Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le
L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite u. Pour cela on consid`ere la suite v définie par tout entier naturel n par vn = ?2un +
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ? de chacune des fonctions
Suites 1 Convergence
2. Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite (un) n'a pas de limite. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000524]. Exercice 6. Soit Hn = 1+.
Corrigés des exercices Suites et limites
Corrigés des exercices. Suites Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes. ... Montrer que la suite suivante converge et donner sa limite.
Suites et séries numériques (exercices corrigés)
limite » dans un+1 = un + vn. 2 donne l'égalité des limites des deux suites. Exercice 3 (Procédés de sommation : Césaro Euler). On considère une suite.
Limites – Corrections des Exercices
1 ? x devient arbitrairement grand dans les positifs. —. Exercice no 2. Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1). a. lim.
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
4.2 Propriétés de la limite d'une fonction . 7 Corrigé des exercices ... (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les définitions ...
suites arithmetiques et geometriques exercices corriges
EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et n étant un nombre entier
Séries numériques
Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme. Allez à : Correction exercice 15. Exercice 16. Etudier la convergence des séries de
Walanta
Topologie élémentaire. Suites. Fonctions d'une variable réelle. Limites. Objectifs : Connaître les notions topologiques de base et leurs
Suites et séries numériques (exercices corrigés) Exercice 1(Irrationalité dee).On définit la suite de terme général u n= 1 +11! +12! ++1n!: En introduisant la suite de terme généralvn=un+1=n!, montrer que les suites (un)et(vn)sont adjacentes, en déduire que la suite(un)converge vers une limite irrationnellePas de difficulté particulière pour l"adjacence (montrer que la suite(vn)décroît
se fait en calculantvn+1vn); si la limite est rationnelle, elle s"écritp=q, et par stricte monotonie on a u q0dtp(t2+a2)(t2+b2)
Ce résultat est à la base de l"algorithme de Gauss-Salamin de calcul de valeurs décimales approchées de.). 1 On voit que pour étudier la monotonie de(un)et celle de(vn), il faut étudier le signe deunvn. Maisun+1vn+1=12 (pu npv n)2. On en déduit facilement que les deux suites sont monotones bornées, donc convergent. Le " passage à la limite » dans u n+1=un+vn2donne l"égalité des limites des deux suites.Exercice 3(Procédés de sommation : Césaro, Euler).On considère une suite
(un)n0de nombres réels ou complexes. On définit la suite(vn)n0par v n=1n+ 1(u0+u1+u2++un)1. On suppose que la suite(un)converge vers0. Montrer que la suite(vn)
converge vers0.2. On suppose que la suite(un)converge. Montrer que la suite(vn)converge.
C"est le théorème de Césaro.
3. Donner un exemple montrant que la réciproque de la propriété précédente
est fausse.4. On suppose que la suite(un)est réelle et tend vers+1. Montrer que la
suite(vn)tend elle aussi vers+1.5. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie?
6. On définit maintenant, pourn1,
w n=12 n(n 0 u 0+n 1 u 1++n n u n)Reprendre les questions précédentes en remplaçant(vn)par(wn)1. Soit >0, on fixe un rangN0tel que
8nN0junj =2
on a alors, pour toutnN0, jvnj 1n+ 1(u0+:::+uN01) +nN0+ 1n+ 12 Le majorant tend vers=2quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(jvnj ) 22. Remarquer que
v n`=1n+ 1((u0`) + (u1`) ++ (un`)) permet de se ramener au cas`= 0déjà traité.3. Non, l"exemple classique étantun= (1)n.
4. SoitAun réel quelconque, on fixe un rangN0tel que
8nN0unA+ 1
on a alors, pour toutnN0, v n1n+ 1(u0+:::+uN01) +nN0+ 1n+ 1(A+ 1) Le minorant tend versA+ 1quandn!+1, il existe donc un rangN1 tel que (nN1) =)(vnA)5. Et la réciproque est encore fausse...Prenons par exempleun=nsinest
pair,un= 0sinest impair. La suite(un)n"a pas pour limite+1, en revanche la suite(vn)a bien pour limite+1(on peut calculerv2net v2n+1sans grande difficulté).
6. On reprend les calculs précédents, sans grands changements. Il est utile
de se souvenir que nX k=0 n k = 2 n et on aura également besoin de noter que, siN01, 12 nN 01X k=0 n k u k!n!+10 qui est simplement conséquence du fait que, pour chaquek, n k2 n!n!+10 (on a assez facilement n k n!+1n kk!, et on peut utiliser des croissancescomparées de suites de référence).Exercice 4(Oral Centrale).(à n"aborder que si on est assez à l"aise avec
l"exercice sur Césaro)Soit(an)n02RNet
2]1;1[. Montrer
a n!n!+10()an+1 an!n!+10 3 Seule l"implication de droite à gauche est intéressante. Notons u n=an+1 an et essayons d"exprimeranà l"aide desup(l"hypothèse est que la suite(un) converge vers 0) :a1=u0+ a0,a2=u1+ a1=u1+ u0+2a0, puis, par
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