FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES PDF

Une fonction complexe admet une limite l dans c si et seulement si ses parties réelle et imaginaire admettent une limite. Remarque f a une limite infinie si et

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

f1 s'appelle la partie réelle et f2 la partie imaginaire de la fonction f. On note fréquemment f1 = Re (f) et f2 = Im (f). I - LIMITES - CONTINUITÉ.

Chapitre 2 - Fonctions dune variable complexe

Un chemin L(z1z2) du plan complexe peut être caractérisé par une fonction ? `a valeurs complexes z(t) = ?(t) du param`etre réel t ? [?

FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE

Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du domaine de définition D une image : III 1 Limite et continuité d'une fonction.

Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe

Ces propriétés résultent directement de la définition (et notamment du fait qu'une fonction `a valeurs complexes. `a une limite si et seulement si sa partie

LIMITES DUNE FONCTION

Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D ?? une fonction et a Définition-théorème (Limite d'une fonction complexe en un point) Soit f : D ?? une ...

4. Fonctions analytiques

Il est utile de faire tout de suite le lien entre la limite d'une fonction d'une variable complexe et les limites des fonctions `a valeurs réelles de deux

Chapitre 1 - Fonctions dune variable complexe

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE cette définition est bien la généralisation de la notion de limite d'une fonction réelle continue qui n'existe que.

5. Intégration complexe

Intégrales définies d'une fonction complexe d'une variable réelle de points o`u la fonction bien que discontinue

Analyse complexe

porte sur le calcul différentiel et intégral des fonctions complexes d'une va- de Cauchy suivant lequel la suite {zn}n?N admet une limite si et ...

PSIFONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

On se placera dans le cadre suivant :

fest une fonction d"unintervalledeR,I, non réduit à un point, etfest à valeurs dansC.

Elle est doncà variable réelle.

On note8x2I; f(x) =f1(x) +if2(x)oùf1etf2sont des applications deIdansR. f

1s"appelle la partie réelle etf2la partie imaginaire de la fonctionf.

On note fréquemmentf1= Re (f)etf2= Im (f).

I-LIMITES - CONTINUITÉ1)Limitesdéf.Soienta2Iouaune extrémité deI(éventuellementa=1)et`2C.`est limite defenalorsqueDans le casa2R:8" >0;9 >0=8x2I;jxaj6=) jf(x)`j6"

Dans le casa= +1:8" >0;9B >0=8x2I;x>B=) jf(x)`j6"

Dans le casa=1:8" >0;9B >0=8x2I;x6B=) jf(x)`j6"

prop.fa une limite enasi et seulement si ses parties réelles et imaginairesf1etf2en ont une ena.En notant`=`1+ i`2, on a alors :limx!af(x) =`()limx!af1(x) =`1etlimx!af2(x) =`2.

On peut donc toujours se ramener à travailler avec les parties réelles et imaginaires def, c"est à dire sur des fonctions à valeurs dansR. Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles: Unicité de la limite, caractérisation par les suites, opérations sur les limites. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: Toutes les propriétés liées à la relation d"ordre6deR: Théorèmes d"encadrement.

2)Continuitédéf.1Soientf:I!Ceta2I.fest continue enalorsquelimx!af(x) =f(a).

prop.1fcontinue ena()Re (f)etIm (f)sont continues ena.

déf.2f: [a;b]!Cest continue par morceaux sur[a;b]lorsqu"il existe une subdivision(a0;a1;:::;an)de[a;b]telle quefj]ai;ai+1[soit continue sur]ai;ai+1[et prolongeable en une fonction continue sur[ai;ai+1].

prop.2fcontinue par morceaux surI()Re (f)etIm (f)sont continues par morceaux surI. Proprétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Opérations, caractérisation par les suites, applications lipschitziennes, une application continue sur unsegment

est encore bornée. Mais certaines propiétés ne sont pas conservées:

L"image d"un intervalle n"est plus un intervalle.

Donc le théorème des valeurs intermédiaires , celui de la bijection réciproque ne sont plus valables.

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II-DÉRIVATIONdéf.Soientf:I!Ceta2I.fest dérivable enalorsquelimt!af(t)f(a)taexiste dansC.Cette limite s"appelle le nombre dérivé defenaet se notef0(a)ouD(f)(a)oudfdt

(a).Cela équivaut à dire quefadmet un développement limité à l"ordre 1 ena,ou encore qu"il existe`dansCet":I!Ctels que :8t2I; f(t) =f(a) + (ta)`+ (ta)"(t)etlimt!a"(t) = 0.Le nombre complexe`vaut alorsf0(a).

prop.fest dérivable enasi et seulement siRe (f)etIm (f)sont dérivables ena.Dans ce cas,f0(a) = (Re (f))0(a) + i (Im (f))0(a), ieRe (f0) = (Re (f))0etIm (f0) = (Im (f))0

Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Fonction dérivable sur un intervalle, opérations (somme, produit, quotient) sur les fonctions dérivables,

dérivées successives, fonctions de classeCk, formule de Leibniz. La propriété sur la composée des fonctions subsiste à condition de considérergf oùf:I!Retg:J!Cavecf(I)J. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: Il n"y a plus le théorème sur la bijection réciproque.

La notion d"extremum local , liée à la relation d"ordre dans l"ensemble d"arrivée, n"a plus de sens.

Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont plus valables. Par exemple, pourf: [0;2]!Cdéfinie parf(t) = cos(t) +isin(t) = eit, on af(0) =f(2) = 1 mais la dérivéef0(t) = ieitne s"annule jamais. Par contre l"inégalité des accroissements finis est valable :

Donc la caractérisation des fonctions constantes par leur dérivée nulle, et celle des applications lipschitziennes

par leur dérivée bornée, sont toujours valables. Ainsi si deux fonctions dérivables,fetg, del"intervalleIdansCvérifientf0=g0 alorsfetgdiffèrent d"une constante surI. Parler du signe de la dérivée ou de monotonie n"a pas de sens pourfdeIdansC. III-INTÉGRATIONdéf.Soitf:I!Cune application continue par morceaux et(a;b)2I2.On définit : Z b a f(t)dt=Z b a

Re (f)(t)dt+ iZ

b a

Im (f)(t)dt.C"est à direRe

Zb a f(t)dt ) =Z b a

Re (f)(t)dtetIm

Zb a f(t)dt =Z b a

Im (f)(t)dt.

Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Linéarité de l"intégrale, relation de Chasles, sommes de Riemann, primitives,formules de Taylor,

dèveloppements limitès.

Lorsquea6b:8f2C0m([a;b];C);

Z b a f(t)dt 6Z b a jf(t)jdt. Les méthodes de calcul des intégrales : Intégration par parties, changement de variables. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: On ne parle plus de positivité de l"intégrale ou de croissance de l"intégrale.

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Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes