´ef´erences

8 Op´erations sur les limitesDans tout ce qui suit "FI" d´esigne une forme ind´etermin´ee, c"est-`a-dire qu"on ne peut pas dire si la

8.1 Limite d"une somme

Exemples :

1x+x2?

8.2 Limite d"un produit

Exemple :

8.3 Limite d"un quotient

Exemple :

8.4 Limite d"une fonction compos´eePropri´et´e :Soient deux fonctions :fd´efinie deIdansJetgdeJdansR.

Exemple :

Calcul de "composition" de limites :

X→-∞eX= 0?

X→4⎷

8.5 Calcul de limites dans le cas de formes ind´etermin´ees

0±∞f(x)×g(x)0× ∞

00f(x)

±∞±∞f(x)

Propri´et´e :

Exemple :

3x2est le terme de plus haut degr´e de 3x2-xor limx→+∞3x2= +∞donc limx→-∞(3x2-x) = +∞

Propri´et´e :

Exemple :

2est le terme de plus haut degr´e dex2+ 2x+ 1

2x2est le terme de plus haut degr´e de 2x2-3 orx2

2x2=12

2x2=12donc limx→-∞?

Propri´et´e :

Je sais conjoncturer limites et

Je sais utiliser la notation

Je connais les limites des fonc-

Je sais calculer une limite `a