Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le
L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite u. Pour cela on consid`ere la suite v définie par tout entier naturel n par vn = ?2un +
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ? de chacune des fonctions
Suites 1 Convergence
2. Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite (un) n'a pas de limite. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000524]. Exercice 6. Soit Hn = 1+.
Corrigés des exercices Suites et limites
Corrigés des exercices. Suites Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes. ... Montrer que la suite suivante converge et donner sa limite.
Suites et séries numériques (exercices corrigés)
limite » dans un+1 = un + vn. 2 donne l'égalité des limites des deux suites. Exercice 3 (Procédés de sommation : Césaro Euler). On considère une suite.
Limites – Corrections des Exercices
1 ? x devient arbitrairement grand dans les positifs. —. Exercice no 2. Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1). a. lim.
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
4.2 Propriétés de la limite d'une fonction . 7 Corrigé des exercices ... (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les définitions ...
suites arithmetiques et geometriques exercices corriges
EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et n étant un nombre entier
Séries numériques
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Walanta
Topologie élémentaire. Suites. Fonctions d'une variable réelle. Limites. Objectifs : Connaître les notions topologiques de base et leurs
Exercice n
o1Premiers calculs de limites.
a.Limites en+∞(quandxdevient arbitrairement grand). (a)limx→+∞2020-x (b)limx→+∞12020-x (c)limx→+∞2020-1x (d)limx→+∞3x2+ 2x3 (e)limx→+∞3x2+1x (f)limx→+∞13x2+ 1(g)limx→+∞⎷3x2+ 1 (h)limx→+∞3x 2-5x -2 (i)limx→+∞2⎷3x-5Correction :
(a)limx→+∞2020-x=-∞, carxdevient arbitrairement grand, avec un coefficient negatif.(b)limx→+∞12020-x= 0, car on divise1par2020-x, une quantité arbitrairement grande (né-
gative). (c)limx→+∞2020-1x = 2020, car1x devient arbitrairement petit.(d)limx→+∞3x2+ 2x3= +∞, car on ajoute deux quantités,3x2et2x3, qui deviennent arbitraire-
ment grandes. (e)limx→+∞3x2+1x = +∞, car on ajoute,3x2, une quantité qui deviennent arbitrairement grandes et 1x , qui devient arbitrairement petit. (f)limx→+∞13x2+ 1= 0, car on divise1par3x2+ 1, une quantité arbitrairement grande.(g)limx→+∞⎷3x2+ 1 = +∞, car on met dans la racine carrée une quantité arbitrairement grande,
donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande. (h)limx→+∞3x 2-5x -2 =-2car les deux quantités3x 2et5x deviennent arbitrairement petites, donc tendent vers0, et seul reste-2.(i)limx→+∞2⎷3x-5= 0, car la quantité3x-5devient arbitrairement grande, donc⎷3x-5
aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit. b.Limites en-∞(quandxdevient arbitrairement grand dans les négatifs). (a)limx→-∞3x2 (b)limx→-∞2020-x (c)limx→-∞2020-1x (d)limx→-∞3x2-2x3 (e)limx→-∞3x2+1x (f)limx→-∞13x2+ 1(g)limx→-∞⎷3x2+ 1 (h)limx→-∞3x 2-5x -2 (i)limx→-∞2⎷5-3xCorrection :
(a)limx→-∞3x2= +∞, carx2, et donc3x2, est positif et devient arbitrairement grand. -1-DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021(b)limx→-∞2020-x= +∞, carxdevient arbitrairement grand dans les négatif, et est multipliíe
par un coefficient negatif. (c)limx→-∞2020-1x = 2020, car1x devient arbitrairement petit.(d)limx→-∞3x2-2x3= +∞, car on ajoute deux quantités,3x2et-2x3, qui deviennent arbitrai-
rement grandes. (e)limx→-∞3x2+1x = +∞, car on ajoute,3x2, une quantité qui deviennent arbitrairement grandes et 1x , qui devient arbitrairement petit.(f)limx→-∞13x2+ 1= 0, car on divise1par3x2+1, une quantité arbitrairement grande (positive).
(g)limx→-∞⎷3x2+ 1 = +∞, car on met dans la racine carrée3x2+1, une quantité arbitrairement
grande, donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande. (h)limx→-∞3x 2-5x -2 =-2, car les deux quantités3x 2et5x deviennent arbitrairement petites, donc tendent vers0, et seul reste-2.(i)limx→-∞2⎷5-3x= 0, car la quantité5-3xdevient arbitrairement grande, donc⎷5-3x
aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit. c.Limites en un point (quandxtend vers une valeur finie). (a)limx→202112020-x (b)limx→13x2+1x (c)limx→1⎷3x2+ 1 2 (f)limx→23x2+ 2x3Correction :
(a)limx→23x2+ 2x3= 28, car3.22+ 2.23= 3.4 + 2.8 = 28. (b)limx→13x2+1x = 4, car3.12+ 1/1 = 4. (c)limx→1⎷3x2+ 1 = 2, car3x2+ 1tend vers3.12+ 1 = 4et⎷4 = 2. (d)limx→22⎷3x-5= 2, car3x-5tend vers3.2-5 = 1et2⎷1 = 2/1 = 1. (e)limx→202112020-x=-1, car2020-Xtend vers2020-2021 =-1. (f)limx→02-1x2= +∞, car on divise1parx2, une quantité arbitrairement grande positive.
d.Limites à gauche et à droite d"un point. (a)limx→2+12x-4 (f)limx→1-3x2+1⎷1-xCorrection :
-2-DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021(a)limx→2+12x-4= +∞, car2x-4tend vers0en étantpositif, donc12x-4devient arbitrairement
grand dans les positifs. (b)limx→2-12x-4=-∞, car2x-4tend vers0en étantnégatif, donc12x-4devient arbitraire- ment grand dans les négatifs. (c)limx→2+1(2x-4)4= +∞, car(2x-4)2tend vers0en étantpositif, donc1(2x-4)2devient arbitrairement grand dans les positifs. (d)limx→2-1(2x-4)4= +∞, car(2x-4)2tend vers0en étantpositif, donc1(2x-4)2devient arbitrairement grand dans les positifs. (e)limx→0+3x2+1⎷x = +∞, car3x2tend vers0, tandis que⎷xtend vers0en étantpositif, donc1⎷x
devient arbitrairement grand dans les positifs.(f)limx→1-3x2+1⎷1-x= +∞, car3x2tend vers3, tandis que⎷1-xtend vers0en étantpositif,
donc1⎷1-xdevient arbitrairement grand dans les positifs.
Exercice n
o2 Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1).a.limx→α-2x3, pourα= 2,+∞et-∞. b.limx→α3⎷x, pourα= +∞et4.Correction :
a.limx→α-2x3, pourα= 2,+∞et-∞.Limite quandxtend vers2:
limx→2x3= 23= 8, donclimx→2-2x3=-2.8 =-16.Limite quandxtend vers+∞:
limx→+∞x3= +∞, donc, puisque-2<0, on alimx→2-2x3=-∞.Limite quandxtend vers-∞:
limx→-∞x3=-∞, donc, puisque-2<0, on alimx→2-2x3= +∞. b.limx→α3⎷x, pourα= +∞et4.Limite quandxtend vers+∞:
limx→+∞⎷x, donclimx→+∞3⎷x= +∞.Limite quandxtend vers4:
limx→4⎷x=⎷4 = 2, donclimx→43⎷x= 3.2 = 6. (2).a.limx→αx3+1x , pourα= 2,+∞et-∞. -3-DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021b.limx→αx3+x2, pourα= 2,+∞et-∞.
c.limx→α2x2-3x+⎷x, pourα= 2et+∞.Correction :
a.limx→αx3+1x , pourα= 2,+∞et-∞.Limite quandxtend vers2:
lim x→2x3= 23= 8etlimx→21x =12 , donclimx→2x3+1x = 8×(-12 ) =-4.Limite quandxtend vers+∞:
lim x→+∞x3= +∞etlimx→+∞1x = 0, donc on alimx→+∞x3+1xLimite quandxtend vers-∞:
lim = 0, donc on alimx→-∞x3+1x b.limx→αx3+x2, pourα= 2,+∞et-∞.Limite quandxtend vers2:
lim x→2x3= 23= 8etlimx→2x2= 4, donclimx→2x3+x2= 8 + 4 = 12.Limite quandxtend vers+∞:
lim x→+∞x3= +∞etlimx→+∞x2= +∞, donc on alimx→+∞x3+x2= +∞.Limite quandxtend vers-∞:
limx→-∞x3=-∞etlimx→-∞x2= 0, donclimx→-∞x3+x2mène à uneForme Indéterminée "∞-∞".
Pour lever cette forme indéterminée, on factorise l"expression et on utilise les règles de limite
d"un produit :x3+x2=x3(1 +1x )et puisquelimx→-∞(1 +1x ) = 1, on obtientlimx→-∞x3+x2= lim x→-∞x3(1 +1x c.limx→α2x2-3x+⎷x, pourα= 2et+∞.Limite quandxtend vers2:
limx→22x2= 2.22= 8,limx→2-3x=-3.2 =-6etlimx→2⎷x=⎷2, donclimx→22x2-3x+⎷x= 8-6+⎷2 =
2 +⎷2.
Limite quandxtend vers+∞:
limx→+∞2x2= +∞,limx→+∞-3x=-∞etlimx→+∞⎷x= +∞, donc on a uneForme Indéterminée
En factorisant parx2, on obtient2x2-3x+⎷x=x2? 2-3x +1x ⎷x . Orlimx→+∞x2= +∞et lim x→+∞? 2-3x +1x ⎷x = 2, donc on obtientlimx→+∞2x2-3x+⎷x= +∞ (3).a.limx→αx3?1x -1?, pourα= 2,+∞et-∞. -4-DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021b.limx→α(3x+ 2)(x2-5), pourα= 0,+∞et-∞.
c.limx→α1x (3-⎷x), pourα= 2et+∞.Correction :
a.limx→αx3?1x -1? , pourα= 2,+∞et-∞.Limite quandxtend vers2:
lim x→2x3= 23= 8etlimx→21x -1 =12 -1 =-12 , donclimx→2x3?1x -1? = 8 +12 =172Limite quandxtend vers+∞:
lim x→+∞x3= +∞etlimx→+∞1x -1 =-1, donc, puisque-1<0, on alimx→+∞x3?1x -1?Limite quandxtend vers-∞:
lim -1 =-1, donc, puisque-1<0, on alimx→-∞x3?1x -1? b.limx→α(3x+ 2)(x2-5), pourα= 0,+∞et-∞.Limite quandxtend vers0:
limx→23x+ 2 = 2etlimx→2x2-5 =-5, donclimx→2(3x+ 2)(x2-5) = 2.(-5) =-10.Limite quandxtend vers+∞:
limx→+∞3x+ 2 = +∞etlimx→+∞x2-5 =-1, donc on alimx→+∞(3x+ 2)(x2-5) = +∞.
Limite quandxtend vers-∞:
limx→-∞3x+ 2 =-∞etlimx→-∞x2-5 = +∞, donc on alimx→-∞(3x+ 2)(x2-5) =-∞.
c.limx→α1x (3-⎷x), pourα= 2et+∞.Limite quandxtend vers2:
lim x→21x =12 etlimx→23-⎷x= 3-⎷2, donclimx→21x (3-⎷x) =3-⎷2 2Limite quandxtend vers+∞:
lim x→+∞1x= 0etlimx→+∞3-⎷x=-∞1, donc on obtient uneForme Indéterminée "0× ∞".
En développant, on obtient
1x (3-⎷x) =3x -1⎷x . Orlimx→+∞3x = 0etlimx→+∞1⎷x = 0, donc on obtientlimx→+∞1x (3-⎷x) =3x -1⎷x = 0, par somme de limites. (4).a.limx→α? 1x -2?2x+ 1, pourα= 2,+∞et-∞. b.limx→α2x+ 1? 1x -2?, pourα= +∞et-∞. c.limx→α1/x2/⎷x , pourα= +∞. -5- DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021d.limx→α1x -2-3⎷x , pourα= +∞. e.limx→α2x2+ 3x+ 43x2+ 5, pourα= 0et+∞.Correction :
a.limx→α? 1x -2?2x+ 1, pourα= 2,+∞et-∞.Limite quandxtend vers2:
lim x→21x -2 =12 -2 =-32 etlimx→22x+ 1 = 5, donclimx→2? 1x -2?2x+ 1=-32×5-310Limite quandxtend vers+∞:
lim x→+∞1x -2 =-2etlimx→+∞2x+ 1 = +∞, donc on alimx→+∞? 1x -2?2x+ 1= 0.Limite quandxtend vers-∞:
lim x→-∞1x -2 =-2etlimx→-∞2x+ 1 =-∞, donc on alimx→-∞? 1x -2?2x+ 1= 0. b.limx→α2x+ 1? 1x -2?, pourα= +∞et-∞.Limite quandxtend vers+∞:
lim x→+∞2x+ 1 = +∞etlimx→+∞1x -2 =-2, donc, puisque-2<0, on alimx→+∞? 1x -2?2x+ 1=-∞.Limite quandxtend vers-∞:
lim x→-∞2x+ 1 =-∞etlimx→-∞1x -2 =-2, donc, puisque-2<0, on alimx→-∞? 1x -2?2x+ 1= +∞. c.limx→α1/x2/⎷x , pourα= +∞. lim x→+∞1/x= 0etlimx→-∞2/⎷x= 0, donc on obtient uneForme Indéterminée "00 ". On change donc l"expression de la fonction, en simplifiant la fraction :1/x2/⎷x
=⎷x 2x=12 ⎷xOn obtient quelimx→+∞1/x2/⎷x
= limx→+∞12 ⎷x = 0. d.limx→α1x -2-3⎷x , pourα= +∞. lim x→+∞1/x-2 =-2etlimx→-∞-3⎷x = 0. Mais pour déterminer la limite du quotient, nous devons être plus précis, et indiquer le signe du dénominateur : on a toujoursquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limite d'une suite géométrique de raison négative
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