[PDF] Chapitre 3 : Développements limités

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Chapitre 3 : Développements limités

Table des matières

1 Développement limité 2

1.1 Définition et existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 DL des fonctions usuelles en0à l"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 Opérations sur les développements limités 6

2.1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Applications des développements limités 11

3.1 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2 Position d"une courbe par rapport à sa tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4 Développement asymptotique 12

A Exercices14

Dans ce chapitre, pour n"importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degrén

qui approche le mieux la fonction autour d"un point. Plus précisément, on cherchera à décomposer

toute fonction suffisamment régulièrefautour d"un pointadonné sous la forme : f(x)=Tn(x)+Rn(x); oùTnest un polynôme de degrénetRnest une fonction qui vérifielimx→aRn(x)=0.

Décomposer de cette façon une fonction autour d"un pointa, c"est faire un développement limité

(DL) de cette fonction au pointaà l"ordren. Le polynômeTnest appelé partie polynomiale du DLet la fonctionRnest appelée le reste du DL.

1 Notations :SoientI?Run intervalle ouvert1,f?I→Rune fonction etn?N?.

Si fest dérivable et si la fonctionf′?I→Rest aussi dérivable, on notef′′=(f′)′la dérivée

seconde def. Plus généralement, on note pour toutndansN f (0)=f; f(1)=f′; f(2)=f′′:::etf(n+1)=(f(n))′: -fest de classeC0surIsifest continue surI. On notef?C0(I). -fest de classeCnsurIsifestnfois dérivable surIet sif(n)est continue surI. On notef?Cn(I). -fest de classeC∞surIsi?n?N,f?Cn(I). On notef?C∞(I). On remarquera que pour toutn dansN,C∞(I)?Cn(I).

P ourtout ndansN?;on définit la factorielle denparn!=1×2×::::×(n-1)×navec la convention

0!=1.

Remarques

1) Pour toutndansN, on a les inclusionsCn+1(I)?Cn(I)etC∞(I)?Cn(I).

2) Pour toutndansN,n!=(n-1)!×n:

1 Développement limité

1.1 Définition et existence

SoientIun intervalle ouvert etf?I→Rune fonction. DéfinitionPoura?Ietn?N, on dit quefadmet un développement limité au pointaet à l"ordre

nsi il existe (n+1) réelsc0;c1;:::;cnet une fonction?I→Rvérifiantlimx→a(x)=0tels que pour tout

xdansI

Partie polynomiale du DL+(x-a)n(x)

Reste du DL:

PropositionSoientIun intervalle ouvert eta?I. Sifest de classeCnsurIalorsfadmet un DL au pointaà l"ordren, qui provient de la formule suivante dite de Taylor-Young : (x-a)2+:::+f(n)(a)n!(x-a)n+(x-a)n(x);

où la fonction?I→Rvérifielimx→a(x)=0.RemarqueLe DL d"une fonctionfau point0à l"ordrens"écrit de la façon suivante à l"aide de la

formule de Taylor-Young :

+:::+f(n)(0)xnn!+xn(x)oùlimx→0(x)=0.1. C"est à dire de la forme]-∞;a[,]a;b[ou]b;+∞[deR, aveca;b?R;a 2

Exemples

1. Soient a?Retn?N?fixés. Donner le DL au pointaet à l"ordrende la fonctionf?x↦ex. f(x)=..........?f(a)=....., f ′(x)=..........?f′(a)=....., f (n)(x)=..........?f(n)(a)=..... ?x?R; ex=f(a)+f′(a)(x-a)+f′′(a)2! (x-a)2+:::+f(n)(a)n!(x-a)n+(x-a)n(x) 2. Donner le DL de la f onctionf?x↦ln(1+x)au point0et à l"ordre4. f(x)=...................?f(0)=....., f f f +f(3)(0)x33! +f(4)(0)x44! +x4(x) Les premiers polynômes de Taylor du DL defen0sont : T

0(x)=:::::; T1(x)=::::::; T2(x)=::::::::::::::::::; T3(x)=::::::::::::::::::::::::::::; T4(x)=::::::::::::::::::::::::::::::

T

0;T1;T2;T3;T4sont appelés respectivement polynômes de Taylord"ordre 0, 1, 2, 3 et 4.

Notation: Le terme(x-a)n(x)où(x)??→x→a0est souvent notéoa?(x-a)n?(se prononce " petit

o

a» de(x-a)n). Cela signifie quex↦oa?(x-a)n?est une fonction qui vérifie la propriété :

lim x→ao a?(x-a)n?(x-a)n=0:

La notation " petitoa» simplifie beaucoup les écritures. Lorsquea=0, on écrit "o» plutôt que

"o0». Exemples1.P ourtout xdansR,x3peut s"écrirex3=o(x2). En effet,limx→0x 3x

2=limx→0x=0.

2. Le reste xn(x)du DL d"une fonctionfau point0à l"ordrenpeut aussi s"écrirexn(x)=o(xn). 3

1.2 Propriétés

PropositionSi une fonctionfadmet un DL en un point, alors ce DL est unique.Proposition . Sifest paire alors la partie polynomiale de son DL en0ne contient que des monômes de degrés pairs (c"est à dire :x0;x2;x4;:::;x2n;n?N). . Sifest impaire alors la partie polynomiale de son DL en0ne contient que des monômes de

degrés impairs (c"est à dire :x;x3;x5;:::x2n+1;n?N).ExempleOn considère la fonctionf?x↦cos(x)qui est de classeC∞(R). Elle admet donc un DL

en0à l"ordre5que nous allons déterminer. Pour toutxproche de0, on a : f(x)=...................?f(0)=....., f f f f +f(3)(0)x33! +f(4)(0)x44! +f(5)(0)x55! +x5(x) Commentaire : Commefest paire, la partie polynomiale de son DL ne contient que des monômes de degrés pairs comme annoncé dans la proposition. 4

1.3 DL des fonctions usuelles en0à l"ordren

e x=1+x+x22! +x33! +:::+xnn!+o(xn)=n k=0x kk!+o(xn): ln(1+x)=x-x22 +x33 +:::+(-1)n+1xnn +o(xn)=n k=1(-1)k+1xkk +o(xn): ??R;(1+x)=1+x+(-1)2! x2+:::+(-1):::(-n+1)n!xn+o(xn):

11+x=1-x+x2-x3+:::+(-1)nxn+o(xn)=n

k=0(-1)kxk+o(xn):

11-x=1+x+x2+x3+:::+xn+o(xn)=n

k=0xk+o(xn): sin(x)=x-x33! +x55! +:::+(-1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)=n k=0(-1)kx2k+1(2k+1)!+o(x2n+2): cos(x)=1-x22! +x44! +:::+(-1)nx2n(2n)!+o(x2n+1)=n k=0(-1)kx2k(2k)!+o(x2n+1): tan(x)=x+x33 +2x515 +o(x6): PropositionUne fonctionfadmet un DL au voisinage d"un pointasi et seulement si la fonctionx↦f(x+a)admet un DL au voisinage de0.Exemples

1. Donner le DL def?x↦exen1à l"ordren?N. La fonctionfest de classeC∞(R), elle admet

donc un DL en tout point deR, à tout ordren?N. De plus, pour toutxproche de1, on a e x=ex-1+1 =e1×ex-1 =e×ehen posanth=:::::::::::::::::::;sixest proche de1, alorshest proche de:::::: 5

2. Donner le DL deg?x↦sin(x)en2

. La fonctiongest de classeC∞(R), elle admet donc un DL en tout point deR, à n"importe quel ordren?N. De plus, pour toutxproche de2 , on a : sin(x)=sin?x-2 +2 ?=sin?x-2 ?cos?2 ?+sin?2 ?cos?x-2 =cos?x-2 ?=cos(h)en posanth=::::::::::::proche de ..... lorsquexproche de ....

2 Opérations sur les développements limités

2.1 Somme et produit

DéfinitionSoitn;p?N?avecnExemples

1. Tronquer le polynômeP?x↦x8+2x7-3x5+2x4-x3+x2+1à l"ordre5. On noteraT5le polynôme

obtenu.T5(x)=. ....................................................................................

2. Tronquer le polynôme(x+2x+4x2)(1+x+x3)à l"ordre2. On noteraT2(x)le polynôme obtenu.

On a doncT2(x)=::::::::::::::::::::::::::::::::::: PropositionOn considère deux fonctionsfetgqui admettent des DL en0à l"ordren:

Alors :

.f+gadmet un DL en0à l"ordrenqui est donné par : oùlimx→0(x)=0.6 .f×gadmet un DL en0à l"ordrenqui est donné par f(x)×g(x)=Tn(x)+xn(x); oùlimx→0(x)=0etTn(x)est le polynôme (c0+c1x+:::+cnxn)×(d0+d1x+:::+dnxn) tronqué à l"ordren.Exemples

1. Calculer le DL en 0 à l"ordre 2 def?x↦ex+ln(1+x). Les fonctionsx↦exetx↦ln(1+x)sont

de classeC∞au voisinage de0, on peut donc écrire leur DL en 0 à l"ordre2: e

2. Calculer le DL en0à l"ordre2deg?x↦cos(x)×⎷1+x. Les fonctionsx↦cos(x)etx↦?(1+x)

sont de classeC∞au voisinage de0, on peut donc écrire leur DL en 0 à l"ordre2: En notantC(x)etD(x)les parties polynomiales des DL defetgon a : En tronquant le produitC(x)×D(x)à l"ordre2, on obtient :g(x)=.................................

3. Calculer le DL en0à l"ordre3de la fonctionh?x↦⎷1+xln(1+x).. ............................

7

2.2 Composition

PropositionOn considère deux fonctionsfetgqui admettent des DL en0à l"ordren: f(x)=c0+c1x+:::+cnxn =C(x)+xn1(x)etg(x)=d0+d1x+:::+dnxn =D(x)+xn2(x); aveclimx→01(x)=limx→02(x)=0: Sig(0)=0(c"est à dired0=0) alors la fonctionf○gadmet un DL en0à l"ordrendont la partie

polynomiale est le polynôme tronqué à l"ordrende la compositionC(D(x)).RemarqueDe façon plus générale, sigadmet un DL en0à l"ordrenet sifadmet un DL eng(0)

à l"ordrenalorsf○gadmet un DL en0à l"ordren. Il est obtenu en remplaçant le DL degdans celui defet en ne gardant que les termes de degrés inférieurs ou égaux àn. ExempleCalculer le DL en 0 à l"ordre 2 de la fonctionh?x↦cos(ln(1+x)). On pose ici f?u↦cos(u)etg?x↦ln(1+x).On a bien

etg(0)=:::::::::::::::::::::::=::::,f○gadmet donc un DL en0à l"ordre2. On écrit le DL en0à l"ordre 2

defetg: donc les parties polynômiales du DL en0à l"ordre 2 defetgsont respectivement : f(u)=cos(u)

Le polynôme tronqué à l"ordre2deC(D(x))est donné parT2(x)=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::et

finalement le DL dehen0à l"ordre 2 est donné parh(x)=::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

2.3 Quotient

On considère deux fonctionsfetgqui admettent des DL en0à l"ordren:

Pour calculer le DL du quotient

fg nous allons utiliser le DL de

11+u=1-u+u2-u3+::::+(-1)nun+o(un)

et la formule pour la composition de DL. On a 3 cas possibles : 8 Cas 1 :Sid0=1, on poseu=d1x+::::+dnxn+xn2(x)et le quotient s"écritfg =f×11+u. Cas 2 :Sid0≠0etd0≠1, alors on se ramène au cas précédent en écrivant

1g(x)=1d

0×11+d1d

0x+:::+dnd

0xn+xn2(x)d

0: Cas 3 :Sid0=0alors on factorise parxk(pour un certaink) afin de se ramener à l"un des cas précédents. Exemples1. Calculer le DL deh?x↦tan(x)en0à l"ordre 3. On posef(x)=sin(x)etg(x)=cos(x).

On écrit le DL defetgen 0 à l"ordre3:

1cos(x)=1f

2g f(x)=sin(x)

11+uen posantu=:::::::::::::::::::::dont la partie polynomiale estD(x)=::::::::::::::::

En tronquantC(D(x))à l"ordre3on obtient le polynômeT3(x)donné parT3(x)=::::::::::::::::::::::::

En tronquantB(x)×T3(x)à l"ordre3on obtient le polynôme~T3(x)donné par

T3(x)=::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::et finalementh(x)=~T3(x)+o(x3)=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

9

2. Calculer le DL deh?x↦1+x2+xen0à l"ordre4. On pose pour toutxdansRf(x)=1+xet

g(x)=2+x.fetgsont des polynômes de degré ........ et on a :

12+x=12

×11+x2

=12 ×11+uen posantu=:::::::::lorsquexest proche de0,uest proche de ......... On remplace à présentudans la partie polynomiale par ........ et le resteo(u4)paro(::::::): comme on veut un DL à l"ordre ....... on ne garde que les termes de degrés⩽::::::

Finalement

3. Calculer le DL deh?x↦sin(x)sh(x)en 0 à l"ordre 3. On a

Commed0=::::::::etc1;d1≠0on va faire un DL desin(x)etsh(x)à l"ordre3+1=4. En effet, Le pre- mier terme du DL desh(x)est de degré1, on a donc factorisé le dénominateur parx1. Comme on vise un DL d"ordre3, on fait un DL d"ordre3+1car on sait que l"on va diviser parxet perdre un ordre.

=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::en posantu=:::::::::::::::::::::::

10 1

3 Applications des développements limités

3.1 Calcul de limites

On cherche à calculerlimx→af(x). Sifadmet un DL enaà l"ordren, alors f(x)=c0+c1(x-a)+:::+cn(x-a)n+(x-a)n(x) et donc lim =c0: ExempleCalculerlimx→0arctan(x)-xsin(x)-x. On a x→0:::::::::::::::::::

3.2 Position d"une courbe par rapport à sa tangente

PropositionSoitf?I→Rune fonction admettant un DL en un pointa?I f(x)=c0+c1(x-a)+ck(x-a)k+(x-a)k(x);

oùkest le plus petit entier⩾2tel que le coefficientcksoit non nul. Alors une équation de la

tangente à la courbe def(notéeCf) enaest y=c0+c1(x-a) et la position deCfpar rapport à la tangente pourxproche deaest donnée par le signe de f(x)-y:

Si ck(x-a)k>0alorsCfest au dessus de sa tangente.

Si ck(x-a)k<0alorsCfest en dessous de sa tangente. Si le signe de ck(x-a)kchange lorsque l"on passe dexa, alors la tangente traverseCfau point d"abscissea. On dit queaest un point d"inflexion.11 ExempleOn considèref?x↦x4-2x3+1. Déterminer l"équation de la tangente defau point d"abscisse 12 et donner la position de la courbe defpar rapport à sa tangente. On a f

′(x)=:::::::::::::::::::::::::::::; f′′(x)=:::::::::::::::::::::::::::::;doncf′′(12

)=:::::::::::::::::::etk=:::::: On en déduit le DL defen1?2par la formule de Taylor-Young :

La tangente en

12 a donc pour équationy=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.

La position du graphe defpar rapport àyest donnée par le signe de ..........................................

doncCfest ................................................... dey.

4 Développement asymptotique

DéfinitionSoitfune fonction définie sur un intervalleI=]x0;+∞[. On dit quefadmet un DL en +∞à l"ordrens"il existen+1réelsc0;c1;:::;cnaveccn≠0et une fonction?I→Rtels que f(x)=c0+c1x +c2x

2+:::+cnx

n+1x n(1x oùlimx→+∞(1x )=0. ExempleOn considère la fonctionf?x↦ln?2+1x ?. Admet-elle un DL en+∞? On remarque que f(x)=ln(2)+ln?1+12x? =ln(2)+ln(1+u)en posantu=:::::::::quand x est proche de:::::::::alors u est proche de:::::::::

Le DL en+∞d"une fonction nous permet d"avoir une idée du comportement de celle-ci au voisinage

de+∞. Lorsquex→+∞on af(x)=ln(2)+ln?1+12x?→ln(2):Comme le premier terme non nul aprèsln(2)dans le DL defest positif pourxgrand, on en déduit que la courbe représentativeCf defest au dessus de son asymptote horizontaley=ln(2). 12

Remarques

1. Un DL en +∞s"appelle aussi un développement asymptotique. 2. Dire qu"une f onctionx↦f(x)admet un DL en+∞à l"ordrenest équivalent à dire que la fonctionh↦f(1h )admet un DL en0+à l"ordren.

PropositionOn suppose que la fonctionx↦f(x)x

admet un DL en+∞(ou en-∞) donné par f(x)x =a0+a1x +akx k+1x k?1x oùkest le plus petit entier⩾2tel que le coefficient1x ksoit non nul. lim La droite d"équationy=a0x+a1est une asymptote à la courbeCfen+∞et en-∞. La position deCfpar rapport à son asymptote est donnée par le signe du termeakx k-1:13

A Exercices

RemarqueLes exercices et questions précédés du symbole♣sont facultatifs et ne seront pas prio-

ritairement corrigés en séance.

Exercice 1.

1. Donner l eDL en 0à l"ordre4des fonctions suivantes f

1?x↦cos(x); f2?x↦exp(-x)etf3?x↦ex-e-x2

2. Donner l eDL en 0à l"ordre3de la fonctionf4?x↦1⎷1+x. 3. Donner l eDL en 1à l"ordre2de la fonctionf5?x↦x3-9⎷x+14x+3. 4.

Donner le DL en 0à l"ordre3def6?x↦e2x-x2.

5.♣Donner le DL en0à l"ordre3def7?x↦3⎷1+x:

6.♣Donner le DL en0à l"ordre5def8?x↦ex+e-x2

Exercice 2.

1. Donner l eDL en 2à l"ordre 2 def?x↦⎷x: 2. Donner l eDL en -1à l"ordre7du polynômeP?x↦x4-1. Exercice 3.Donner le DL en0à l"ordre 4 def?x↦sin(2x)-tan(x)x Exercice 4.On considèref?]-∞;1[→Rdéfinie par : f(x)=arctan?11-x?:

Donner le DL en0à l"ordre3def.

Exercice 5.

1. Calcul erle DL en 0 à l"ordre 3 de f1?x↦?1+2cos(x). 2. Calculer le DL en 0 à l"ordre 3 de f2?x↦exp(?1+2cos(x)). 3. Calcul erle DL en 0 à l"ordre 3 de f3?x↦ln(1+sin(x)): 4. Calculer le DL en 0 à l"ordre 3 de f4?x↦ex1+x.

5.♣Calculer le DL en 0 à l"ordre 6 def5?x↦(ln(1+x2))2.

6.♣Calculer le DL en 0 à l"ordre 3 def6?x↦xln(1+x2)x

2+tan(2x3).

7.♣Calculer le DL en 0 à l"ordre 5 def7?x↦ln(1+x3)x

3:

8.♣Calculer le DL en 0 à l"ordre 4 def8?x↦cos(sin(x)):

Exercice 6.Pour chacune des fonctions suivantes :

f?x↦exp(x)-11+x; g?x↦xcos(2x)eth?x↦cos(x)sin(2x);

donner une équation de la tangente à la courbeCfen0puis déterminer la position de la tangente

par rapport àCfau voisinage de0. 14 Exercice 7.♣Pour chacune des fonctions suivantes : f?x↦exp(x)+ex-e-x2 etg?x↦ex-e-x2

donner une équation de la tangente à la courbeCfen0puis déterminer la position de la tangente

par rapport àCfau voisinage de0. Exercice 8.Donner la limite en0de la fonctionfdéfinie sur]0;∞[par : f(x)=ex-1-xx 2:

Exercice 9.Calculer les limites suivantes :

?limx→0sin(x)-xx

2?limx→02tan(x)-tan(2x)xsin2(x)

♣limx→0e x2-cosxx

2♣limx→01tan

2(x)-1x

2♣limx→01x

2-1xsin(x)

Exercice 10.

1. Calcule rla limite de ⎷x-1ln(x)lorsquextend vers1. 2.

Calcule rla limite de

ln(sin(x))(-2x)2lorsquextend vers2

Exercice 11.

1. Calcul erle DL en + ∞à l"ordre 5 def?x↦xx 2-1: 2. Calcule rle DL en + ∞à l"ordre 2 deg?x↦(1+1x )x.

3.♣Calculer le DL en +∞à l"ordre 6 deh?x↦?x

4x 2+1.

Exercice 12.Calculer les limites suivantes :

?limx→+∞⎷x

2+2x+2+x?limx→+∞x2?e1x

-e1x+1?♣limx→-∞⎷x

2+2x+2+x♣limx→+∞?x+1x

?x ♣limx→+∞x1x Exercice 13.Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation de leurs asymp- totes en±∞et préciser la position de leurs graphes par rapport à ces asymptotes. ?f?x↦?x

3+1x+1?g?x↦⎷x

2-2x+2?h?x↦?x

3x+2?k?x↦x2arctan?11+x?

♣'?x↦(x+2)1x ♣ ?x↦3⎷x

3-x2♣?x↦1x+x2+2arctan(x)

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