LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DE SUITES. I. Limite d'une suite géométrique. 1) Suite (qn).
Terminale S - Etude dune limite de suite
I) Limites de suite usuelle. 1) Suites de référence de limites finies. ? . ? +? Exemple 1 : Déterminer la limite de la suite =.
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
Ce qui veut dire que si une suite ( ) converge alors sa limite est solution de l'équation (?) = ?. Mais attention: Trouver la ou les solutions de l'
LES SUITES (Partie 2)
LES SUITES (Partie 2). I. Limites et comparaison. 1) Théorèmes de comparaison. Théorème 1 : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ?.
Limites Suite Fonction
Limites de suites et de fonctions. I ] Suites. 1) Définition : Une suite réelle est une fonction de N dans R définie à partir d'un certain rang n0.
Partie 1 : Limite dune suite
Elle n'admet donc pas de limite finie ni infinie. Elle est donc divergente. 3) Limites des suites usuelles. Propriétés : - lim. I?.
LIMITE DUNE SUITE
Théorème (Limites de suites extraites) Soient (un)n? une suite réelle et ? ? . (i) Si lim n?+? un = ? alors pour toute fonction ? : ?
Limite dune suite. Suites convergentes
On nomme suite divergente toute suite non convergente. b) Interprétation graphique sur un exemple. 1.3. Proposition. Si une suite admet une limite alors celle-
Terminale S - Etude de limites de suites monotones
Ce théorème affirme la convergence mais il ne nous permet pas de connaitre précisément sa limite ?. ? Pour une suite croissante si M est un majorant de la
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Proposition 1.2.2. Si une suite converge sa limite est unique. Démonstration. Soit (un) une suite convergeant vers deux limites l et l . Soit ?
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
LIMITE D"UNE SUITE
1 UN PEU DE VOCABULAIRE
Définition(Suite réelle)On appellesuite(réelle) toute fonctionude?dans?. Pour toutn??, on préfère noterun
le réelu(n), et(un)n??ou(un)n?0la suiteu.On travaillera seulement avec des suites définies sur tout?, mais on pourrait bien sûr travailler avec des suites définies
sur?n0,+∞?avecn0??. Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite(un)n??: soit comme une fonction de?dans?, c"est-à-dire de manière plane avec?en abscisse et?en ordonnée,
soit comme un ensemble de valeurs le long d"un axe. nu n 012 u 1u 2 u 3u4u5u6u7u8u9u10u11
u 12Définition(Vocabulaire usuel des suites réelles)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??est :
majoréesi l"ensembleun|n??est une partie majorée de?, i.e. si :?M??,?n??,un?M.Un telMest appeléUNmajorantde(un)n??. On dit alors que(un)n??estmajorée par Mou queM majore(un)n??.
positive(resp.strictement positive) si pout toutn??:un?0 (resp.un>0). croissante(resp.strictement croissante) si pour toutn??:un?un+1(resp.unOn dit enfin que(un)n??est :
bornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :?K?0,?n??,|un|?K.monotone(resp.strictement monotone) si elle est (resp. strictement) croissante ou (resp. strictement) décrois-
sante. Pour montrer qu"une suite(un)n??est monotone, deux méthodes courantes : étudier le signe deun+1-un,
si(un)n??estSTRICTEMENT POSITIVE, étudier la position deun+1 unpar rapport à 1. Cette méthode est intéressantesurtout lorsqueunest défini par des produits et des quotients et qu"on peut espérer des simplifications.
?Attention !Une suite majorée ne possèdeJAMAIS UN SEUL MAJORANT, une suite majorée par 2 l"est aussi par 3. Par
ailleurs : Les majorants d"une suite sont par définition des constantes. Une majoration deun par un réelQUI DÉPEND DEnne montre pas que la suite(un)n??est majorée.Ce qu"une suite a d"intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement
asymptotique, i.e. à l"infini. Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire
que la suite est " presque » majorée par 1. On dit qu"elle est majorée par 1à partir d"un certain rang.
Définition(Suite de propositions vraie à partir d"un certain rang)Soit?= (?n)n??une suite de propositions.
On dit que?(ou?npar abus de langage) estvraie à partir d"un certain rangsi :?N??,?n?N,?n.On peut définir une suite principalement de deux façons soitexplicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne
veut pas dire qu"il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par
exemple, peut être définie aussi bien explicitement :un=qnu0que par récurrence :un+1=qun. 1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Suites définies explicitement :Définir une suite(un)n??explicitement, c"est la définir à l"aide d"une certaine fonction
fpar une relationun=f(n). Il n"est alors pas difficile de calculeru1000, on calcule directementf(1000).
De nombreuses propriétés def monotonie, signe, caractère majoré/minoré/borné se transmettent alors telles
quelles à(un)n??, qui n"est après tout que la restriction defà?. fest bornée...... donc(un)n??est bornée. fest croissante... ... donc(un)n??est croissante.Suites récurrentesun+1=f(un):On peut définir une suite(un)n??par récurrence par la donnée de son premier
termeu0et d"une relationun+1=f(un)oùfest une fonction fixée. Une telle définition présente un énorme inconvé-
nient, on est obligé pour calculeru1000de calculer les uns après les autresu1,...,u999,u1000. ?Attention !Pour une suite récurrente u n+1=f(un):fest croissante=?(un)n??est croissante. fest décroissante=? (un)n??est décroissante. y=x u0u1u2u3... fest croissanteMAIS(un)n??décroissante. y=x u0u1u2u3u4 fest décroissanteMAIS(un)n??n"est même pas monotone.2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?
2.1 DÉFINITION
Définition(Limite d"une suite)Soient(un)n??une suite réelle et???.Définition générale :On dit que(un)n??admet?pour limitesi tout voisinage de?contient tous lesunà partir
d"un certain rang, i.e. si :?V?? ??(?),?N??,?n?N,un?V?. Cas particulier d"une limite finie :Si???, on dit que(un)n??admet?pour limitesi : ?? >0,?N??,?n??,n?N=? |un-?|< ?, ou bien de manière plus concise, si :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?. Cas particulier de la limite+∞:On dit que(un)n??admet+∞pour limitesi : ?A>0,?N??,?n??,n?N=?un>A, ou bien de manière plus concise, si :?A>0,?N??,?n?N,un>A. Cas particulier de la limite-∞:On dit que(un)n??admet-∞pour limitesi : ?A<0,?N??,?n??,n?N=?unChristophe Bertault Mathématiques en MPSIOn peut montrer que les inégalités strictes :|un-?|< ?,un>Aetun inégalités larges :|un-?|??,un?Aetun?A, cela n"affecte pas la notion de limite. J"utiliserai généralement Obscures au premier abord, ces définitions satisfont en réalité parfaitement l"intuition que nous avons des limites. Trois voisinagesV1,V2etV3ne suffisent pas à forcer(un)n??à tendre vers?. Il est essentiel que la définition de la Les premiers termes de la suite(un)n??ne comptent pas quand on s"intéresse à sa limite, raison pourlaquelle la DémonstrationSoient?,????. On veut montrer, sous l"hypothèse que(un)n??admet?et??pour limites, que ?=??. Supposons par l"absurde??=??. Il existe alors un voisinageV?de?et un voisinageV??de??pour lesquels ?∩V??=∅. Or, par hypothèse,un?V?à partir d"un certain rangNetun?V??à partir d"un certain rangN?. Cette preuve illustre une idée importante que nous retrouverons souvent. Si une suite de propositions?1est vraie à partir d"un rangN1, une suite de propositions?2vraie à partir d"un rangN2... et enfin une suite de propositions?kvraie à partir d"un rangNk,les suites depropositions?1,...,?ksontalorsTOUTESvraies en mêmetemps àpartir durang maxN1,...,Nk. Définition(Convergence/divergence)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??estconvergenteou qu"elle DémonstrationSoit(un)n??une suite convergente, disons de limite?. Pour?=1, la définition de la limite affirme que l"inégalité|un-?|<1 est vraie à partir d"un certain rangN. Ainsi pour toutn?N, d"après l"inégalité Une suite non bornée n"admet pas forcément+∞ou-∞pour limite. Par exemple, la suite(-1)nn La manipulation des définitions de la limite n"est pas trop difficile si on se conforme aux recommandations qui suivent. commence sans réfléchir par " Soit? >0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?, on essaie de sans réfléchir par " SoitA>0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquelun>A, on essaie deMINORERunEN joreTEND TOUJOURS VERS0.On arrête de majorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché. noreTEND TOUJOURS VERS+∞.On arrête de minorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché. Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles,?,????etλ??. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites indétermination, i.e. une impossibilité de conclure en toute généralité, qui nécessite donc un traitement au cas par cas. tuant une opération(+∞)-(+∞)ou 0×(+∞), on peut tomber a priori surN"IMPORTE QUEL RÉSULTAT. On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞(n+?) = +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(n+?)-n=?. On peut obtenir±∞: limn→+∞2n= +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(2n-n) = +∞. Somme de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??, Or par hypothèse,|un-?|2à partir d"un certain rangNet|vn-??|2à partir d"un certain rangN?, Somme d"une limite finie et d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn= +∞. Soit Somme de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>0 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout Produit de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??, d"après l"inégalité triangulaire :??unvn-?????=??(un-?)vn+?(vn-??)???|un-?|.|vn|+|?|.|vn-??|. Produit?×(+∞)avec????+:On suppose que limn→+∞un=????+et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par Produit de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>1 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout Inverse d"une limite finie non nulle :On suppose que limn→+∞un=??=0. Ainsi,un?=0 à partir d"un certain Inverse d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞. Ainsiun?=0 à partir d"un certain rang Inverse d"une limite nulle de suite strictement positive :On suppose que limn→+∞un=0 avecun>0 à Le résultat suivant est momentanément admis car il requiertla notion de limite d"une fonction de?dans? que vous Théorème(Composition à gauche par une fonction)SoientIun intervalle,f:I-→?une fonction,???adhérent ?et(un)n??une suite à valeurs dansI. Si limn→+∞un=?et limx→?f(x) =L, alors limn→+∞f(un) =L.Tous lesun
à partir deN1
??V2 ?2 Tous lesun
à partir deN2
??V3 ?3 Tous lesun
à partir deN3
Pour tout??
?, la relation limn→+∞un=?est souvent notée :un-----→n→+∞?. Tous lesun
à partir den0
V?? Tous lesun
à partir den0
FOLIE!
Limite
finieLimite ±∞Pas de
limite Convergence
Divergence?Attention !Converger, cen"estpasavoir unelimitemais avoir unelimite FINIE. Diverger, ce n"est pas avoir±∞pour limite, mais éventuellementNE PAS AVOIR DE LIMITE.
Théorème(Convergence et caractère borné)Toute suite convergente est bornée. PosonsK=max
|u0|,|u1|,...,|uN-1|,|?|+1 . Le réelKest alors plus grand que|u0|,...,|uN-1|, mais aussi que |un|pour toutn?N. Finalement|un|?KpourTOUTn??, donc(un)n??est bornée. ?Attention ! La réciproque est fausse, la suite(-1)n
n??est bornée sans être convergente. Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX
RÈGLES:
La majoration obtenue doitTENDRE VERS0QUANDnTEND VERS+∞. Sans cela, nous ne pourrons pas trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?quand?est trop petit. La majoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la majoration|un-?|?1 npeut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=!1?! +1. Dans le cas où?= +∞, on s"adapte. Pour montrer que :?A>0,?N??,?n?N,un>A, on commence RESPECTANT DEUX
RÈGLES:
La minoration obtenue doitTENDRE VERS+∞QUANDnTEND VERS+∞. La minoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la minorationun?n2peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=? A+1. Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.
DémonstrationNous devons montrer que :?? >0,?N??,?n?N,???nsinnn2+2??? Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn
n2+2??? =n|sinn|n2+2?nn2+2?nn2=1n. On majore enSIMPLIFIANTet en
vérifiant que ce par quoi on ma- PosonsN=!1?!
+1. À partir deN, l"inégalité1n< ?est vraie, donc l"inégalité???nsinnn2+2??? < ?aussi. Exemplelimn→+∞
n2+(-1)nn DémonstrationNous devons montrer que :?A>0,?N??,?n?N,n2+(-1)nn>A. SoitA>0. Pour toutn??, minorons :n2+(-1)nn?n2-n=n(n-1)?(n-1)2. On minore enSIMPLIFIANTet en
vérifiant que ce par quoi on mi- 2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
PRODUIT
limn→+∞(unvn)lim n→+∞vnlim n→+∞un +∞+∞? >0 ou+∞ +∞-∞? <0 ou-∞ -∞? >0 ou+∞ +∞? <0 ou-∞??? 0+∞
ou-∞ MULTIPLICATION
PAR UN RÉEL
limn→+∞(λun)lim n→+∞unλ >0λ=0λ <0 0peu importe
INVERSE
limn→+∞1unlim n→+∞un 1???=0
0+∞
ou-∞ +∞0u n>0 à partir d"un
certain rang 0u n<0 à partir d"un
certain rang??? 0sinon
Mais finalement, c"est quoi uneforme indéterminée? C"est une formeÀ déterminer. Le symbole???signifie qu"en effec- On peut ne pas obtenir de limite : lim
n→+∞n+(-1)n= +∞et limn→+∞n= +∞, maisn+(-1)n-n= (-1)nn"a pas de limite. Cas de la forme indéterminée0×(+∞): On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞? n=0 et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞! ?n×n! On peut obtenir±∞: limn→+∞1 n=0 et limn→+∞n2= +∞, mais limn→+∞! 1n×n2!
On peut ne pas obtenir de limite : lim
n→+∞(-1)n n=0 et limn→+∞n= +∞, mais (-1)n n×n= (-1)nn"a pas de limite. DémonstrationNous ne démontrerons pas tous les résultats des tableaux précédents. Ici,SIMPLIFIER, c"est faire ap-
paraître les quantités|un-?| et|vn-??|de l"hypothèse.On majore enSIMPLIFIANTet en vérifiant que ce par quoi on ma- joreTEND TOUJOURS VERS0. 2+?2=?.
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
2Kà partir
d"un certain rangNet|vn-??| 2|?|+1à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:
unvn-??????|un-?|.|vn|+|?|.|vn-??| 2K×K+|?|×?2|?|+1??2+?2=?.
2à partir d"un certain rangN, doncun> ?-?2=?2>0, etvn>2A?>0 à partir d"un
certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:unvn>? 2×2A?=A.
2=|?|2d"après l"inégalité triangulaire,
donc pour tout toutn?maxN,N?:???1 un-1???? ?2|?|2|un-?|. Mais comme|un-?|<|?|22?à partir d"un certain rangN??, pour toutn?maxN,N?,N??:???1 un-1???? N. Soit? >0. Par hypothèse,un>1
?à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:???1 un??? =1un< ?. Aà partir d"un certain rangN?, donc pour tout
n?maxN,N?:1 un=1|un|>A. àI,L?
ExemplePour toutx??:ex=limn→+∞
1+xn n.Résultat à connaître! DémonstrationOn peut supposerx?=0.
Pour toutn???:
1+x n n=enln 1+x n . Or lim t→0ln(1+t)t=ln?(1) =1, donc limn→+∞ln 1+x n x n=1 par composition, i.e. limquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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