[PDF] Fonction exponentielle et fonction logarithmique

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Fonction exponentielleet fonction logarithmique

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5.1Rappel

Nous nous sommes jusqu"à maintenant limités à l"étude des fonctionsalgébriques. Nous sommes par conséquent familiers avec des fonctionstelles

ƒ(x) = x

2 ou g(x) = ⎷‾x .

Ces deux fonctions ont pour caractéristique d"être définies à l"aide d"uneexpression contenant une variable élevée à une puissance constante. Eninversant les rôles et en élevant une constante (non négative et différentede l"unité) à une puissance variable, on obtient une des plus importantesclasses de fonctions qui existent en mathématiques, la fonctionexponentielle. En voici deux exemples:

ƒ(x) = 2

x , g(x) = 1 2 x

La fonction exponentielle possède une fonction inverse toute aussiimportante, la fonction logarithmique.

Avant d"aborder l"étude de ces fonctions, rappelons d"abord lespropriétés des exposants que l"on aura souvent l"occasion d"utiliser danscette section.

propriétés desexposants bien que ces propriétés aient été utilisées jusqu"ici uniquement avec des exposants rationnels, elles demeurent néanmoins valables lorsque l"exposant est un nombre irrationnel

Soit a, b > 0 et m, n ? R.

1) b 0 = 1 5) (b n m = b nm 2) b -n = 1 b n 6) a n b n = (ab) n 3) b n b m = b n+m

7) a

n b n = (( ))a b n 4)b n b m = b n-m exemples 5.1.1Montrer que (2a 2 1/2 8 1/6 a -1 = a 2 (a > 0 ) ____________

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-2

a)la fonction exponentielle définition 5.1.1 fonction exponentielle

La fonction définie par l"équation

y = b x ( b > 0 et b ≠ 1 ) est appelée fonction exponentielle de base b . exemple 5.1.2 les équations y = 1 x ou y = (-2) x ne définissent pas des fonctions exponentielles

Les équations

y = 3 x, y = 1 5 x ,y = 10 x ,y = (1,01) x y = (0,9) x ,y = π x ,y = e x (e = 2,718...) définissent dans chacun des cas une fonction exponentielle.

Euler (1707-1783)

Dans le dernier cas, la fonction exponentielle est de base e = 2,718 281 828 459 045 235 36...

Ce nombre irrationnel est en fait un des plus importants que l"on retrouveen mathématiques. Il a été introduit en sciences vers 1748 par lemathématicien suisse Euler. Celui-ci le qualifia de nombre transcendant.On dit d"un nombre qu"il est transcendant s"il ne peut être racined"aucune équation algébrique dont les coefficients sont des entiers. PourEuler, ce nombre semblait "transcender la puissance des méthodesalgébriques de son temps".

Le nombre e est la base par excellence utilisée en sciences. On verra quelorsque la valeur de e est utilisée comme base d"une fonctionexponentielle, cette fonction devient une des plus faciles à dériver et parvoie de conséquence, une des plus faciles à étudier.

graphiquede la fonctionexponentielled"équation y = b x

Le graphique de la fonction expo-nentielle possède une des deux formesapparaissant sur la figure de droite.

On constate que la fonction expo-nentielle d"équation y = b x (b > 0, b ≠ 1) y x

1(0 < b < 1) (b > 1)(b > 1)

y = b x

•est croissante si b > 1 ,•est décroissante si 0 < b < 1 ,•est toujours positive quelle que soit la base b ,•possède une asymptote horizontale d"équation y = 0 ,•a pour domaine l"intervalle ]-∞, ∞[ ,•a pour image l"intervalle ]0, ∞[ .

graphiquede la fonctionexponentielled"équation y = e x y x 1 1 y = e x

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-3proposition 5.1.1

1. b x = b y ?x = y (b > 0, b ≠ 1)

2. a) b

x < b y ?x < y (b > 1) b) b x < b y ?x > y (0 < b < 1)

Ces règles pourront dans certains cas être utilisées pour résoudre deséquations ou des inéquations contenant des expressions de typeexponentiel.

exemple 5.1.3

Résoudre l"équation: 2

x = 0,125____________ 2 x = 0,125 = 1

8 = 2

-3 ?2 x = 2 -3 ?x= -3 (par la prop. 5.1.1) exemple 5.1.4

Résoudre l"inéquation:

1 4 3x 1 32
____________ 1 4 3x 1 32
1 2 2 3x 1 2 5 1 2 6x 1 2 5 ? 6x > 5 (par la prop. 5.1.1) ? x> 5 6 exemple 5.1.5 Trouver la valeur de n si : a)b 5 ()b 1/3 b n = b (b > 0, b ≠1) b) (( ))1 b n 3 ≥ b ()b 1/3 (0 < b < 1) ____________ rép: n = 13

3 ; b) n ≥ - 4

9

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-4

La fonction exponentielle est souvent utilisée pour décrire desphénomènes de croissance. En psychologie, on l"utilise entre autrespour étudier certains comportements d"apprentissage.

exemple 5.1.6 Pour une multitude de raisons, les lignes d"assemblage en industrie ont tendance à avoir un roulement important d"ouvriers. Les compagnies doivent dépenser beaucoup d"argent à entraîner de nouveaux effectifs. On a trouvé que le niveau de production d"un nouvel employé d"une chaîne de montage est décrit par la fonction

P(x) = 25 - 25

e -0,3x

P(x) représente le nombre d"unités fabriquées par l"employé x joursaprès son entrée en fonction. En utilisant l"équation, calculer le nombre

d"unités que l"ouvrier produira à sa 8 e journée de travail.(Utiliser votre calculatrice)____________

On doit évaluerP(8)= 25 - 25

e -0,3(8) = 25 - 25e -2,4 = 25 - 25(0,09071) = 22,7 Le 8 e jour l"ouvrier devrait fabriquer environ 23 unités. En reprenant le calcul pour différentes valeurs de x, on obtient le tableausuivant. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P(x) 0 6,5 11,3 14,8 17,5 19,4 20,9 21,9
22,7
En psychologie la courbe de cette fonction s"appelle "courbe d"apprentissage".

5 10 15 20 25

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9x

En examinant cette courbe, on remarque qu"à la longue, le rendementd"un ouvrier approche d"une valeur maximale de 25 unités et que touteformation ou expérience additionnelle n"aura que très peu d"effets surson rendement.

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-5

b)la fonction logarithmique

Les fonctions exponentielle etlogarithmique sont en relation directel"une avec l"autre. On a vu que lafonction exponentielle définie par

l"équation y = 2 x associe àl"exposant x = 2, la valeury = 4. y = 2 x 24
y = 2 x 24
-1 log 2 4 =

À l"inverse si l"on cherchait à trouverla valeur de l"exposant x associée àune valeur de y, on associerait ày = 4, l"exposant x = 2. On appel-le cet exposant le logarithme de base2 de 4 et on le note

log 2 4 La fonction ainsi créée que l"on désigne par ƒ -1 est appelée fonctionlogarithmique de base 2 et est notée log 2 définition 5.1.2 fonction logarithmique La fonction logarithmique de base b (b > 0 , b ≠ 1) que l"on note log b est définie par l"équation y = log b x ? b y = x

À toute forme logarithmique correspond une forme exponentielle etinversement à toute forme exponentielle correspond une forme logarith-mique. Pour bien saisir le passage de la forme logarithmique à la formeexponentielle (ou vice versa) examinons les tableaux équivalentssuivants.

forme exponentielle forme logarithmique 3 2 =9?log 3 9 = 2 7 0 =1?log 7 1 = 0 10 3 =1000?log 10

1000 = 3

5 -2 1 25
?log 5 1 25
=-2 forme logarithmique forme exponentielle log 9 3 = 1 2 ?9 1/2 =3 log 8 1 8 =-1?8 -1 1 8 log 5

5 = 1?5

1 =5 log 1/2

4 = -2?

1 2 - 2 =4

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-6

exemple 5.1.7 Évaluer a)log 5

125 c) log

4

1 e) log

10 1 10 b)log 2

128 d) log

1/2 8 ____________ a)log 5

125 = y ? 5

y = 125

Pour obtenir la valeur de log

5

125 il suffit donc de trouver

l"exposant qu"il faut donner à 5 pour obtenir 125. 5 3 = 125 ? log 5

125 = 3

rép: b) 7 ; c) 0 ; d) -3 ; e) -1

Une base retiendra notre attention. Cette base, vous l"aurez deviné, est labase e = 2,718 ... Les logarithmes de base e s"appellent logarithmesnaturels ou logarithmes népériens en l"honneur du mathématicienécossais John Napier (1550-1617). Les logarithmes de base e s"écriventsous forme abrégée

ln x = log e x

Par définition

y = ln x ? e y = x exemple 5.1.8 Évaluer: a)sans l"aide d"une calculatrice: ln e et ln 1, b)à l"aide d"une calculatrice: ln 2 et ln 1 3 ____________ rép: a) 1 ; b) 0 ; c) 0,693147 ; d) -1,098612

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

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