Étude dune suite définie par récurrence PDF

Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme alors en passant à la limite dans la relation de récurrence on obtient.

Raisonnement par récurrence Limite dune suite

9 ???. 2013 ?. Limite d'une suite. 1 Raisonnement par récurrence. 1.1 Axiome de récurrence. Définition 1 Soit une propriété P définie sur N. Si :.

Convergence de suites Suites récurrentes

Que peut-on dire de la limite éventuelle d'une suite récurrente? Soit (un) la suite définie par la relation de récurrence un+1 =.

Raisonnement par récurrence. Limite dune suite

14 ???. 2015 ?. Le raisonnement par récurrence s'apparente à la théorie des dominos. ... Soit la suite (un) définie par : u0 = 0 3 et ?n ? N

LIMITE DUNE SUITE

Suites définies explicitement : Définir une suite (un)n? explicitement c'est la définir à l'aide d'une certaine fonction f par une relation un = f (n). Il n'

Étude dune suite définie par récurrence

6 ????. 2005 ?. On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 2 et ... Recherchons l'éventuelle limite de la suite un point fixe de f .

Chapitre 1 Suites réelles et complexes

La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la Soit (un) une suite convergeant vers deux limites l et l . Soit ? > 0.

Limites Suite Fonction

- Si la suite est définie par récurrence un+1 = f (un) on peut utiliser une démonstration par récurrence. Exercice 2 : Etudier le sens de variations des suites

Suites numériques 1 Calcul des termes dune suite numérique

u0 = 1u1 = 1 et ?n ? 2

Suites 1 Convergence

Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ? N un+1 = 4un +5 un +3 .

Étude d"une suite définie par récurrence

On considère la suite (un) définie surNparu0=2 et ?n?N,un+1=23 u n+1u 2n?

Étudier le comportement de la suite (un).Commençons par définir la fonction qui secachederrière cette suite,f:x?→23

?x+1x

2?.> f(x):=2/3*(x+1/x^2);

f(x):=2/3*(x+1/x^2); > assume(x>0);

x>0]L"intervalle ]0,+∞[ eststableparf,i.e.six?]0,+∞[ alorsf(x) est défini etf(x)?]0,+∞[. Ceci permet de

justifier l"existencede la suiteu:> u[n]:=f(u[n-1]); u[n]:=f(u[n-1]); > u[0]:2; 2

Calculons les premiers termes :

> valeurs:makelist(u[i],i,0,5); 2,32 ,3527 ,12511699225 ,29354972695765212329904227757400 ?Nous obtenons des rationnels, passons auxflottants:> float(valeurs);

2.0,1.5,1.296296296296296,1.260932224741749,1.259921860565926,1.259921049895395]Celasembleconverger. Recherchons l"éventuelle limite de la suite, unpoint fixedef.> ptfixes:solve(f(x)=x);

x=213 ?3i-213 2 ,x=-213 ?3i+213 2 ,x=213 ?Il y a un seul point fixe réel, le troisième. 1 > float(ptfixes[3]); x=1.259921049894873u

5est bien proche de ce point fixe (3?2)... tout en étant supérieur.

Regardons de plus près la fonctionf, en particulier le signe de sa dérivée lorsquex?3?2, c"est à direx3?2.> assume(x^3-2>=0);

x3?2?> sign(diff(f(x),x));

positifounulLa dérivée defest donc positive surI=[3?2,+∞[,fest croissante sur cet intervalle. Compte tenu que la

borne inférieure deIest point fixe et qu"il est non borné à droite, il est stable parf. Autrement dit tout les

termes de la suite (un) sont dansIdans la mesure ou le premier d"entre eux y est (récurrence). D"où :

?n?N,un?3?2 Déterminons le signe def(x)-x, toujours pourx?3?2 : > sign(f(x)-x);

négatifounulD"où :?n?N,un+1-un?0, la suite (un) est donc décroissante. Nous pouvons conclure : (un) est décrois-

sante et minorée, elle est convergente (théorème), sa limite est la seule limite possible : 3?2. xy +1+1

3?2y=2

3? x+1 x2?y=x

Sur cette figure, nous retrouvons l"illustration des propriétés misent en avant pour justifier la convergence

de la suite (un).2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence