FONCTION EXPONENTIELLE
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour
Les limites et la fonction exponentielle Pour lever une indétermination avec des exponentielles il y a donc deux nouvelles méthodes :.
FONCTION EXPONENTIELLE
On cherche à conjecturer de même la limite de la fonction exponentielle en ??. Calculons quelques valeurs de la fonction exponentielle pour des valeurs de
RAPPELS EXP ET FONCTION LN
Rappels sur la fonction exponentielle . Limites de la fonction exponentielle . ... Limites à connaitre par cœur et à savoir démontrer .
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
Fiche technique sur les limites
Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +? et ?? que son monôme Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ? à valeurs dans Donc par composée de limites
Développements limités
I.1 Développement limité d'ordre 1 . II.2 Dévéloppements limités usuels . ... La fonction exponentielle étant croissante sur Rona:.
Fonction exponentielle et fonction logarithmique
Fonction exponentielle et fonction logarithmique. 5. 5.1 Rappel. Nous nous sommes jusqu'à maintenant limités à l'étude des fonctions algébriques.
Développements limités
Table des matières
I Fonction exponentielle2
I.1 Développement limité d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Développement limité d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Développement limité d"ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4
II Dévéloppements limités4
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4
II.2 Dévéloppements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6
II.5 Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6
http://nathalie.daval.free.fr-1- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010I Fonction exponentielle
On chercha à approximer la fonctionx→exp(x) par des fonctions successivement du premier, deuxième et
troisième degré.On posef(x) =e
x, fonction dérivable autant de fois que l"on veut surR.I.1 Développement limité d"ordre1
Propriété 1
Au voisinage de 0,e
x= 1 +x+x?(x) où limx→0?(x) = 0. En effet, La définition du nombre dérivé de la fonctionfen 0 nous donne : f(x) =f(0) +f ?(0)x+x?(x) où limx→0x= 0Or, on a :
?f(x) =exdoncf(0) = 1 f ?(x) =exdoncf?(0) = 1D"où le résultat trouvé dans la propriété.I.2 Développement limité d"ordre2
Propriété 2
Au voisinage de 0,e
x= 1 +x+x 2 2+x2?(x) où limx→0?(x) = 0.
On peut démontrer cette propriété grâce, entre autre, à des intégrations successives :
La fonction exponentielle étant croissante surR, on a : ?t?[-1 ; 1 ], e On intègre cette double inégalité de 0 àxpourx?[-1 ; 1 ] : ?x 01 ?x 0 ?x 0 e dt ?t e ?x0 x On intègre à nouveau cette double inégalité de 0 àtpourt?[-1 ; 1 ] : ?t 0x ?t 0 ?t 0 ex dx ?x2 2e ?t0 ?ex2 2 ?t0 t2 2 2 http://nathalie.daval.free.fr-2- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010 On intègre une dernière fois cette double inégalité de 0 àxpourx?[-1 ; 1 ] : ?x 0t2 ?x 0 ?x 0et2 2dt ?t3 6e ?x0 et-t 2 2-t ?x0 ?et3 6 ?x0 x3 x-x 2 3 6Pourx?= 0, on pose?(x) =e
x- ?x22+x+ 1
x2. D"après l"inégalité précédente,x2étant positif, on obtient :xOr, lim
x→0 x6e= limx→0
ex6e= 0 donc, d"après le théorème des gendarmes : limx→0?(x) = 0.
D"où la conclusion :
?x?[-1 ; 0 [?] 0 ; 1 ], e x= 1 +x+x 2 2+x2?(x) où limx→0?(x) = 0.
I.3 Développement limité d"ordre3
Propriété 3
Au voisinage de 0,e
x= 1 +x+x 2 2+x 3 6+x3?(x) où limx→0?(x) = 0.
On intègre de nouveau la dernière inégalité trouvée précédemment de 0 àtpourt?[-1 ; 1 ] :
?t 0x3 ?t 0? ex-x 2 2-x-1 ?t 0ex3 6dx ?x4 24e?t0 ex-x 3 6-x 2 2-x ?t0 ?ex4 24
?t0 t4 t-t 3 6-t 2 4 24
Pourt?= 0, on pose?(t) =e
t- ?t3 6+t 22+t+ 1
t3. D"après l"inégalité précédente, on obtient : t etOr, lim
t→0 t24e= limt→0
et24= 0 donc, d"après le théorème des gendarmes : limt→0?(t) = 0.
D"où la conclusion :
?t?[-1 ; 0 [?] 0 ; 1 ],e t= 1 +t+t 2 2+t 3 6+t2?(t) où limt→0?(t) = 0.
http://nathalie.daval.free.fr-3- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010I.4 Interprétation graphique
Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage
de 0. Plus l"ordre est élevée, meilleure est l"approximation!1 2-1-2-3
123y= exp(x) y= 1 +x y= 1 +x+x 2 2 y= 1 +x+x 2 2+x 3 6
II Dévéloppements limités
II.1 Généralités
Définition 1
Soitfune fonction numérique définie sur un intervalleIdeRcontenant0. On dit quefadmet un développement limité à l"ordrenau voisinage de0 s"il existe un polynômePnde degré inférieur ou égal àntel que pour toutx?I: f(x) =P n(x) +xn?(x)oùlimx→0?(x) = 0. ou sous forme développée f(x) =a0+a1x1+a2x2+···+anxn+xn?(x).
On dit queP
n(x)est la partie régulièredu développement limité etxn?(x)est le le reste. http://nathalie.daval.free.fr-4- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010II.2 Dévéloppements limités usuels
Au voisinage de zéro, on a :
e x= 1 +x+x 2 2!+x 3 3!+x 4 4!+x 55!+···+x
n n!+x n?(x). 11 +x= 1-x+x
2-x3+x4-x5+···+ (-1)nxn+xn?(x).
ln(1 +x) =x-x
2 2+x 3 3-x 44+···+ (-1)
n+1xn n+x n?(x).cosx= 1-x
2 2+x 4 4!-x 6 6!+x 88!+···+ (-1)
nx2n (2n)!+x n?(x).sinx=x-x
3 3!+x 5 5!-x 77!+···+ (-1)
nx2n+12n+ 1!+x
n?(x).(1 +x)
α= 1 +αx+α(α-1)2x
2+α(α-1)(α-2)3!x
3+···+α(α-1)(α-2)···(α-n+ 1)n!x
n+xn?(x).Remarque 1
La partie régulière du développement limité en 0 d"une fonction paire (respectivement impaire) est un
polynôme constitué de monômes de degré pair (respectivement impair).Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiionsfetgadmettant à l"ordrenau point 0 des dévelop-
pements limités de parties régulièresP(x) etQ(x).II.3 Opérations algébriques
Propriété 4
©f+gadmet un développement limité à l"ordrendont la partie régulière estP(x) +Q(x).
©f×gadmet un développement limité à l"ordrendont la partie régulièreP(x)×Q(x) en
supprimant tous les termes de degré strictement supérieursàn.Exemple
Développement limité à l"ordre3deex
1 +x:ÔA l"ordre3, on a?????e
x= 1 +x+x22+x36+x3?1(x) avec limx→0?1(x) = 0
11 +x= 1-x+x2-x3+x3?2(x) avec limx→0?2(x) = 0
Ôdoncex
1 +x=ex×11 +x=?
1 +x+x22+x36+x3?1(x)??1-x+x2-x3+x3?2(x)?
= 1-x+x2-x3+x-x2+x3+x22-x32+x36+x3?(x)
= 1 + x22-x33+x3?(x)aveclimx?→0?(x) = 0.
http://nathalie.daval.free.fr-5- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010II.4 Composition
Propriété 5
Sif(x) =P(x) +x
n?(x) alors :©f(ax) =P(ax) +x
n?1(x) pour touta?R?.©f(x
p) =P(xp) +xn×p?2(x) pour toutp?N?.Exemple
Développement limité à l"ordre7desin(2x):Ôsinx=x-x3
3!+x55!-x77!+x7?1(x)donc :
sin(2x) = 2x-(2x)33!+(2x)55!-(2x)77!+x7?2(x) = 2x-43x3+415x5-8315x7+x7?2(x).
Développement limité à l"ordre6de1
1 +x2:
11 +x= 1-x+x2-x3+x3?1(x)donc :
11 +x2= 1-x2+x4-x6+x6?2(x).
II.5 Dérivation et intégration
Propriété 6
Sifest dérivable sur un intervalleIcontenant 0, et admet un développement limité d"ordenen 0, alors
f?admet un développement limité à l"ordren-1 au voisinage de 0 de partie régulièreP?(x).
Exemple
Le développement limité à l"ordre7desin(x)est :sinx=x-x33!+x55!-x77!+x7?(x).
ÔPar dérivation, on trouve(sinx)?= 1-x2
2!+x44!-x66!+x6?(x).
ÔOn retrouve bien le développement limité à l"ordre6decos(x).Propriété 7
SoitFune primitive defsur un intervalleIcontenat 0,Sif(x) =a
0+a1x+a2x2+···+anxn+xn?(x) avec limx→0?(x) = 0,
alorsF(x) =F(0) +a0x+a1x2
2+a2x3
3+···+anxn+1
n+ 1+x n+1?(x).Exemple
Le développement limité à l"ordrende1
1 +xest :
11 +x= 1-x+x2-x3+x4-x5+···+ (-1)nxn+xn?(x).
ÔSi on intègre, on obtient?1
1 +xdx=x-x22+x33-x44+···+ (-1)nxn+1n+ 1+xn+1?(x)
ÔOn retouve ainsi le développement limité à l"ordren+ 1en0de la fonctionln(1 +x). http://nathalie.daval.free.fr-6-quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limite de fonctions et asymptotes
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