LIMITES DES FONCTIONS
Remarque : Lorsque x tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. 2) Limite infinie à l'infini. Intuitivement : On dit que la
Poursuite dactivité au-delà de la limite dâge *** FONCTIONNAIRES
La limite d'âge varie en fonction de la catégorie d'emploi occupé par l'agent active ou sédentaire. Un emploi de catégorie active dans la fonction publique
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)
LIMITES DES FONCTIONS. (Partie 1). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini.
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.
Limite dune fonction et dune suite - LEtudiant
Cette fiche présente des généralités sur les limites pour les suites et les fonctions. Les résultats présentés ici sont très importants mais aussi très
FONCTION EXPONENTIELLE
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0
Limites Suite Fonction
Limites de suites et de fonctions. I ] Suites. 1) Définition : Une suite réelle est une fonction de N dans R définie à partir d'un certain rang n0.
Chapitre 2 - Limites et continuité pour une fonction de plusieurs
L'adhérence de R2 {(0 0)} est R2. 2.2 Limite d'une fonction de plusieurs variables. On munit Rn d'une norme notée ·.
LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 2/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxMPartie 1 : Limite d'une fonction composée
Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composéeVidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k
Soit la fonction í µ définie sur !
;+∞! par : í µ 2- 1 Calculer la limite de la fonction í µ en +∞.Correction
On a : lim
1 =0, donc lim 2- 1 =2 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim 2- 1 2 En effet, si í µâ†’+∞, on a : í µ=2- 1 →2 et donc : lim 2.Partie 2 : Limites et comparaisons
1) Théorèmes de comparaison
Théorèmes : Soit í µ et í µ deux fonctions définies sur un intervalle í µ= - Si pour tout í µ de í µ, on a : 9 lim alors lim =+∞ (Fig.1) - Si pour tout í µ de í µ, on a 9 lim alors lim =-∞ (Fig.2) Remarque : On obtient des théorèmes analogues en -∞.Figure 1
Par abus de langage, on
pourrait dire que la fonction í µ pousse la fonction í µ vers +∞ pour des valeurs de í µ suffisamment grandes.Figure 2
2Démonstration dans le cas de la figure 1 :
lim =+∞ donc tout intervalle , í µ réel, contient toutes les valeurs de í µ(í µ) dès que í µ est suffisamment grand, soit : í µ Donc dès que í µ est suffisamment grand, on a : í µEt donc lim
2) Théorème d'encadrement
Théorème des gendarmes :
Soit í µ, í µ et â„Ž trois fonctions définies sur un intervalle í µ=Si pour tout í µ de í µ, on a : >
lim lim alors lim Remarque : On obtient un théorème analogue en -∞.Par abus de langage, on pourrait dire que les fonctions í µ et â„Ž (les gendarmes) se resserrent
autour de la fonction í µ pour des valeurs de í µ suffisamment grandes pour la faire tendre vers
la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich. Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrementVidéo https://youtu.be/OAtkpYMdu7Y
Vidéo https://youtu.be/Eo1jvPphja0
Calculer : 1) lim
í µ+siní µ 2) lim í µcosí µ 2 +1 3Correction
1) • lim
siní µ n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.Levons l'indétermination :
•lim í µ-1=+∞ donc d'après le théorème de comparaison : lim í µ+siní µ=+∞2) • lim
cosí µ n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.Levons l'indétermination :
Et donc :
+1 í µcos(í µ) +1 +1 +1 F G 1 lim 1 =0 donc lim 1Et donc : lim
1 1 =0, comme limite d'un quotient.On a donc :lim
2 +1 =lim 2 +1 =0 D'après le théorème des gendarmes, on a : lim í µcos(í µ) 2 +1 =0.Partie 3 : Cas de la fonction exponentielle
1) Limites aux bornes
Propriétés :
lim =+∞ et lim =0Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/DDqgEz1Id2s
- La suite est une suite géométrique de raison í µ>1. 4Donc, on a : lim
Si on prend un réel í µ quelconque (aussi grand que l'on veut), il existe un rang í µÃ partir
duquel tous les termes de la suite dépassent í µ, soit : í µ La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour toutDonc, pour tout í µ>í µ
, on a : í µAinsi, tout intervalle
contient toutes les valeurs de í µ , dès que í µ est suffisamment grand.Soit : lim
-lim =lim =lim , en posant í µ=-í µOr, lim
=+∞, donc : lim =0, comme limite d'un quotient.Soit : lim
=0. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentielsVidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc
Calculer les limites suivantes :
a) lim b) lim 1Correction
a) lim -3í µ=-∞ • Donc, comme limite d'une fonction composée : lim =0 En effet, si í µâ†’+∞, on a : í µ=-3í µâ†’-∞ et donc : lim =0. • lim • Comme limite d'une somme : lim b) lim 1 =0, donc : lim 1- 1 =1 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances
Exemple :
Observons la fonction exponentielle et la fonction puissance í µâŸ¼í µ dans différentes fenêtres graphiques. 5 Dans cette première fenêtre, la fonction puissance semble l'emporter devant la fonction exponentielle. Mais on constate que pour í µ suffisamment grand, la fonction exponentielle dépasse la fonction puissance í µâŸ¼í µ Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide.Propriétés (croissances comparées) :
a) lim =+∞ et pour tout entier í µ, lim b) lim =0 et pour tout entier í µ, lim =0Démonstration au programme du a :
Vidéo https://youtu.be/_re6fVWD4b0
- On pose í µOn a : í µ
6 On calcule la dérivée de la dérivée í µ -1.Et on note í µ
-1Pour tout í µ strictement positif, í µ
-1>0.On dresse alors le tableau de variations :
On en déduit que pour tout í µ strictement positif, í µ >0 et donc í µSoit encore :
Comme lim
2 =+∞, on en déduit par comparaison de limites que lim - Dans le cas général, on a :Fí µ
G =N O =N 1 OOr : lim
=+∞ car on a vu que limDonc : lim
=+∞, car í µ est positif.Et donc lim
Q R =+∞, comme produit de í µ limites infinies.Soit : lim
Méthode : Calculer une limite par croissance comparéeVidéo https://youtu.be/GoLYLTZFaz0
Calculer la limite suivante : lim
2Correction
Le dénominateur comprend une forme indéterminée de type "∞-∞".Levons l'indétermination :
1+ 1- 1+ 1- 7 Par croissance comparée : lim =+∞ et de même : lim 2Donc, comme inverse de limites : lim
=lim 2 =0, donc lim 1+ =lim 1- 2 =1. Donc, lim 1+ 1- 2 1 1 =1 et donc lim 2 =1.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limite fonction rationnelle en 0
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