[PDF] Cogito spécial : Vrai / Faux sur les suites et limites réelles 1

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Cogito spécial : Vrai / Faux sur les suites et limites réelles

1) Enoncés Vrai / Faux sur les suites réelles et les fonctions numériques.

Vrai ou faux? Justi...ez votre choix : si Vrai, donner une preuve, si Faux, donner un contre-exemple).

a)exp(i=n) = exp(2i)1=2n= (1)1=2n= 1: b) La somme d"une suite convergente et d"une suite divergente est divergente.

c) Une suite réelle positive convergeant vers 0 décroît vers 0 à partir d"un certain rang.

d) De toute suite non majorée, on peut extraire une suite croissante et divergeant vers+1. e) Toute suite réelle(un)n2Nconverge ssilimn!+1(un+1un) = 0: f) Pour toutes suite(un)n2Nstrictement positive, siunun+1, alors(un)n2Nconverge. g) Si8n2N,un1n+ 11un+1n+ 1, alorslimn!+1un= 1: h) Les suites(un)n2Net(vn)n2Ndé...nies parun=netvn=n1n sont adjacentes. i) Un capital placé au taux ...xe de 1% pendant 100 ans est pratiquement multiplié pare. j)(Pn k=0n!)n!lorsquentend vers+1: k) Deux suites(un)n2Net(vn)n2Néquivalentes en+1ont même signe à partir d"un certain rang.

l) Deux suites(un)n2Net(vn)n2Néquivalentes en+1ont même sens de variation à partir d"un certain rang.

m) La fonction sinus n"admet pas de limite en+1. n) Pour toutréel, la suite(cos(n+))n2Nest divergente (c"est-à-dire ne converge pas).

2) Enoncés Vrai / Faux sur les suites réelles et les fonctions numériques.

Donner des contre-exemples prouvant que les assertions suivantes sonttoutesfausses,sauf deux... : a) Silimn!+1un= 1;alorslimn!+1(un)n= 1: b) Silimn!+1un= 0;alorslimn!+1(un+un+1+un+2+:::+u2n) = 0: c) Silimn!+1un+1un= 0;alors la suite(un)n2Nest convergente. d) Silimn!+1un= +1;alors la suite(u2nun)n2Nn"est pas majorée. e) Siunsvnalorsexp(un)sexp(vn): f) Silimn!+1(unvn) = 0, alorsunsvn: g) Siun+1sun, ce qui signi...elimn!+1un+1u n= 1, alors(un)n2Nest convergente. h) Silimn!+1(un+vn) = +1;alorslimn!+1un= +1oulimn!+1vn= +1: i) Si(un)n2Nest positive et strictement décroissante, alors(un)n2Nconverge vers 0. j) Silimn!+1sinun= 0;alors(un)n2Nconverge vers un réell2Z: k) Silimn!+1un= +1;alors(un)n2Nest croissante à partir d"un certain rang.

l) Si(un)n2Nne croît à partir d"un certain rang, alors(un)n2Nest décroît à partir d"un certain rang.

m) Si(un)n2Nn"est pas majorée, alors(un)n2Nadmet une suite extraite tendant vers+1. n) Toute fonction bornéef:R!Radmet en tout point une limite à droite. o) Sifest continue en0;alors il existe >0tel quefest monotone sur[0;]:

p) Sifest continue et strictement positive et silimx!0+f= 0;il existe >0tel quefest croissante sur]0;]:

q) Sif: [0;+1[!Rest continue en0;et sif(0) = 1;alors il existe >0tel quefest positive sur[0;]: r) Si8x2Rf(x+ 1)> f(x);alorsfest strictement croissante. s) Toute fonction strictement croissante et positive surRtend vers+1en+1: t) Toute fonction continue sur[0;+1[est majorée ou minorée. u) Toute fonction lipschitzienne est dérivable.

v) Sif:]a;b]!Rest lipschitzienne sur tout intervalle[a+;b]où >0;alorsfest lipschitzienne sur]a;b].

w) Toute fonction qui s"écrit comme produit de deux fonctions lipschitziennes est lipschitzienne. x) Toute fonction dérivable et bornée est lipschitzienne. y) Sifetg:R!Rsont des applications bornées telles quegf;alors on a :sup(fg) = supfsupg: z) Si la restriction def:R!Rà[0;1[est continue, et si8x2Rf(x+ 1) =f(x);alorsfest continue surR: Corrigé: Les seuls énoncés vrais sont m) et q). Contre-exemples: a)21=n, b)un=n1, c)un= lnn, d)un= lnn, e)un=netvn=n+ 1, f)un=n1et v n=n2, g)un=n, h)un=nsinpair et0sinimpair,vn=nsinimpair et0sinpair, i)un= 1 +n1, j) u n= 0sinpair etsinimpair, k)un=n+ (1)n, l)un= (1)n, n)f(0) = 0et8x >0f(x) = sin(1x ), o) f(x) =xsin(1x ), p)f(x) =x(2 + sin(1x )), r)f(x) =x+ 2sinx, s)f(x) =x1+x= 111+x, t)f(x) =xsinx, u) f(x) =jxj, v)f(x) =pxasur]a;b], w)f(x) =x2=xx, x)f(x) = sin(1x )n"est pas lipschitzienne surR+, y) f(x) = 1 + sinxetg(x) =1sinx. On asup(fg) = 4etsupfsupg= 20 = 2, z)f(x) = frac(x).

Preuve dem) : On suppose que(un)n2Nn"est pas majorée. On construit par récurrence une suite strictement

croissante('(n))n2Nd"entiers naturels, telle que8n2N'(n)n. Il existeptel queup0, et on pose'(0) =p.

Soitn2N. Supposons construit'(n). Comme la suite(uk)k2Nn"est pas majorée, il en est de même de la suite

tronquée(uk)k>'(n), donc il existe un entierp'(n)tel queupn+ 1, et on pose'(n+ 1) =p. On construit

ainsi une suite('(n))n2N, et la suite extraite(u'(n))n2Nconvient.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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