[PDF] LIMITES DUNE FONCTION Théorème (Unicité de





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Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes

Une fonction complexe admet une limite l dans c si et seulement si ses parties réelle et imaginaire admettent une limite. Remarque f a une limite infinie si et 



FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

f1 s'appelle la partie réelle et f2 la partie imaginaire de la fonction f. On note fréquemment f1 = Re (f) et f2 = Im (f). I - LIMITES - CONTINUITÉ.



Chapitre 2 - Fonctions dune variable complexe

Un chemin L(z1z2) du plan complexe peut être caractérisé par une fonction ? `a valeurs complexes z(t) = ?(t) du param`etre réel t ? [?



FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE

Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du domaine de définition D une image : III 1 Limite et continuité d'une fonction.



Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe

Ces propriétés résultent directement de la définition (et notamment du fait qu'une fonction `a valeurs complexes. `a une limite si et seulement si sa partie 



LIMITES DUNE FONCTION

Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D ?? une fonction et a Définition-théorème (Limite d'une fonction complexe en un point) Soit f : D ?? une ...



4. Fonctions analytiques

Il est utile de faire tout de suite le lien entre la limite d'une fonction d'une variable complexe et les limites des fonctions `a valeurs réelles de deux 



Chapitre 1 - Fonctions dune variable complexe

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE cette définition est bien la généralisation de la notion de limite d'une fonction réelle continue qui n'existe que.



5. Intégration complexe

Intégrales définies d'une fonction complexe d'une variable réelle de points o`u la fonction bien que discontinue



Analyse complexe

porte sur le calcul différentiel et intégral des fonctions complexes d'une va- de Cauchy suivant lequel la suite {zn}n?N admet une limite si et ...

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

LIMITES D"UNE FONCTION

Les fonctions qu"on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d"intervalles comme

?ou[0,1[?[2,3], voire

2,π2

+π?. Dans ce chapitre, les lettresD,E... qui nous serviront d"ensembles de définition désigneront cependant des parties quelconques de?.

1 DÉFINITIONS DE LA LIMITE D"UNE FONCTION

1.1 LIMITE D"UNE FONCTION EN UN POINT

Définition(Limite d"une fonction en un point)Soientf:D-→?une fonction,a??adhérent àDet???. On

dit quef admet?pour limite en asi : ?V?? ??(?),?Va? ?a(?),?x?D∩Va,f(x)?V?. a ?Va ?V? limaf=?avec???eta?? ?V+∞ ?V+∞ lim+∞f= +∞ ?V+∞ ?V? lim+∞f=?avec??? a?Va ?V+∞ limaf= +∞aveca?? a ?Va ?V? limaf=?avec???eta?? a?Va ?V+∞ limaf= +∞ Théorème(Unicité de la limite)Soientf:D-→?une fonction eta??adhérent àD. (i) Sifpossède une limite ena, cette limite est unique et notée limafou limx→af(x).

Pour tout??

?, la relation limaf=?est souvent notée :f-→a?ouf(x)---→x→a?. (ii) Dans le cas particulier oùfEST DÉFINIE ENaet y possède une limite : limaf=f(a).

Pour l"assertion (ii) :

a f(a) ?fest définie ena et limaf=f(a). a f(a) fest définie ena mais limafn"existe pas.

Nous verrons cela dit

que lim a-f=lim a+f. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Démonstration

(i) Par l"absurde, faisons l"hypothèse quefpossède deux limites?et??DISTINCTES. Il existe alors un voisinage

V ?de?et un voisinageV??de??DISJOINTS. Or par hypothèse surf, il existe deux voisinagesVaetV? adea pour lesquels :?x?D∩Va,f(x)?V?et :?x?D∩V? a,f(x)?V??.

Pourtant,aestadhérent àDetVa∩V?

aestun voisinage dea,doncD∩Va∩V? a?=∅,et pourtoutx?D∩Va∩V? a: f(x)?V?∩V??=∅— contradiction!

(ii) Faisons l"hypothèse quefest définie enaet possède une limite?ena. Pour tout voisinageV?de?, il existe

alors un voisinageVadeapour lequelf(x)?V?pour toutx?D∩Va. En particulier,fétant définie ena,

ceci indiquef(a)appartient àTOUTvoisinage de?.

Il en découle que???carf(a),+∞et-∞,f(a)sont des voisinages de+∞et-∞respectivement

ne contenant pasf(a). Finalement, pour tout? >0 :f(a)?]?-?,?+?[, donc?=f(a). Si vous n"êtes pas convaincus, supposez??=f(a)et choisissez?=1 2?? f(a)-???>0. Définition(Les 9 limites)Soientf:D-→?une fonction,a??adhérent àDet???.

•Cas où???eta??:

lim af=??? ?? >0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=???f(x)-???< ?.

•Cas où?= +∞eta= +∞:

lim +∞f= +∞ ?? ?A>0,?B>0,?x?D,x>B=?f(x)>A.

•Cas où?=-∞eta= +∞:

lim +∞f=-∞ ?? ?A<0,?B>0,?x?D,x>B=?f(x)•Cas où?= +∞eta=-∞: lim -∞f= +∞ ?? ?A>0,?B<0,?x?D,xA.

•Cas où?=-∞eta=-∞:

lim -∞f=-∞ ?? ?A<0,?B<0,?x?D,x•Cas où???eta= +∞: lim +∞f=??? ?? >0,?B>0,?x?D,x>B=???f(x)-???< ?.

•Cas où???eta=-∞:

lim -∞f=??? ?? >0,?B<0,?x?D,x•Cas où?= +∞eta??\D: lim af= +∞ ?? ?A>0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=?f(x)>A.

•Cas où?=-∞eta??\D:

lim af=-∞ ?? ?A<0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=?f(x)J"utiliserai généralement des inégalités strictes, mais vous avez le droit de préférer les inégalités larges.

Exemplelimx→1x+2?x-1= +∞.

DémonstrationMontrons que :?A>0,?α >0,?x?]1,+∞[,|x-1|< α=?x+2?x-1>A.

SoitA>0. Pour toutx?]1,+∞[, minorons :x+2

?x-1?3?x-1?1?x-1.

On minore enSIMPLIFIANTet en vérifiant

que ce par quoi on minoreTEND TOU- JOURS VERS+∞quandxtend vers 1.On arrête de minorer quand onse sent capable de trouverα.

Or :1?x-1>A???x-1<1A?? |x-1|<1A2. Posonsα=1A2.

D"après ce qui précède :?x?]1,+∞[,|x-1|< α=?1 ?x-1>A. 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Exemplelimx→+∞x

2x2+1=1.

DémonstrationMontrons que :?? >0,?B>0,?x??,x>B=????x2x2+1-1???

Soit? >0. Pour toutx??, majorons :???x2

x2+1-1??? =1x2+1?1x2.

On majore enSIMPLIFIANTet en vérifiant

que ce par quoi on majoreTEND TOU- JOURS VERS0 quandxtend vers+∞.On arrête de majorer quand onse sent capable de trouverB.

Or pour toutx>0 :1x2< ???x>1??. PosonsB=1??.

D"après ce qui précède :?x??,x>B=????x2

x2+1-1???

Exemplelimx→+∞x2-x= +∞.

DémonstrationMontrons que :?A>0,?B>0,?x??,x>B=?x2-x>A.

SoitA>0. Pour toutx?2 :x-1?1, doncx2-x=x(x-1)?x.

On minore enSIMPLIFIANTet en vérifiant

que ce par quoi on minoreTEND TOU- JOURS VERS+∞quandxtend vers+∞.On arrête de minorer quand onse sent capable de trouverB. PosonsB=max2,A. D"après ce qui précède :?x??,x>B=?x2-x>A.

Théorème(Limite finie et caractère localement borné)Soientf:D-→?eta??adhérent àD.

Sifpossède une limiteFINIEena,fest bornée au voisinage dea.

DémonstrationPar hypothèse, il existe un voisinageVadeasur lequel??f(x)-???<1. Il en découle quefest

bornée surD∩Vacar pour toutx?D∩Va:??f(x)??=??f(x)-?+??????f(x)-???+|?|?|?|+1.

1.2 LIMITE À GAUCHE/À DROITE D"UNE FONCTION EN UN POINT

Définition-théorème(Limite à gauche/à droite d"une fonction)Soientf:D-→?une fonction eta??.

•Limite à gauche :Siaest adhérent àD∩]-∞,a[, on dit quef possède une limite à gauche en asif

D∩]-∞,a[

possède une limite ena. Cette limite est notée lima-f, limx→a-f(x)ou encore limx→ax

Pour tout??

?, dire que?=lima-f??revient donc à dire que : ??? >0,?α >0,?x?D,a-α 0,?α >0,?x?D,a-α Asi?= +∞ ?A<0,?α >0,?x?D,a-α •Limite à droite :On définit de même la notion delimite à droiteà partir de la fonction restreintef

D∩]a,+∞[sia

est adhérent àD∩]a,+∞[. En termes de quantificateurs, remplacez simplementa-α

Les limites à gauche/à droite ne sont jamais que des limites au sens initial du chapitre mais appliquées à des restrictions.

Cela justifie leur unicité et la possibilité que nous avons deleur accorder une notation.

Exemplelimx→0+1x= +∞.

DémonstrationSoitA>0. Nous cherchons un réelα >0 pour lequel pour toutx?]0,α[:1x>A.

Or pout toutx>0 :1

x>A??x<1A. Nous pouvons donc choisirα=1A. 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

On montre de même que lim

x→0-1 x=-∞. En revanche, d"après le théorème qui suit, la limite limx→01xN"EXISTE PAS!

Théorème(Caractérisation de la limite à l"aide des limites à gauche/à droite)Soientf:D-→?une fonction,

?eta??adhérent àD∩]-∞,a[et àD∩]a,+∞[. (i) Sifest définie ena: limaf=???lima-f=lima+f=?

ET?=f(a).

(ii) SifN"estPASdéfinie ena: limaf=???lima-f=lima+f=?.

Pour bien comprendre la condition " et?=f(a)» de l"assertion (i), jetez un oeil aux deux figures de la fin de lapage 1.

DémonstrationMontrons seulement (i).

•Si limaf=?, nous savons déjà que?=f(a). On obtient ensuite les égalités lima-f=lima+f=?par simple

restriction du domaine àD∩]-∞,a[etD∩]a,+∞[dans la définition de la limite limaf=?.

•Réciproquement, faisons l"hypothèse que lima-f=lima+f=?=f(a). En particulier???et nous voulons

montrer que lim af=?. Soit? >0. Il existe des réelsα->0 etα+>0 pour lesquels pour toutx?D: a-α-ExempleSi on notefla fonctionx?-→"exsix?0

1-xsix<0de?dans?, alors limx→0f(x) =1.

DémonstrationTrois raisons : limx→0-(1-x) =1, limx→0+ex=1 etf(0) =1.

2 MANIPULATION DES LIMITES

2.1 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Il se passe avec les fonctions la même chose qu"avec les suites pour les opérations de somme, produit, multiplication par

un scalaire et inverse — en particulier, mêmes formes indéterminées. Refaites un tour du côté des suites!

Théorème(Composition de limites)Soientf:D-→Eetg:E-→?deux fonctions,a??adhérent àD,b??

adhérent àEetc? ?. Si limaf=bet limbg=c, alors limag◦f=c.

DémonstrationSoitVcun voisinage dec.

Comme lim

bg=c, il existe un voisinageVbdebpour lequelg(x)?Vcpour toutx?E∩Vb, et comme limaf=b, il existe un voisinageVadeapour lequelf(x)?Vbpour toutx?D∩Va. Par composition :?x?D∩Va,g◦f(x)?Vc, donc en effet limag◦f=c. Va D

3... et donc aussi un voisinageVadea

quefenvoie dansVb. VbE

2... il existe un voisinageVbdeb

quegenvoie dansVc... Vc

1Pour tout voisinageVcdec...

4Finalementg◦fenvoieVadansVcd"un coup d"un seul.

fg g◦f a? b c 4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

DémonstrationSimple composition des trois limites : limx→+∞e-x=0, limy→0y

2+1(y+1)2=1 et limz→1lnz=0.

?Attention !Si limx→+∞f(x) =???, on ne peut pas affirmerSANS PREUVEque : limx→+∞xx+f(x)=limx→+∞xx+?et

lim

x→+∞f(x)x=limx→+∞?x. Lapremière égalitéestvraie, maiscommentlejustifiersans calculerexplicitement limx→+∞x

x+f(x)?

Quant à la deuxième, elle est fausse si?=1 — forme indéterminée 1+∞. En résumé :

Quand on passe à la limite, onNEpeutJAMAISle faire " par morceaux » en remplaçant tel morceau par sa limite et en laissant le reste intact.

2.2 PASSAGE À LA LIMITE DANS UNE INÉGALITÉ ET OPÉRATION INVERSE

Théorème(Limites et inégalités strictes)Soienta??adhérent àD,f:D-→?une fonction possédant une limite

?enaetm,M??. (i) Si? m, alorsf(x)>mau voisinage dea.

DémonstrationProuvons (ii). Si?= +∞, il existe un voisinageVadeasur lequelf(x)?]m,+∞[. Si???,

sachant que?-m>0, il existe un voisinageVadeasur lequelf(x)?]?-(?-m),?+(?-m)[?]m,+∞[. Dans les deux casf(x)>mau voisinage dea.

Théorème(Limites et inégalités larges)Soienta??adhérent àDetf:D-→?etg:D-→?deux fonctions

possédant une limite finie ena. Sif(x)?g(x)au voisinage dea, alors limaf?limag. Ce résultat est utilisé le plus souvent lorsque l"une des deux fonctions est constante.

?Attention !C"est faux avec des inégalitésSTRICTES! Pour toutx>0 :1x>0 mais limx→+∞1x=0.

DémonstrationPar l"absurde, si lima(g-f)<0, le théorème précédent montre queg(x)-f(x)<0 au voisinage

dea— contradiction.

2.3 CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE DE LA LIMITE D"UNE FONCTION

Le théorème qui suit contient en particulier le théorème " Composition à gauche par une fonction » de notre précédent

chapitre " Limite d"une suite ». Nous l"utilisions jusqu"ici sans l"avoir démontré.

Théorème(Caractérisation séquentielle de la limite d"une fonction)Soientf:D-→?une fonction,a??

adhérent àDet?? ?. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) lim af=?. (ii) Pour toute suite(un)n??de limiteaà valeurs dansD, la suitef(un) n??a pour limite?.

Démonstration

(i)=?(ii) On suppose que limaf=?. Soit(un)n??une suite de limiteaà valeurs dansD. Pour montrer que

lim

n→+∞f(un) =?, donnons-nous un voisinageV?de?. Comme limaf=?, il existe un voisinageVadeasur

lequelf(x)?V?. Or limn→+∞un=a, doncun?Vaà partir d"un certain rangN. Finalementun?D∩Vapour

toutn?N, doncf(un)?V?. Conclusion : limn→+∞f(un) =?. 5

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(ii)=?(i) Au lieu detravailler avec des voisinages, travaillons pourchanger dans le casparticulier oùa,???.

Par contraposition, supposons quefn"admet pas?pour limite. Il existe alors un réel?0>0 pour lequel :

?α >0,?x?D,|x-a|< αet??f(x)-?????0?.

Pour toutn???, utilisons?avec la valeurα=1

n. Cela nous donne un élémentun?Dpour lequel : |un-a|<1 net??f(un)-?????0. Ce procédé de construction nous fournit comme voulu une suite (un)n???de limiteaà valeurs dansDpour laquellef(un) n??n"admet pas?pour limite.

Exemplelimx→+∞lnx= +∞et limn→+∞n!= +∞, donc limn→+∞ln(n!) = +∞.

ExempleLa fonction sinus n"a pas de limite en+∞.

2nπ+π2

= +∞, mais : sin(nπ) =0-----→n→+∞0 et sin

2nπ+π

2 =1-----→n→+∞1, et bien sûr 1?=0.

3 THÉORÈMES D"EXISTENCE DE LIMITE

3.1 THÉORÈMES D"ENCADREMENT/MINORATION/MAJORATION

ThéorèmeSoientf:D-→?,m:D-→?etM:D-→?trois fonctions,a??adhérent àDet???. (i)Théorème d"encadrement :

Si lim

am=limaM=?et sim(x)?f(x)?M(x)au voisinage dea, limafEXISTEet vaut?. (ii)Théorème de minoration :

Si lim

am= +∞et sif(x)?m(x)au voisinage dea, limafEXISTEet vaut+∞. (iii)Théorème de majoration :

Si lim

aM=-∞et sif(x)?M(x)au voisinage dea, limafEXISTEet vaut-∞. DémonstrationPour l"assertion (i), soit? >0. Il existe un voisinageVadeasur lequelm(x)?f(x)?M(x), un voisinageV? asur lequelm(x)> ?-?et un voisinageV?? asur lequelM(x)< ?+?. En notantV0 ale voisinage V a∩V? a∩V?? a:?-? Théorème(Produit d"une fonction bornée par une fonction de limite nulle)Soientf:D-→?et?:D-→?

deux fonctions eta? ?adhérent àD. Sifest bornée au voisinage deaavec lima?=0, alors limx→a?(x)f(x) =0.

3.2 THÉORÈME DE LA LIMITE MONOTONE

Théorème(Théorème de la limite monotone)Toute fonction monotone possède une limite à gauche et une limite

à droite en tout point en lequel cela a un sens.

Afin de bien le comprendre, précisons cet énoncé dans un cas particulier d"une fonctionf:[a,b[-→?croissante avec

a??etb?]a,+∞]. Le théorème de la limite monotone affirme que :

— la limite lim

a+fEXISTEet elle est forcémentFINIEcarf(a)?lima+fpar passage à la limite,

— pour toutc?]a,b[, les limites limc-fet limc+EXISTENTet elles sont forcémentFINIEScar limc-f?f(c)?limc+f,

— la limite lim

bfEXISTEet elle est soit finie, soit égale à+∞. 6

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F ab ?f(x0) x0 DémonstrationNous nous contenterons de démontrer l"existence de lima+f dans le cadre proposé ci-dessus. PosonsF=f]a,b[. Par croissance def,Fest une partie non vide de? minorée parf(a), donc possède une borne inférieure (FINIE)?d"après la propriété de la borne inférieure. En outref(a)??.

Montrons que lim

a+f=?. Soit? >0. Le réel?+?ne minore pasFcar?en est le plus grand minorant, doncf(x0)< ?+?pour un certainx0?]a,b[.

Posonsα=x0-a>0. Pour toutx?]a,a+α[:

?-? < ??f(x)?f(x0) =y0< ?+?, car d"une partfest croissante, et d"autre part?=infF. Conclusion :?? >0,?α >0,?x?]a,a+α[,??f(x)-???< ?, autrement dit lima+f=?.

4 EXTENSION AUX FONCTIONS COMPLEXES

Définition(Fonction bornée)Soitf:D-→?une fonction. On dit quefestbornées"il existe un réelK?0 pour

lequel pour toutx?D:??f(x)???K.

Définition-théorème(Limite d"une fonction complexe en un point)Soitf:D-→?une fonction,a??adhérent

àDet???. On dit quef admet?pour limite en asi : ?V?? ??(?),?Va? ?a(?),?x?D∩Va,f(x)?V?. i.e. si :?? >0,?α >0,?x?D,|x-a|< α=???f(x)-???< ?, ou encore limx→a?? f(x)-???=0.

Le théorème d"unicité de la limite est encore valable — ce quiautorise les notations limafet limx→af(x).

Théorème(Caractérisation de la limite par les parties réelle et imaginaire)Soientf:D-→?,a??adhérent

àDet???. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) lim af=?. (ii) limaRe(f) =Re(?)et limaIm(f) =Im(?).

Une fonction qui possède une limite en un point est bornée au voisinage de ce point — attention, pas de±∞dans?!

Les notions de limite à gauche et à droite, ainsi que la caractérisation de la limite en termes de limite à gauche et à

droite, sont maintenues pour les fonctions complexes. La caractérisation séquentielle de la limite est également maintenue,

de même que les résultats sur les opérations d"addition, produit, multiplication par un scalaire et inverse, à ceci prèsque les

symboles±∞sont bannis.

Les grands théorèmes d"existence de limite — théorèmes d"encadrement/minoration/majoration et théorème de la limite

monotone — n"ont pas de sens dans le cas complexe car ils utilisent de façon essentielle la relation d"ordre?sur?.

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