[PDF] Limites de fonctions et asymptotes - Exercices Fiche 2

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Limites de fonctions et asymptotes

Exercices Fiche 2

Exercice 1:

Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes:

1.fx = 4 - x en + 

2.g(x) =

5x4 - 3x² en +

3.j(x) =

4x2-3 x4 en - 

4.k(x) =

x1 3-x2 en 3 5. l( x) = 2 x2-1 en 1.

Exercice 2:

Soit la fonction

f définie par fx = 2x2-7x9 x-2

1.Déterminer le domaine

D de définition de la fonction f.

2.Démontrer que pour tout xD,

fx = 2x-3 + 3 x-2.

3.Déterminer la limite de

f en +  et en - .

4.Montrer que la courbe

Cf représentative de la fonction f admet une asymptote  en + et en -  .

5.Donner la position relative de

Cf et de  en fonction des valeurs de x.

6.a. Déterminer la limite de f en 2.

b. Interpréter géométriquement.

7.Dresser le tableau de variation de f.

8.Déterminer la tangente T à la courbe

Cf au point d'abscisse x = 1.

9.Tracer

Cf ainsi que les asymptotes dans un repère orthonormé du plan.

Limites de fonctions et asymptotes

CORRECTION

Exercice 1:

Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes:

1.fx=4-x en + 

limx∞4-x=-∞

2.gx=5x4-3x² en +

limx∞

5x4-3x2=limx∞

5x4=∞

3.jx=4x²-3

x4 en -  limx-∞4x2-3 x4=limx-∞4x2 x=limx-∞4x=-∞ 4. kx=x1 3-x² en 3 x- ∞3+ ∞ (3-x)²+0+

31=40

limx3,x3x1 3-x2=∞ limx3,x3 x1 x²-1 en 1. x2-1=0

Ûx=1oux=-1

x- ∞-11+ ∞ x²-1+0-0+ limx1,x12 x²-1=∞ limx1,x12 x²-1=∞

Exercice 2:

Soit la fonction

fdéfinie parfx=2x2-7x9 x-2

1.Déterminer le domaine D de définition de la fonction

f.

Limites de fonctions et asymptotes

x-2=0 Ûx=2

D=ℝ\{2}

2.Démontrer que pour tout

xD, fx=2x-33 x-2.

2x-33

x-2= 2x-3x-23 x-2=2x2-4x-3x63 x-2=2x2-7x9 x-2=fx Donc, pour tout xD, fx=2x-33 x-2.

3.Déterminer la limite de

f en +  et en - . x=limx∞2x=∞ x=limx-∞2x=-∞

4.Montrer que la courbe Cf représentative de la fonction f admet une asymptote  en + et en -  .

Soit la droite d'équation y=2x-3

fx-2x-3=3 x-2 et limx∞3 x-2=0et limx-∞ 3 x-2=0 Donc, la courbe Cf représentative de la fonction f admet la droite  d'équation y=2x3comme asymptote oblique en + et en -  .

5.Donner la position relative de

Cf et de  en fonction des valeurs de x.

fx-2x-3=3 x-2 x- ∞ 2+ ∞ x-2-0+ Donc, Cfest au-dessus de sur ]2;∞[ et Cfest en-dessous de sur ]-∞;2[

6.a. Déterminer la limite de

f en 2. fx=2x-33 x-2 3>0 x- ∞ 2+ ∞ x-2-0+ limx2,x2 3

Limites de fonctions et asymptotes

limx2,x2 3 x-2=-∞

2×2-3=1 Donc,

b. Interpréter géométriquement.

La droite d'équation

x=2est une asymptote verticale à la courbe.

7.Dresser le tableau de variation de

f. fx=2x2-7x9 x-2 fest définie et dérivable sur D.

On pose:

vx=x-2v'x=1 x-22 f'x=4x2-8x-7x14-2x27x-9 x-22 f'x=2x2-8x5 x-22 2x2-8x5=0 =-82-4×2×5=24 x1=8-26

4=4-6

2etx2=82

6

4=46

2 x- ∞ x12x2+ ∞ f '(x)+0--0+ f(x)

8.Déterminer la tangente

T à la courbe Cf au point d'abscisse x = 1.

Or, f1=2×12-7×19

1-2=-4et f'1=2×12-8×15

1-22=-1

Limites de fonctions et asymptotes

T:y=-1x-1-4

T:y=-x-39.Tracer

Cf ainsi que les asymptotes dans un repère orthonormé du plan.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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