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Variables aléatoires à densité

Table des matières

1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Généralisation de la notion d"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.1 Indépendance de deux variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5 Généralisation des propriétés de l"espérance et de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Variables aléatoires à densité 7

2.1 Définition des variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2 Densité d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.3 Fonctions d"une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.4 Maximum et minimum de deux variables aléatoires à densité indépendantes . . . . . .

12

2.2 Espérance d"une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.2 Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3 Moments d"une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4 Variance d"une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 Lois à densité usuelles17

3.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1.1 Loi uniforme sur[a,b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3.1.2 Loi uniforme sur[0,1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.1.3 Transformation de variables aléatoires uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2.1 Loi exponentielle de paramètreλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3.2.2 Transformation de variables aléatoires exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3.1 Loi normale (ou de Laplace-Gauss)N?μ,σ2?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.3.2 Loi normale centrée réduiteN(0,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.3.3 Transformation de variables aléatoires normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
1

Dans ce chapitre, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur le même espace probabilisé

(Ω,A,P).

1 Généralités sur les variables aléatoires réelles

1.1 Définitions

Exemple 1.

On demande à un individu de donner aléatoirement un nombre entre[0,1]. On noteXla

valeur indiqué. A prioriX?[0,1]. Il existe ainsi une infinité non dénombrable de valeurs possibles pourX.Définition 1.1 :Variable aléatoire réelleOn appelle variable aléatoire réelledéfinie sur(Ω,A)toute application

X: Ω→R

ω?→X(ω)

telle que L"ensemble des valeurs prises parXc"est à direX(Ω)est appelé l"univers image.

Remarque 1.2 :Variable aléatoire discrèteSiX(Ω)est de plus dénombrable,Xest une variable aléatoire discrète : finie siX(Ω)fini, infinie sinon.Exemple 2.

Il y a plusieurs exemples de variables aléatoires réelles non discrètes (que l"on dira continues) :

•La variable aléatoireXégale à la taille d"une personne dans une ville donnée ou dans un pays donné,

est une variable aléatoire.

La variable aléatoireXégale à la durée de fonctionnement d"une ampoule électrique exprimée en

heures, est une variable aléatoire.Proposition 1.3 :Événements associés à une variable aléatoireSoitXune variable aléatoire réelle, pour tout intervalleIdeR

[X?I] ={ω?Ω|X(ω)?I} ? A.

En particulier,

•[X=x] ={ω?Ω|X(ω) =x}avecx?R.Exemple 3.

SoitΩest l"ensemble des habitants en France. On définitXla variable aléatoire égale à la

taille d"une personne en France (encm), l"ensemble suivant correspond à l"événement "les personnes entre

150cmet200cm" :

2

1.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire

Définition 1.4 :Fonction de répartition d"une variable aléatoireSoitXune variable aléatoire, on appellefonction de répartitiondeXla fonction réelle définie surRpar :

•FXest une fonction croissante, •limx→-∞FX(x) = 0etlimx→+∞FX(x) = 1, •FXest continue à droite en tout point deR:?x?R,limt→xt>xF X(t) =FX(x).Remarque 1.7 :Fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète

Dans le cas d"une variable aléatoireXdiscrète, la fonction de répartitionFXest une fonction en escalier

donc discontinue.Exemple 4.PourX ?→ B(p), sa fonction de répartitionFXest donnée par F

X(x) =?

??0,six <0,

1-p,six?[0,1[,

1,six≥1..Propriété 1.8 :Probabilité et fonction de répartitionSoitXune variable aléatoire réelle.

F

Xest continue enx?R?P(X=x) = 0.3

1.3 Loi d"une variable aléatoire

Définition 1.10 :Loi d"une variable aléatoireSoitXune variable aléatoire réelle. On appelleloi deXla donnée de toutes les probabilitésP(X?A)où

Aest une réunion au plus dénombrable d"intervalles deR.Remarque 1.11 :Loi d"une variable aléatoire discrètePour déterminer la loi d"une variable aléatoire discrète, on s"intéresse uniquement à

P(X=x)pour toutx?X(Ω).

Pour une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur réelle, il ne s"agira plus de calculer une probabilité

d"apparition d"une valeur donnée mais plutôt d"un intervalle.Proposition 1.12 :Caractérisation de la loi d"une variable aléatoire réelleSoientXetYdeux variables aléatoires réelles.

XetYont même loi de probabilité?XetYont même fonction de répartition.

On dira alors que la fonction de répartition caractérise la loi d"une variable aléatoire réelle.1.4 Généralisation de la notion d"indépendance

1.4.1 Indépendance de deux variables aléatoires réellesRemarque 1.13 :Rappel : indépendance de deux variables aléatoires discrètesDeux variables aléatoires discrètesXetYsont indépendanteslorsque pour toutx?X(Ω)ety?Y(Ω),

P([X=x]∩[Y=y]) =P(X=x)P(Y=y).Définition 1.14 :Indépendance de deux variables aléatoires réellesDeux variables aléatoires réellesXetYsont indépendanteslorsque pour tous intervalles réelsIetJ,

P([X?I]∩[Y?J]) =P(X?I)P(Y?J).Proposition 1.15 :Indépendance de deux variables aléatoires réellesSoientXetYdeux variables aléatoires réelles

Soient deux fonctionsfetgdéfinies surR, si les variables aléatoires réellesXetYsont indépendantes

alorsf(X)etg(Y)sont deux variables aléatoires indépendantes.4

1.4.2 Indépendance mutuelle

Remarque 1.17 :Rappel : indépendance mutuelle denvariables aléatoires discrètesLes variables aléatoires discrètesX1X2,...,Xnsont mutuellement indépendanteslorsque :

?(x1,x2,...,xn)?X1(Ω)×X2(Ω)× ··· ×Xn(Ω),P? n? i=1[Xi=xi]? =n?

i=1P(Xi=xi).Définition 1.18 :Indépendance mutuelle denvariables aléatoiresLes variables aléatoires réellesX1X2,...,Xnsontmutuellement indépendanteslorsque pour tous

intervalles réelsI1,I2, ...,In, on a : P n? k=1[Xk?Ik]? =n?

k=1P(Xk?Ik).Proposition 1.19 :Indépendance mutuelle denvariables aléatoiresSoientX1X2,...,Xndes variables aléatoires réelles

X

1,X2,...,Xnmutuellement indépendantes? ?x?R,P?

n? =n?

On dit qu"une suite de variables aléatoires(Xk)k?N?estune suite de variables aléatoires mutuellementindépendantes

si, pour toute partieIfinie deN?, les variablesXk(k?I) sont mutuellement indépendantes.Proposition 1.21 :Lemme des coalitions

Soient les variables aléatoiresX1X2,...,Xnsont mutuellement indépendantes, alors toute variable

aléatoire, fonction depd"entre elles (p < n), est indépendante de toute variable aléatoire fonction des

n-pautres.1.5 Généralisation des propriétés de l"espérance et de la variance

On admet que les propriétés vues pour l"espérance et la variance des variables aléatoires discrètes se

généralisent aux variables aléatoires réelles quelconques.

1.5.1 EspérancePropriété 1.22 :Linéarité de l"espéranceSi les variables aléatoiresXetYadmettent une espérance, alorsX+Yadmet une espérance, et on a :

E(X+Y) =E(X) +E(Y).5

Propriété 1.23 :Généralisation : linéarité de l"espéranceSi les variables aléatoiresX1X2,...,Xnont chacune une espérance, alors toute combinaison linéaire de

ces variables aléatoires admet également une espérance, et on a : ?(a1,...,an)?Rn, E? n? k=1a kXk? =n? k=1a kE(Xk).Propriété 1.24 :Croissance de l"espérance SoientXetYdeux variables aléatoires telles queX(Ω) = [0,1]etY(Ω) = [1,2], alors on a

Si deux variables aléatoires indépendantesXetYont chacune une espérance, alorsXYa une espérance

et on a : E(XY) =E(X)E(Y).Propriété 1.26 :Généralisation : espérance et indépendance

Si les variables aléatoiresX1X2,...,Xnont chacune une espérance et sont mutuellement indépendantes,

alors leur produit a une espérance et on a : E n? k=1X k? =n?

k=1E(Xk).Définition 1.27 :Variable aléatoire centréeToute variable aléatoire admettant une espérance nulle est dite centrée.

Définition 1.28 :Variable aléatoire centrée associée àX SoitXune variable aléatoire admettant une espéranceE(X), la variable aléatoireX-E(X)est une variable aléatoire centrée appelée la variable aléatoire centrée associée àX. 6

1.5.2 Variance

Propriété 1.29 :Indépendance et varianceSi les variables aléatoiresXetYadmettent une variance et sont indépendantes, alorsX+Yadmet

également une variance, et on a :

V(X+Y) =V(X) +V(Y).Propriété 1.30 :Généralisation : indépendance mutuelle et variance

Soient les variables aléatoiresX1X2,...,Xnmutuellement indépendantes et admettant une variance,

alors leur somme admet une variance, et on a : V n? k=1X k? =n? k=1V(Xk).Propriété 1.31 :Variance d"une transformation affine

SoitXune variable aléatoire possédant une variance eta,b?R, alorsaX+badmet une variance, et on a

V(aX+b) =a2V(X).Définition 1.32 :Variable aléatoire réduiteUne variable aléatoire est dite réduitesi sa variance vaut1.Définition 1.33 :Variable aléatoire centrée réduite associée àX

SoitXune variable aléatoire admettant une espérance et une variance non nulle, la variable aléatoireX?=X-E(X)σ(X)est une variable aléatoire centrée réduite, appelée la variable aléatoire centrée réduite associée àX.

2 Variables aléatoires à densité

2.1 Définition des variables aléatoires à densité

2.1.1 GénéralitésDéfinition 2.1 :Variable aléatoire à densitéOn dit qu"une variable aléatoire réelleXest à densitési sa fonction de répartitionFXest :

•continue surR, •de classeC1surR, sauf éventuellement en un nombre fini de points.7

Méthode 2.2 :Comment montrer qu"une variable aléatoire est à densité connaissant sa fonction de

répartition?

En revenant à la définition, une fonctionFest la fonction de répartition d"une variable aléatoire à densité

Xsi et seulement si

•Fest définie et croissante surR, •limx→-∞F(x) = 0etlimx→+∞F(x) = 1, •Fest continue surR, •Fest de classeC1sauf éventuellement en un nombre fini de points.Exemple 6. Montrer queF(x) =11 +e-xpourx?Rest une fonction de répartition de variable aléatoire à densité.

Exemple 7.

On rappelle que pourX ?→ B(p), la fonction de répartitionFXn"est pas continue en0et en1.

Xn"est donc pas une variable aléatoire à densité.Remarque 2.3 :Les variables aléatoires discrètes ne sont pas des variables aléatoires à densitéOn peut généraliser le résultat précédent :

Xest une variable aléatoire discrète?Xn"est pas une variable aléatoire à densité.

En effet, siXest une variable aléatoire discrète, alorsFXest une fonction en escalier donc discontinue.2.1.2 Densité d"une variable aléatoire

Définition 2.4 :Densité d"une variable aléatoire

SoitXune variable aléatoire à densité de fonction de répartitionFX. On appelledensité deXtoute

fonction réellefX:R→Rtelle que ? x?R,fX(x)≥0,

•fX(x) =F?X(x)en chaque pointxoùFXest de classeC1.Exemple 8.Considérons une variable aléatoireXdont la fonction de répartitionFest la suivante

F(x) =?

??0,six <0, x5 ,six?[0,5],

1,six >5.

8

Propriété 2.5 :Densité et fonction de répartitionSoitXune variable aléatoire admettant une densitéfX. On a alors

•On a?x?R, F x -∞fX(t)dt, donc -∞fX(t)dt= 1et?x?R,P(X=x) = 0, ? (a,b)?R2, a bfX(t)dt, b

afX(t)dt.Remarque 2.6 :Loi d"une variable aléatoire à densitéCes propriétés illustrent l"intérêt des variables aléatoires à densité : on obtient la valeur de la fonction de

répartitionFXet donc la loi deXsous forme d"un calcul d"intégrales (éventuellement impropres).Proposition 2.7 :Caractérisation de la densitéUne fonctionf:R→Rest une densité de probabilité si et seulement si,

•fest positive et continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points, -∞f(t)dtconverge et vaut1.Exemple 9.On définit une fonctionfsurRpar : f(x) =? ?????0,six <-1,

0,six≥1.

1. Montr erque fest une densité de probabilité et tracer son graphe. 2. Soit Xune variable aléatoire de densitéf. ExpliciterFX. 3.

Calculer P?

X >12 etP? .Proposition 2.8 :Dérivée de la fonction de répartition

SoitXune variable aléatoire admettant une densitéfX, alors la fonction de répartitionFXest de classe

C1en tout point oùfXest continue. En un tel point, on a : F ?X(x) =fX(x).9

Proposition 2.9 :Dérivabilité de la fonction de répartitionSoitXune variable aléatoire admettant une densitéfX, sifXest continue à droite (resp. à gauche) enx,

alorsFXest dérivable à droite (resp. à gauche) enx.Exemple 10.Les cas suivants correspondent aux lois à densité usuelles.

Il faut savoir prouver dans tous les cas quefest une densité de probabilité, ainsi que calculer l"expression de

la fonction de répartition associée (dans le cas des lois uniformes et exponentielles seulement ).Loi deXDensité usuelle deXFonction de répartition deXLoi uniformeU([a,b])f(x) =?

?1b-a,six?[a,b],

0,sinon.F(x) =?

???0,six < a, x-ab-a,six?[a,b],

1,six > b.(aveca < b)Loi exponentielleE(λ)f(x) =?0,six <0,

λe -λx,six≥0.F(x) =?0,six <0,

1-e-λx,six≥0.(avecλ >0)Loi normale centrée réduiteN(0,1)?(x) =1⎷2πe-x22

.Pas d"expression simple pour la fonction de répartitionΦdeX.Loi normaleN?μ,σ2??

μ,σ(x) =1σ

⎷2πe-(x-μ)22σ2.Pas d"expression simple pour la

fonction de répartitionΦμ,σdeX.(avecμ?Retσ >0)Nous reviendrons sur ces lois usuelles plus loin dans ce cours.

2.1.3 Fonctions d"une variable aléatoire à densitéProposition 2.10 :Transformation affine

SoientXune variable aléatoire admettant une densitéfXet(a,b)?R2aveca?= 0, alors la variable

aléatoireY=aX+best une variable aléatoire à densité. De plus, sa densité est donnée par

f

Y:x?→1|a|fX?x-ba

.Démonstration.DéterminonsFYla fonction de répartition deY.

On peut alors distinguer deux cas :

•Sia >0, alors :FY(x) =P? =FX?x-ba •Sia <0, alors :FY(x) =P?

X≥x-ba

= 1-P?

X = 1-FX?x-ba 10

Or la fonctionx?→x-baestC1surR. La fonctionFXétant la fonction de répartition d"une variable

aléatoire à densité, on sait queFXest continue surRetC1sauf en un nombre fini de points. Par composition,

on en déduit queFYest continue surRetC1sauf en un nombre fini de points. On en déduit queYest une

variable aléatoire à densité.

Déterminons une densité deY.

•Sia >0, alors :F?Y(x) =1a

F?X?x-ba

=1a fX?x-ba •Sia <0, alors :F?Y(x) =-1a

F?X?x-ba

=-1a fX?x-ba On en conclut qu"une densité deYest donnée par :x?→1|a|fX?x-ba .Remarque 2.11 :Attention!

SiXetYsont des variables aléatoires à densité,X+Yn"est pas forcément une variable aléatoire à

densité. En effet, on peut considérerXetY= 1-X, pourtantX+Y= 1n"est pas à densité car discrète.Proposition 2.12 :Transformation polynomiale

SoitXune variable aléatoire admettant une densitéfX, alors la variable aléatoireY=X2est une variable aléatoire à densité. De plus, sa densité est donnée par f

Y:x?→?

12 ⎷x

(fX(⎷x) +fX(-⎷x)),six >0.Démonstration.A faire en exercice.Proposition 2.13 :Transformation exponentielle

SoitXune variable aléatoire admettant une densitéfX, alors la variable aléatoireY=eXest une variable

aléatoire à densité. De plus, sa densité est donnée par f

Y:x?→?

1x fX(ln(x)),six >0.Démonstration.DéterminonsFYla fonction de répartition deY.

On obtient donc

F

X(ln(x)),six >0.

La fonctionFYest continue surR?+etR?-et

lim x→0+FY(x) = limx→0+FX(ln(x)) = limt→-∞FX(t) = 0.

On a bienlimx→0+FY(x) =limx→0-FY(x) = 0. On en déduit queFYest continue surRetC1surR?. On en déduit

queYest une variable aléatoire à densité. 11

Déterminons une densité deY.

?x >0, F?Y(x) =1x

F?X(ln(x)) =1x

fX(ln(x)). On en conclut qu"une densité deYest donnée par : x?→? 1x

fX(ln(x)),six >0.Remarque 2.14 :Attention!SiXest une variable aléatoire à densité et?une fonction continue quelconque?(X)n"est pas forcément

une variable aléatoire à densité.Exemple 11.On considère une variable aléatoire à densitéXet on définitY=X+|X|. On a alors

F

Y(x) =?

P(X=-|X|) =FX(0),six= 0,

?,six >0.

SiFX(0)>0,Yn"est ni une variable aléatoire à densité, ni une variable aléatoire discrète.

2.1.4 Maximum et minimum de deux variables aléatoires à densité indépendantesMéthode 2.15 :

Comment déterminer la loi deMax(X,Y), siXetYsont indépendantes et à densité?

SoientXetYdeux variables aléatoires à densité indépendantes. Pour trouver la loi deS=Max(X,Y),

on cherche la fonction de répartition deS, on a : On obtient alors la fonction de répartition deSavec

SoientX ?→ U([0,1])etY ?→ U([0,1])deux variables aléatoires indépendantes, déterminer

la loi deS= Max(X,Y).Remarque 2.16 :Maximum de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes

SoientX1X2,...,Xndes variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes, pour déterminer le

S= Max(X1,X2,...,Xn), on utilise la même méthode que précédemment : n? =n? k=1F

Xk(x).12

Méthode 2.17 :Comment déterminer la loi deMin(X,Y)siXetYsont indépendantes et à densité?

SoientXetYdeux variables aléatoires à densité indépendantes. Pour trouver la loi deI=Min(X,Y),

on cherche la fonction de répartition deI, on a : ?x?R,[I > x] = [X > x]∩[Y > x]. On obtient alors la fonction de répartition deIavec ?x?R, FI(x) = 1-P(I > x) = 1-(1-FX(x))(1-FY(x)).Exemple 13.

Soienta,b >0,X ?→ E(a)etY ?→ E(b)deux variables aléatoires indépendantes, déterminer

la loi deI= Min(X,Y).

2.2 Espérance d"une variable aléatoire à densité

2.2.1 DéfinitionsDéfinition 2.18 :Espérance

SoitXune variable aléatoire admettant une densitéfX. On dit queXadmet uneespéranceE(X)si l"intégrale? -∞tfX(t)dtest absolument convergente. Dans ce cas,

E(X) =?

-∞tfX(t)dt.Remarque 2.19 :Propriétés de l"espérance

Les propriétés classiques de l"espérance (vues dans la partie 1.5.1) sont également vérifiées pour l"espérance

des variables aléatoires à densité.Exemple 14.On reprend la fonctionf, densité de la variable aléatoireX, définie par :

f(x) =? ?????0,six <-1,

0,six≥1.

Montrer queXadmet une espérance.Remarque 2.20 :Important!Il existe des variables aléatoires à densité n"admettant pas d"espérance.

Exemple 15.On considère la fonctionf, densité de la variable aléatoireX, définie par : f(x) =1π(1 +x2)(loi de Cauchy). 13

Propriété 2.21 :Linéarité "faible" de l"espéranceSoientXune variable aléatoire à densité admettant une espérance et(a,b)?R2aveca?= 0, alors

Y=aX+badmet une espérance vérifiant

E(Y) =E(aX+b) =aE(X) +b.Définition 2.22 :Variable aléatoire centréeToute variable aléatoire à densité admettant une espérance nulle est dite centrée.

Définition 2.23 :Variable aléatoire centrée associée àX

SoitXune variable aléatoire à densité admettant une espéranceE(X), la variable aléatoireX-E(X)

est une variable aléatoire à densité centrée appelée la variable aléatoire centrée associée àX.

2.2.2 Théorème de transfert

Théorème 2.24 :Théorème de transfert

et?:]a,b[→Rcontinue sauf en un nombre finie de points. Alors ?(X)admet une espérance?? b a?(t)fX(t)dtconverge absolument.

On a alors :

E(?(X)) =?

b a?(t)fX(t)dt.Méthode 2.25 :Comment utiliser le théorème de transfert?

PourXet?vérifiant les hypothèses du théorème de transfert, on détermine l"espérance deY=?(X)

sans chercher sa loi mais seulement en montrant que l"intégrale ?b a? (t)fX(t)dtconverge absolument.

Dans ce cas, on a :

E(Y) =?

b a?(t)fX(t)dt.Exemple 16.SoitXune variable aléatoire de densitéfXdéfinie par : f

X(t) =?e-t,sit≥0,

0,sit <0.

La variable aléatoireY=11 +e-Xadmet-elle une espérance? Si oui, la calculer. 14

2.3 Moments d"une variable aléatoire à densité

Définition 2.26 :Moments d"une variable aléatoire à densitéSoientXune variable aléatoire à densitéfXetr?N?. On dit queXadmet un moment d"ordrersi?+∞

-∞trfX(t)dtconverge absolument. Dans ce cas, on appelle moment d"ordrerdeXle réel m r(X) =?

-∞trfX(t)dt.Proposition 2.27 :Moments et espérance d"une variable aléatoire à densité

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