[PDF] Comportement asymptotique - Exercices

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Premi`ereSComportement asymptotique

Exercices

Exercice I :

Construire avec un tableau de variation

Pour les exercices suivants, utiliser le tableau de variations pour trouver le domaine de définition, les limites aux bornes de l"ensemble de définition. Construire ensuite une courbe correspondant au tableau. 1) Soit le tableau de v ariationsui vant: 2)Soit le tableau de v ariationsui vant: 3)

Soit le tableau de v ariationsui vant:

paul milan1/527 jan vier2011 exercicesPremi`ereS4)Soit le tableau de v ariationsui vant:

Exercice II :

Retrouver un tableau de variation

Pour les courbe suivantes, composer le tableau de variation de la fonctionfrepré- sentée. Quelles asymptotes pouvez-vous conjecturer? Pouvez vous donner l"expresssion d"une fonction qui correspondrait? 1) Soit la courbe sui vante: 2)Soit la courbe sui vante: paul milan2/527 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice III :

Théorème sur les limites

Étudier les limites enade la fonction indiquée. Il peut être nécessaire d"étudier la limite à droite et la limite à gauche ena.

1)f(x)=x22x1;a=1

2)f(x)=x32x1;a=12

3)f(x)=x+1x

2+x6;a=2

4)f(x)=2xx

21;a=1

Exercice IV :

fonctions polynômes et rationnelles Étudier les limites en+1et1des fonctionsfsuivantes :

1)f(x)=3x2+1

2)f(x)=2x2+3

3)f(x)=x3+x21

4)f(x)=2xx2

5)f(x)=5x3+x2

6)f(x)=x32x2

7)f(x)=3x2x+28)f(x)=3x+12x1

9)f(x)=62xx3

10)f(x)=x2+12x

28

11)f(x)=x3x+53x22x+1

12)f(x)=x+2x

21

Exercice V :

Asymptote oblique

Pour chacune des fonctions suivantes, la droited"équationy=x+1 est-elle asymp- tote oblique à leur courbe représntative? Justifier votre réponse. f(x)=x+14x1 g(x)=x2+1x1h(x)=x+1+xx 2+1 k(x)=x+1+xx1

Exercice VI :

Calcul de limites

Pour les exercices suivants, étudier la limite de la fonctionfau point indiqué.

1)f(x)=(x1)(2x+3)x

21en 1.

2)f(x)=x25x+6x

2x2en 2.3)f(x)=x2x2x2xen 0.

4)f(x)=px1x1en 1.paul milan3/527 jan vier2011

exercicesPremi`ereSExercice VII :

Étude de fonctions

Étudier les fonctions suivantes. Dans le cas oùCfadmet une asymptote horizontaled ou oblique, déterminer les éventuels point d"intersection deCfet ded, ou deCfet de , puis étudier la positiondeCfet de. Acher sa courbe sur votre calculatrice pour contrôler vos résultats.

1)f(x)=2x1+x2

2)f(x)=2x2x+1x

2+13)f(x)=x21(x2)2

4)f(x)=(x1)2x(x3)

Exercice VIII :

Recherche d"asymptote

fest la fonction définie surRf2gpar : f(x)=x2+x+3x+2 1)

Déterminer a,betctels que :

f(x)=ax+b+cx+2 2) En déduire que la droite d"équationy=x+3 est asymptote oblique àCfen+1et 1. 3) Déterminer la position de Cfpar rapport àselon les valeurs dex. 4) Prouv erque la courbe Cfadmet une asymptote verticale et donner une équation de cette asymptote.

Exercice IX :

Position d"une courbe et de son asymptote

fest la fonction définie surRf2gpar :f(x)=2x37x2+3x3(x2)2 1) Déterminer les limites aux bornes de l"ensemble de définition. Calculer la fonction dérivée puis dresser son tableau de variation 2) a) Déterminer les réels a,b,cetdtels que :f(x)=ax+b+cx2+d(x2)2 b) En déduire l"équation d"une asymptote oblique à la courbeCfet préciser la position deCfpar rapport à. c)

Déterminer le point d"intersection de etCf.

3)

T racerCf

4) Déterminer graphiquement, sui vantles v aleursde m, le nombre et le signe des solu- tions de l"équation :

2x3(7+m)x2+(3+4m)x34m=0paul milan4/527 jan vier2011

exercicesPremi`ereSExercice X :

Fonction très classique

Soit la fonctionfdéfinie surRf1gpar :f(x)=x2+32x2 On appelleCfla courbe représentative defdans le plan muni d"un repère orthogonal. 1) Montrer que l"on peut écrire fsous la forme :f(x)=12 x+12 +2x1. 2)

Étudier les limites en +1et en1.

3) Étudier la limite en 1. Qu"en déduisez-v ous? 4)

Déterminer la fonction déri véef0. On cherchera à factoriser cette fonction dérivée.

5)

Dresser le tableau de v ariationde la fonction f.

6)

Montrer que la droite ( D) d"équationy=12

x+12 est asymptote en+1et en1. On précisera la position deCfpar rapport à (D). 7) Soit ( T) la tangente àCfau point d"abscisse 2. Donner une équation de la droite (T). 8)

Montrer que le point

(1;1) est un centre de symétrie deCf. 9) T racerla courbe Cf, les asymptotes, la tangente (T) et le point de symétrie dans un repère orthonormal.paul milan5/527 jan vier2011quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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