[PDF] [PDF] Série dexercices : Limites et continuités - Moutamadrisma

2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Corrigé de l'exercice 1 On a : ( )( )( )0 001 1 1 11 11lim lim limtantan 1 1x xxx xxxxx x® ®®+ - + ++ -+= =+ -1-( )01 1 1limtan21 1tan 1 1xxxx xx®= ´ =+ ++ + Donc ( ) ( )0lim 0xf x f®= Par suite la fonction f est continue en 0 Corrigé de l'exercice 2 On a ( )21243x xf x xx+ -= = +- pour tout 3x¹ Donc ( )23 3 312lim lim lim 4 73x x xx xf x xx® ® ®+ -= = + =- D'où ( ) ( )3lim 3xf x f®= Par suite la fonction f est continue en 3 Corrigé de l'exercice 3 On a ( )( )( )2 2 12 57 3 2f+= =- On a : ( )2 22 22 1lim lim 57 3x xx xxf xx< <® ®+= =- Et ( )( )( )2 2 2 222 2 2 22 36lim lim lim lim 3 52 2x x x xx x x xx xx xf xxx x> > > >® ® ® ®- ++ -= = = + =- - Puisque ( ) ( ) ( )2 22 2lim lim 2x xx xf x f x f> <® ®= =alors f est continue en 2

2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité · On a 20 022 2 2lim lim 41 cos 11 cos2x xxxxx® ®= = =-- et la fonction " "est continue en 4 Donc 202lim 4 21 cosxxx®= =- Corrigé de l'exercice 6 ( )31f x x x= + - 1) Montrons que l'équation ( )0f x=admet une solution unique asur ℝ On a : fest continue sur ℝ ( car fest un polynôme ) ( ) ( )23 1 0x f x x f¢" Î = + >⇒ℝest strictement croissante sur ℝ ( )0fÎℝ ( car ( )] [( )( ) ( )] [, lim , lim ,x xf f f x f x®-¥ ®+¥ = -¥ +¥ = = -¥ +¥ = ℝℝ) Donc l'équation ( )0f x=admet une solution unique asur ℝ 2) On a fest continue sur [ ]0,1 et ( )( )( ) ( )0 10 1 01 1ff ff= -⇒´ <= Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires : 0 1a< < 3) Etudions le signe de ( )f xsur ℝ 1er cas : si xa£ Alors ( ) ( )f x fa£ ( car fest croissante sur ℝ) Donc ( )0f x£ ( car ( )0fa=) 2ème cas : si xa³ Alors ( ) ( )f x fa³ ( car fest croissante sur ℝ) Donc ( )0f x³ ( car ( )0fa=)

2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Corrigé de l'exercice 12 On a :312 0x x+ - = On pose 6x t= , l'équation devient 6 6312 0t t+ - =Û 3 212 0t t+ - = Û( )( )22 3 6 0t t t- + + = Û( )22 0 3 6 0 15 0t ou t t- = + + = D = - < 2tÛ = Donc 62 64x= =. D'où { }64S=