[PDF] TD no 3 — Limites et continuité

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Licence MIASHS - 2014/2015 Analyse 1 (MI001AX)

TD n o3 - Limites et continuitéExercice 1 Déterminer les limites suivantes, lorsqu"elles existent : a) limx→+∞x+ sin2xx

2b) limx→+∞x

2+ 2x⎷x+ 1x

2, c) limx→0+x

2+⎷x

x d) limx→1x-1x

2-3x+ 2

e) limx→0x

2+ 2|x|x

f) limx→-∞x

2+ 2|x|x

Exercice 2

Déterminer les limites suivantes, lorsqu"elles existent : a) limx→+∞xcos(ex)x

2+ 1b) limx→+∞ex-sinx

c) limx→+∞x?1x d) limx→0sin(xlnx)x

Exercice 3

Chercher des exemples de fonctionsfetg, qui tendent toutes les deux vers0en0, et telles que :

1.limx→0f(x)g(x)= 0.

2.limx→0f(x)g(x)= +∞.

3.limx→0f(x)g(x)=-∞.

4.limx→0f(x)g(x)=?, où?est un réel non nul.

5. f(x)g(x)n"a pas de limite quandxtend vers0.

Exercice 4

Soitf:R→Rla fonction définie par

f(x) =? ?xsix <1 x

8⎷xsix >4

1. Tracer l"allure du graphe def.

2. La fonctionfest-elle continue? Justifier.

Exercice 5

Les fonctions suivantes sont-elles continues surR?

1.f(x) =x?x?

2.g(x) =?x?sin(πx)

1

Exercice 6

1. La fonction?:R?→Rdéfinie par

?(x) = sin?1x sinx est-elle prolongeable par continuité en0?

2. La fonctionψ:R\ {-1,1} →Rdéfinie par

ψ(x) =11-x-21-x2

est-elle prolongeable par continuité surRtout entier?

Exercice 7

Soitf:R→Rune fonction. On suppose qu"il existex0?Rtel que la fonctionf(x)-xsoit bornée sur [x0,+∞[. Déterminer la limite lim x→+∞f(x)x

Exercice 8

Les limites ci-dessous existent-elles? Si oui, déterminer leur valeur. a) limx→0⎷1 +x-1x b) limx→0⎷1 +x+x2-1x

Exercice 9

Les affirmations suivantes sont-elles vraies? Si oui, les démontrer. Sinon, donner un contre-exemple.

1. Sif:R+→Rest décroissante etf(0) = 1, alors

lim x→+∞f(x) = 0. pour toutx?= 0, etf(0) = 1, alors lim x→+∞f(x) = 0. pour toutx?= 0, etf(0) = 1, alors lim x→+∞f(x) = 0.

4. Si on af(x)< g(x)< h(x)pour toutx, et si ces trois fonctions tendent respectivement vers?,??

et???(enx0ou en l"infini), alors on a en l"infini), alorsgtend vers une limite??vérifiant

Exercice 10

Soitf:D→Rune fonction, et soitx0?D. On suppose quefadmet une limite finie enx0. Montrer quefest bornée dans un voisinage dex0. (Rappel de vocabulaire : unvoisinagedex0est une partie deRcontenant un intervalle ouvert contenantx0. L"exemple le plus standard est un intervalle ouvert centré enx0.)

Exercice 11

On considère la fonctionχ:R→Rdéfinie par

χ(x) =?1six?Q

0sinon

1. Montrer queχest discontinue en tout pointx0irrationnel. (Indication : on a montré dans la feuille

n o1 que tout intervalle ouvert non vide deRcontient une infinité de nombres rationnels.)

2. La fonctionχest-elle également discontinue en tout point rationnel?

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