Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme alors en passant à la limite dans la relation de récurrence on obtient.
Raisonnement par récurrence Limite dune suite
9 ???. 2013 ?. Limite d'une suite. 1 Raisonnement par récurrence. 1.1 Axiome de récurrence. Définition 1 Soit une propriété P définie sur N. Si :.
Convergence de suites Suites récurrentes
Que peut-on dire de la limite éventuelle d'une suite récurrente? Soit (un) la suite définie par la relation de récurrence un+1 =.
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
14 ???. 2015 ?. Le raisonnement par récurrence s'apparente à la théorie des dominos. ... Soit la suite (un) définie par : u0 = 0 3 et ?n ? N
LIMITE DUNE SUITE
Suites définies explicitement : Définir une suite (un)n? explicitement c'est la définir à l'aide d'une certaine fonction f par une relation un = f (n). Il n'
Étude dune suite définie par récurrence
6 ????. 2005 ?. On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 2 et ... Recherchons l'éventuelle limite de la suite un point fixe de f .
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la Soit (un) une suite convergeant vers deux limites l et l . Soit ? > 0.
Limites Suite Fonction
- Si la suite est définie par récurrence un+1 = f (un) on peut utiliser une démonstration par récurrence. Exercice 2 : Etudier le sens de variations des suites
Suites numériques 1 Calcul des termes dune suite numérique
u0 = 1u1 = 1 et ?n ? 2
Suites 1 Convergence
Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ? N un+1 = 4un +5 un +3 .
Lycee Clemenceau - ReimsMAPLE
Suites numeriquesTP5
1 Calcul des termes d'une suite numerique
S'il n'est pas dicile de travailler avec les suites sous Maple, il conviendra avant tout de comprendre comment
sont donnes les termes de la suite.1.1 Suite denie explicitement
Si la suite est denie de facon explicite, du typeun=f(n), on denira la suiteucomme uneexpression dependant de la variablen. Ainsi, le calcul des termes consiste simplement a evaluer une expression: >u:=exp(-n)/n2; eval(u,n=10); 1100e10
1.2 Suite denie par une relation de recurrence
Si la suite est denie par recurrence sur plusieurs termes, du typeun=f(un1;un2:::), on pourra essayer de
se ramener a une forme explicite gr^ace a la commandersolve: >eq:=u(n+1)=2*u(n): rsolve(eq,u(n)); u(0)2n Si on conna^t les valeurs initiales, il sut de remplacer le premier argument de la commandersolvepar l'ensemble suivant:fequation;conditions initialesg >eq:=u(n+1)=2*u(n): rsolve(feq,u(0)=sqrt(2)g,u(n)); p2 2 nMalheureusement, Maple ne parvient pas toujours a exprimerunen fonction den. En eet, considerons la suite
udenie par: u0=u1= 1 et8n1; un+1=u2n+un1
les m^emes instructions sont inecaces ici: >eq:=u(n+1)=u(n)2+u(n-1): rsolve(feq,u(0)=1,u(1)=1g,u(n)); rsolve(fu(0) = 1;u(1) = 1;u(n+ 1) =u(n)2+u(n1)g;u(n)) Dans ce cas, pour calculer les termes de la suite, on devra proceder par iterationou recursivite.Calcul des termes par la methode iterative:On construit une procedure qui prend pour argument une valeurnet renvoie len-eme terme de la suite, a
l'aide d'une boucleforet des variables locales: >u:=proc(n) local u2,u1,u0,i; if n=0 or n=1 then u2:=1; else u1:=1; u0:=1; for i from 2 to n do u2:=u1 2+u0; u0:=u1; u1:=u2; end do; end if; return u2; end proc 1Lycee Clemenceau - ReimsMAPLE
On calcule le terme souhaite en appelant simplement la procedureu: >u(0);u(1);u(2);u(7); 1 1 2290287121823
Calcul des termes par la methode recursive:La methode recursive consiste a denir une procedure qui fera appel a elle-m^eme. Plus precisement, pour
calculer len-eme terme de la suite denie plus haut, il est necessaire d'aller chercher les deux termes precedents
un1etun2, eux-m^emes necessitant le calcul de termes precedents... Maple lance donc les procedures au fur
et a mesure jusqu'a obteniru1etu0, puis il remonte tous ses calculs pour donner la valeur deun: >u:=proc(n) local resultat; if n=0 or n=1 then resultat:=1; else resultat:=u(n-1)2+u(n-2);
end if; return resultat; end procCependant il s'agira de faire bien attention a ajouter l'optionrememberdans notre procedure. En eet, lorsque
Maple remonte la pile de ses calculs pour trouverun, il calcule toutes les valeursuk(k < n) dont il a besoin
et cela m^eme s'il les a deja calculees. Cette option nous permet par consequent de forcer Maple a remonter ses
calculs en se rappelant des valeurs rencontrees: >u:=proc(n) option remember; local resultat; if n=0 or n=1 then resultat:=1; else resultat:=u(n-1)2+u(n-2);
end if; return resultat; end proc De la m^eme facon, on calcule le terme souhaite en appelant la procedureu: >u(0);u(1);u(2);u(7); 1 1 2290287121823Exercice 1On denit la suite (un) par:
u0= 1;u1= 1 et8n2; un=un1+un2
Determinerunen fonction den. En deduire sa limite quandn! 1.Exercice 2On denit la suite (vn) par: v0= 0:5 et8n1; vn=23vn1
1. Ecrire une pr ocedurerecursivequi, pour un entierndonne, calculevn. 2. Calculer di erentesv aleursvn, puis etablir une conjecture sur sa convergence.2 Lycee Clemenceau - ReimsMAPLEExercice 3On considere la suite (wn) denie par:w0= 1 et8n1; wn=w2n1+ 1. 1. Ecrire une pro cedureiterativequi, pour un entierndonne, calculewn. Etablir une conjecture sur sa convergence. 2. Mo dierv otreprogr ammean qu'il ne ren voiepas seulemen twn, mais une liste avec toutes les valeurs w0;:::;wn.
3.Les prochaines questions sont a resoudre independamment de Maple.
(a)Mon trerque p ourtout n2N,wn1.
(b)En d eduireque la suite ( wn) est croissante, et quelimn!+1wn= +1.2 Calcul et approximation de la limite d'une suite
Si la suite est denie explicitement, la limite pourra ^etre determinee par la commandelimit: >limit(nn/n!,n=infinity) 1 Dans le cas contraire, on s'interessera a sa limite de deux facons: •soit par approximation de celle-ci en calculant les termes de la suite pournassez grand, •soit, quand elle est connue, en etudiant le module de la dierence:junlj.Dans ces deux cas, on observera la vitesse de convergencede la suite, c'est a dire la rapidite avec laquelle la
suite tend vers sa limite. En guise d'exemple, considerons la suite reelle denie par:u1= 1 et8n2; un=un1+1n 2.2.1 Approximation de la limite
On commence par construire la procedure pour calculer les termes de la suite: >u:=proc(n) option remember; local resultat; if n=1 then resultat:=1; else resultat:=u(n-1)+1/n 2; end if; return resultat; end proc On peut alors acher la sequence des valeurs de la suite pournassez grand: >seq(evalf(u(1000+i)),i=1..1000)Ainsi, on remarque que cette suite converge lentement (n2000) vers un nombre dont l'ecriture decimale est:
1:644:::
2.2 Vitesse de convergence
La suite (un) designe en fait une somme bien connue: 1 + 12 2+13 2+142+:::+1n
2=Pn k=11k2dont la limite est26
Nous allons construire une procedure qui determine la premiere valeurnpour laquellejun26 j<10a: celle-ci nous donnera donc le rang a partir duquelunapproche sa limite avec une precision de l'ordre de 10a. 3Lycee Clemenceau - ReimsMAPLE
>approx:=proc(a) local n,u; n:=1; u:=1; while evalf(abs(u-Pi2/6))>=10ado
n:=n+1; u:=u+1/n 2; end do; return n; end procPar consequent, si on appelle cette procedure poura= 4, on peut alors constater la lenteur de la convergence;
en eet, la suite approche sa limite a 104pres a partir du rangn= 10000:
>approx(4)10000Exercice 4On considere la suite (un) denie paru0= 2 et8n1; un=f(un1) avecf:x7!12
(x+2x1.Les prochaines questions sont a resoudre independamment de Maple.
(a)Mon trerque p ourtout n2N,unest bien deni etunp2.
(b) Mon trerque la suite ( un) est convergente et determiner sa limite. 2. Ecrire une pro cedureapprox(a)qui renvoie le rang a partir duquel la suite approche sa limite a 10a pres.Exercice 5SoitNun entier. On denit la suite de Syracuse associee a l'entierNpar: u1=Net8n2; un=(
un12 (si un1pair)3un1+12
(si un1impair) 1. Ecrire une pro cedureiterativesyr1(N,n)qui renvoie une liste dans laquelle seront achees les valeurs u1;:::;unavecu1=N.
2.Calculer syr1(15,50)etsyr1(127,50).
On appelle temps de vol le plus petit indiceptel queup= 1. 3.Ecrire une pro cedureit erativesyr2(N)qui calcule les valeursuntant queun6= 1, puis en sortie renvoie
le temps de vol obtenu. 4.D eterminerle temps de v olp ourN= 15 etN= 222.4
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