Limites des Suites numériques I. Limite finie ou infinie dune suite
Dans le cas d'une limite infinie étant donnés une suite croissante ( un ) et un nombre réel A
Partie 1 : Limite dune suite
Approche intuitive d'une limite infinie : On dit que la suite (u ) admet pour limite +? si I est aussi grand que l'on veut pourvu.
LIMITE DUNE SUITE
Ce qu'une suite a d'intéressant pour nous dans ce chapitre ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement asymptotique
Terminale S - Limites de suites : Définitions
démontrer la convergence d'une suite. II) Limite infinie. 1) Exemple. Soit ( ) la suite définie pour tout entier par = ² + 3.
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Toute suite réelle monotone a une limite finie ou infinie. Théor`eme 1.4.8 (Suites adjacentes). Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que : –
Sur les probabilités darrivée des événements en nombre infini
1. 'I'heoreme general. 1. 1. La plus grande et la plus petite probabilit« limite. Nous considerons une suite infinie d'evenements generale- ment quelconques.
SUITES DIVERGENTES I Limite infinie II Suites divergentes
Définition 1 (Limite infinie d'une suite) Une telle suite n'est évidemment pas convergente : on dit qu'elle diverge vers +?. II Suites divergentes.
1 Limite dune suite géométrique
Si q > 1 alors la suite admet une limite infinie : lim n?+? un = +?. Propriété 3. Exemple 4. On injecte à une patient une dose de 2 cm3 de médicament.
Limite dune suite. Suites convergentes
Conséquence : Une suite divergente est une suite admettant une limite infinie ou n'admettant pas de limite. b). Si un= f (n) (pour tout entier naturel n)et si f
S10 - Suites 2Limite de suitesTaleES
1Limite d"une suite géométrique
L"objectif est de connaître le comportement d"une suite géométrique (un)n?Nlorsquenprend de grandes valeurs : on écrit limn→+∞un=?
le casq= 1 est trivial car 1 n= 1 pour toutnRemarque.Soitqun réel strictement positif.
Si 0< q <1 alors limn→+∞qn= 0.
Siq >1 alors limn→+∞qn= +∞.
Propriété 1.
Exemple 2
limn→+∞2n= +∞car 2>1 et limn→+∞0,3n= 0 car 0,3<1. une suite géométrique de premier termeu0et de raisonqa pour expression : u n=u0×qnRappel.
Soit (un)n?Nune suite géométrique positive.
Si 0< q <1, alors la suite admet 0 comme limite : limn→+∞un= 0. Siq >1, alors la suite admet une limite infinie : limn→+∞un= +∞.Propriété 3.
Exemple 4
On injecte à une patient une dose de 2 cm3de médicament. Chaque heure, le volume du médicament dans le sang diminue de 12%. Pour tout entiern, on noteunle volume du médicament, en cm3, présent dans le corps du patient.
(un)n?Nest une suite géométrique de raisonq= 1-12100= 0,88.
0,88<1, donc, la dose de médicament va diminuer jusqu"à devenir nulle.
Sn=u0×1-qn+11-q.
Rappel.Soit (un)n?Nune suite géométrique de premier termeu0>0 de raison q?= 1. On noteSnla somme desn+ 1 termes de la suite.Si 0< q <1, alors limn→+∞Sn=u0
1-q.Siq >1 alors limn→+∞Sn= +∞.
Propriété 5.
Il faudra 2000 ans pour
comprendre ce paradoxeRemarque.
Le paradoxe d"Achille :un paradoxe de Zénon d"Elée met en scène le Grec Achille pour sa rapidité. Imaginons qu"Achille ait à parcourir 100 m à la vitesse uniforme de 10 m/s. Il lui faut d"abord franchir la moitié de cette distance, puis la moitié de la distance restante, puis la moitié suivante, et ainsi de suite. Ce processus peut être poursuivi indéfiniment, puisque la longueur restant à parcourir, bien que de plus en plus petite, peut toujours être divisée en deux parties égales. Donc, concluait Zénon, puisque Achille doit franchir un nombre infini d"intervalles finis, il n"atteindra jamais son but. N.Daval - mathematiques.daval.free.fr 1/2 Lycée Georges BrassensS10 - Suites 2Limite de suitesTaleES
2Algorithmes de calcul
Un algorithme est une suite finie d"instructions données dans un certain ordre permettant de résoudre un problème. Ce mot vient du nom du mathématicien perse Muhammad ibn Musa al-Khuwarizmi (8 èsiècle après J.C.), surnommé le pere de l"algèbre. Étant donné une suite géométrique de raisonq?[0,1], on souhaite mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel la suite est inférieure à un réeladonné.Exemple 6
On reprend l"exercice 4, on souhaite connaître la " demi-vie» du médicament, c"est à dire le moment où le médicament sera absorbé à 50%.On rappelle que pour toutnpositif,un= 2×0,88n.
on peut également utiliser la table de la calculatrice en mode "suite» :Calculatrice.
Variables{
Initialisation{
Traitement{
Sortie{
AlgorithmeSeuil pour une suite géométrique
Variable
n:un nombre entier naturel u:un nombre réelDébut
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 2
TantQueu est supérieur à 1Faire
Affecter à n la valeur n+1
Affecter à u la valeur 2×0,88n
FinTantQue
Affichern
FinEn langage de programmation, on a par exemple :
Calculatrice TI
Algobox
Python
n=0 u=2 whileu>1: n=n+1 u=2* pow(0.88,n) print(n) L"algorithme nous donne un seuil de 6, c"est à dire qu"à partir de 6 heures après l"injection du médicament, il en restera moins de la moitié dans le corps du patient. N.Daval - mathematiques.daval.free.fr 2/2 Lycée Georges Brassensquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limite logarithme népérien en 0
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