Synthèse de cours (Terminale S) ? Limite dune fonction PDF

2. Déterminer si elle existe

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Limite dune fonction et dune suite

Limites de fonctions 5 Détermination graphique

Limites de fonctions. Niveau 1. Niveau 2. Niveau 3. • Je sais conjoncturer limites et asymptotes graphiquement. •Je sais calculer une limite `a.

Amplificateur linéaire intégré

4 sept. 2021 Cas limite d'un ALI idéal de gain infini en régime ... Remarque : Dans la limite de gain infini la fonction de transfert du montage devient.

Synthèse de cours (Terminale S) ? Limite dune fonction

Cas d'une limite infinie. Soit f une fonction d'ensemble de définition f. D . On suppose que f est définie au voisinage de +? (resp. ?? ).

FONCTION EXPONENTIELLE

On dit dans ce cas que la limite de en +? est égale à +?. Et on note : lim. ?. = +?. - On cherche à conjecturer de

Fonctions dune infinité de variables indépendantes

Une fonction continue dans un ensemble de points limité et Un p3int de Fespace Q' est constitué par une suite infinie de valeurs complexes.

10.2 Fiche méthodologique : Etude de la continuité de la

Montrer qu'une fonction est continue dérivable

CONTINUITÉ DES FONCTIONS

premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet ...

Limite dune fonction numérique

7.1.2 Limite infinie en a et asymptote verticale. Définition 2. Si lorsque le réel x s'approche de a. • le réel f(x) devient de plus en plus grand et finit

PanaMaths [1-9] Août 2013

Synthèse de cours (Terminale S)

Limite d'une fonction

Limite d'une fonction en ou

Fonction définie au voisinage de (resp. )

Soit f une fonction d'ensemble de définition

f D. On dira que " la fonction f est définie au voisinage de (resp. ) » s'il existe un réel A tel que l'intervalle A; (resp. ;A) soit inclus dans f D.

Limite d'une fonction en (resp. )

Cas d'une limite finie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

f D.

On suppose que

f est définie au voisinage de (resp. ) sur A; (resp. ;A). On dira que " la fonction f admet une limite l en (resp. ) » si, pour tout intervalle de la forme ;ll (0), il existe un réel M de A; (resp. de ;A) tel que pour (resp. ) lim x fxl Interprétation géométrique (voir ci-dessous) : dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f admet au voisinage de (resp. ) une asymptote horizontale d'équation yl. M

Limite d'une fonction

PanaMaths [2-9] Août 2013

Exemples classiques (à connaître parfaitement !) :

11, lim lim 0

xx axa xa et

1lim 0

x xa

Cas d'une limite infinie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

f D. On suppose que f est définie au voisinage de (resp. ). On dira que " la fonction f admet comme limite en (resp. ) » si, pour tout réel B, il existe un réel M de f D tel que pour tout x supérieur (resp. inférieur) à M, on a Bfx.

On écrit alors :

resp. lim x fx f

Interprétation de la définition de

lim x fx f : pour tout réel (sous-entendu arbitrairement grand), il existe une valeur de l'ensemble de définition de la fonction au-delà de laquelle

toutes les valeurs prises par la fonction seront supérieures au réel considéré (de fait, une telle

fonction ne sera pas majorée !). Attention ! Ce qui précède n'implique en rien que la fonction

soit croissante ! On pourra par exemple considérer, pour s'en convaincre, la fonction : sin257x xx x Remarque : on adapte facilement la définition ci-dessus pour une fonction admettant comme limite en (resp. ).

Notion d'asymptote oblique (hors programme)

Soit f une fonction d'ensemble de définition

f D. On suppose que f est définie au voisinage de (resp. ) et on note f

C sa courbe

représentative dans un repère. On dira que " la fonction f admet en (resp. ) une asymptote oblique d'équation yaxb » (ou que " la droite d'équation yaxb est asymptote oblique à f C en (resp. ) ») si on a : (resp. ) lim 0 x fx axb

Limite d'une fonction

PanaMaths [3-9] Août 2013

Remarques :

Lorsqu'elle existe, l'asymptote est unique !

Pour étudier la position de

f C par rapport à , on étudie le signe de la différence fxaxb (cette étude se fait, à priori, sur f D). Attention ! Ce signe n'a aucun raison d'être constant. La fonction ci-dessus admet la droite d'équation

25yx comme asymptote oblique en et en mais la

différence change périodiquement de signe ... (cf. la figure ci-dessous)

La fonction

sin:257x fx x x et son asymptote oblique d'équation 25yx.

Limite d'une fonction

PanaMaths [4-9] Août 2013

Limite d'une fonction en un réel

Cas d'une limite finie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

D et soit a un réel.

On suppose qu'il existe un réel strictement positif r tel que >^`; f arar aD (on note que la fonction f n'est pas nécessairement définie en a. On dit que " f est définie dans un voisinage de a sans nécessairement être définie en a »). On dira que " la fonction f admet une limite finie l en a » si pour tout réel strictement positif, on peut trouver un réel strictement positif tel que si lim xa fxl

Exemples classiques :

0 sinlim 1 x x x et 0 cos 1lim 0 x x x , ... (On notera que ces limites correspondent en fait à des nombres dérivés).

Remarques :

On définira de façon similaire les (éventuelles) limites à droite et à gauche de f en a. On

écrira alors :

lim xa xa fx pour la limite à droite et lim xa xa fx pour la limite à gauche.

Par exemple, la fonction

4xx admet une limite à droite en 2a mais n'admet

pas de limite à gauche en ce réel. On remarquera également que l'existence de ces deux limites n'implique en rien leur égalité (considérer la fonction partie entière en un réel a).

Enfin, on peut avoir lim lim

xa xa xa xa fxfxfa

Cas d'une limite infinie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

D et soit a un réel.

On suppose qu'il existe un réel strictement positif r tel que >^`; f arar aD (comme précédemment, la fonction f n'est pas nécessairement définie en a.) On dira que " la fonction f admet (resp. ) comme limite en a » si pour tout réel B, on peut trouver un réel strictement positif tel que si ` ;;xaa arara alors on aura Bfx (resp. Bfx). On écrit alors : lim xa fx f (resp. )

Limite d'une fonction

PanaMaths [5-9] Août 2013

Remarque : comme précédemment, on peut " seulement » avoir une limite infinie à gauche et/ou à droite de a. On considèrera, à titre d'illustration, l'exemple suivant : 22
1lim2 xx x

Interprétation géométrique. Si f admet un limite infinie en a (resp. à gauche, à droite), on dit

que " la courbe représentative f C de la fonction f admet en a (resp. à gauche de a, à droite de a) une asymptote verticale d'équation xa ». Exemples classiques (à connaître parfaitement !) : 1lim xaxa xa 1lim xaxa xa 1lim xaxa xa f et 22
(ou )

11lim lim

xa xaxaxa xa xa f

Calcul de limites

Opérations et limites

Conventions de calcul

Pour simplifier certains calculs de limites, on introduit les " nombres » et avec les règles de calcul suivantes :

Addition

, aa ; , aa ;

Opposé : et .

le calcul " f f » n'est pas défini.

Multiplication

fu f f ; fu f f ; , aa et , aa , aa etquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Synthèse de cours (Terminale S)

Limite d'une fonction

Limite d'une fonction en ou

Fonction définie au voisinage de (resp. )

Soit f une fonction d'ensemble de définition

Limite d'une fonction en (resp. )

Cas d'une limite finie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

On suppose que

Limite d'une fonction

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11, lim lim 0

1lim 0

Cas d'une limite infinie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

On écrit alors :

Interprétation de la définition de

Notion d'asymptote oblique (hors programme)

Soit f une fonction d'ensemble de définition

C sa courbe

Limite d'une fonction

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Remarques :

Lorsqu'elle existe, l'asymptote est unique !

Pour étudier la position de

25yx comme asymptote oblique en et en mais la

La fonction

Limite d'une fonction

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Limite d'une fonction en un réel

Cas d'une limite finie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

D et soit a un réel.

Exemples classiques :

Remarques :

écrira alors :

Par exemple, la fonction

4xx admet une limite à droite en 2a mais n'admet

Enfin, on peut avoir lim lim

Cas d'une limite infinie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

D et soit a un réel.

Limite d'une fonction

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11lim lim

Calcul de limites

Opérations et limites

Conventions de calcul

Addition

Opposé : et .

Multiplication