Loi de probabilité continue
•Le moment d'ordre 2 de la loi uniforme sur [ab] est. E X2 = ?a b t2 1 b-a. dt = b3-a3. 3. 1 b-a. = a2+ab+b2. 3. • La variance de la loi uniforme sur
Les Lois de Probabilité Discrètes
Loi Uniforme. 2.1 Définition. 2.2 Espérance et Variance. 3. Loi de Bernouilli. 3.1 Définition. 3.2 Espérance et Variance. 4. Loi Binomiale. 4.1 Définition.
Démonstrations lois uniforme et exponentielle Loi uniforme
X suit la loi uniforme sur [a ;b]. Démonstration. Le principe. On applique les définitions vues dans le cours sur la densité de probabilité.
Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi
Les démonstrations sont détaillées dans le cours oral. 1On suppose que D = {1 à prouver que Yn est de loi uniforme sur A. Pour a ? A
Variables aléatoires à densité
2.4 Variance d'une variable aléatoire à densité . 3.2.1 Loi exponentielle de paramètre ? . ... Démonstration. Déterminons FY la fonction de répartition ...
1 Rappels sur la loi exponentielle
espérance : E[X]=1/?;. • variance : Var(X)=1/?2 ;. • simulation : si U suit la loi uniforme sur ]01]
Probabilités continues
Loi uniforme. Exercice. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [? ?]. Calculez l'espérance et la variance de X.
10 - Variables aléatoires Cours complet
variance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme de Bernoulli
TEMPS DATTENTE
Une loi à densité sur un intervalle I de ? est une loi uniforme si elle donner alors la loi de probabilité de X ainsi que son espérance et sa variance ...
COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES
Loi UNIFORME : U Espérance et variance : ... Une v.a. X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a b] si X est une v.a. continue de.
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La variance d'une variable aléatoire X de densité f est Var(X) = E X2 - E(X) La variance de la loi uniforme sur [ab] est E X2 - E(X)
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Donc U suit une loi uniforme sur [0 1] 5 On rappelle que dans cette feuille d'exercice pour tout réel x ? R [x] est la partie entière de x
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Démonstrations lois uniforme et exponentielle Loi uniforme Propriétés X suit la loi uniforme sur [a ;b] Démonstration Le principe
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× une v a r X suivant une loi uniforme sur [01] (définition à suivre) × et la v a r Y donnée par Y = 1 ? X Alors X + Y = 1 ce qui montre que X(?) = {1}
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– La variance d'une variable aléatoire de carré intégrable est toujours une quantité positive Elle n'est nulle que si la variable aléatoire suit une loi de
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Vidéo https://youtu be/r-8jxBaS7Ms 5) Espérance et variance Propriété : Soit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme ([ ; ])
Comment calculer la variance de la loi uniforme ?
Comment calculer la variance de la loi uniforme ? Pour calculer la variance d'une loi uniforme continue, nous devons remplacer sa densité de probabilité dans la formule pour la variance, à savoir V a r ( X ) = E [ X 2 ] ? E [ X ] 2 .Comment montrer qu'une variable suit une loi uniforme ?
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] lorsque sa densité de probabilité associée est constante sur [a ; b]. Cette constante est alors égale à . X est alors notée U[a ; b].Comment construire une variable aléatoire de loi n 0 1 ?
La courbe bleue représente la densité de la loi normale d'espérance et de variance et la courbe verte représente la densité de la loi normale centrée réduite. Complétez l'affirmation suivante. Soit une variable aléatoire de loi normale d'espérance et de variance .- On dit que deux variables aléatoires X et Y ont la même loi si elles ont la même fonction de répartition FX = FY . Remarque 1.2 Soit I un intervalle de R. L'événement {X ? x} représente l'ensemble des valeurs ? ? ? telles que X(?) soit inférieur à x, i.e.{X ? x} = {? ? ? : X(?) ? x}.
1. Variable aléatoire discrète.
Définition 1.1 : variable aléatoire discrète. Théorème 1.1 : image réciproque d"une partie de E. Théorème 1.2 : probabilité attachée à une variable aléatoire discrète. Définition 1.2 : loi de probabilité d"une variable aléatoire discrète. Théorème 1.3 : système complet induit par une variable aléatoire discrète.Théorème 1.4 : caractérisation d"une loi de variable aléatoire discrète à l"aide d"événements élémentaires.
Théorème 1.5 :
(admis) existence d"une probabilité pour (xn) et (pn) données.2. Fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète, lois classiques.
Définition 2.1 : fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète réelle.Définition 2.2 :
(hors programme) histogramme d"une variable aléatoire discrète réelle.Théorème 2.1 : propriétés d"une fonction de répartition d"une variable aléatoire réelle discrète.
exemples : fonctions de répartition et histogrammes des lois uniforme, de Bernoulli, binomiale.Définition 2.3 : loi géométrique.
Théorème 2.2 : loi géométrique Û variable aléatoire discrète sans mémoire.Définition 2.4 : loi de Poisson.
Théorème 2.3 : approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson.3. Espérance d"une variable aléatoire discrète.
Définition 3.1 : espérance d"une variable aléatoire discrète.Théorème 3.1 :
(admis) ordre des termes pour le calcul d"une espérance. Théorème 3.2 : espérance d"une variable aléatoire discrète à valeurs dans .Théorème 3.3 :
(admis) formule du transfert.Théorème 3.4 :
(admis) linéarité de l"espérance. Théorème 3.5 : premières propriétés de l"espérance.Théorème 3.6 : espérance d"une variable aléatoire suivant une loi géométrique G(p).
Théorème 3.7 : espérance d"une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P(l). Théorème 3.8 : espérance d"une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs. Rappel : espérance des lois uniforme, de Bernoulli et binomiale.Théorème 3.9 : inégalité de Markov.
4. Couple et famille de variables aléatoires, indépendance.
Théorème 4.1 et définition 4.1 : couple de variables aléatoires discrètes.Définition 4.2 : loi conjointe et lois marginales d"un couple de variables aléatoires discrètes.
Théorème 4.2 : lien entre loi conjointe et lois marginales d"un couple de variables aléatoires.
Définition 4.3 : lois conditionnelles.
Théorème 4.3 : lien entre loi conjointe, loi marginale et loi conditionnelle. Définition 4.4 : couple de variables aléatoires indépendantes.Théorème 4.4 :
(admis) indépendance et événements non élémentaires.Théorème 4.5 :
(admis) espérance d"un produit de variables aléatoires discrètes indépendantes. Théorème 4.6 : images de deux variables aléatoires discrètes indépendantes.Définition 4.5 : famille finie de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.
Définition 4.6 : suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.Théorème 4.7 :
(admis) existence d"un modèle pour des lois de probabilité données.Théorème 4.8 : somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson.
5. Variance et covariance.
Théorème 5.1 : lien entre espérance de X et de X 2. Définition 5.1 : variance d"une variable aléatoire discrète réelle. Théorème 5.2 : autre expression de la variance. Théorème 5.3 : propriétés élémentaires de la variance. Définition 5.2 : écart-type d"une variable aléatoire discrète réelle. Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 2 - Théorème 5.4 : variance d"une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs. Exemple : variance d"une variable aléatoire suivant une loi uniforme, de Bernoulli, binomiale. Théorème 5.5 : variance d"une variable aléatoire suivant une loi géométrique. Théorème 5.6 ; variance d"une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. Théorème 5.7 : inégalité de Bienaymé-Tchebytchev. Théorème 5.8 : inégalité de Cauchy-Schwarz.Théorème 5.9 et définition 5.3 : covariance d"un couple de variables aléatoires discrètes réelles.
Théorème 5.10 : covariance d"un couple de variable aléatoires discrètes réelles indépendantes.
Définition 5.4 et théorème 5.11 : coefficient de corrélation d"un couple de variables aléatoires discrètes
réelles.Théorème 5.12 : variance d"une somme finie de variables aléatoires discrètes réelles.
Théorème 5.13 : variance d"une somme de deux variables aléatoires discrètes réelles indépendantes.
Théorème 5.14 : loi faible des grands nombres.6. Fonctions génératrices des variables aléatoires à valeurs dans .
Définition 6.1 : fonction génératrice d"une variable aléatoire à valeurs dans . Théorème 6.1 : rayon de convergence et propriétés d"une fonction génératrice.Remarque : fonction génératrice d"une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs.
Théorème 6.2 : lien réciproque entre fonction génératrice et variable aléatoire. Théorème 6.3 : fonction génératrice d"une variable suivant une loi géométrique. Théorème 6.4 : fonction génératrice d"une variable suivante une loi de Poisson.Théorème 6.5 :
(admis) espérance de X et dérivabilité de GX en 1.Théorème 6.6 :
(admis) variance de X et dérivabilité seconde de GX en 1.Théorème 6.7 : fonction génératrice d"une somme de deux variables indépendantes à valeurs dans .
7. Annexe 1 : caractéristiques des lois classiques.
8. Annexe 2 :
(hors programme) familles sommables de réels. Définition 8.1 : famille sommable de réels positifs, somme d"une telle famille sommable.Théorème 8.1 : dénombrabilité des éléments non nuls d"une famille sommable de réels positifs.
Théorème 8.2 : lien entre famille sommable de réels positifs et série. Théorème 8.3 : opérations sur les familles sommables de réels positifs. Théorème 8.4 : sous-familles d"une famille sommable de réels positifs. Théorème 8.5 : sommation par paquets d"une famille sommable de réels positifs. Définition 8.2 : famille sommable de réels quelconques, somme d"une famille sommable. Théorème 8.6 : définition équivalente de la sommabilité d"une famille de réels. Théorème 8.7 : sommabilité et séries absolument convergentes, convergence commutative. Théorème 8.8 : sous-familles de familles de réels sommables.Théorème 8.9 : linéarité.
Théorème 8.10 : sommation par paquets d"une famille sommable de réels. Théorème 8.11 : théorème de Fubini pour les familles sommables de réels. Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 3 - Variables aléatoires. Chapitre 10 : cours complet.1. Variable aléatoire discrète.
Définition 1.1 : variable aléatoire discrète. Soient (W,A) un ensemble muni d"une tribu, et E un ensemble quelconque.On dit que X est une variable aléatoire discrète (ou v.a.d.) sur (W,A) (ou sur W) à valeurs dans E si et
seulement si :· X est une application de W dans E,
· l"ensemble des valeurs prises par X sur W (soit l"ensemble X(W)) est au plus dénombrable, · " x Î E, X-1({x}) Î A, autrement dit X-1({x}) est un évènement. Pour : x Î E, on notera (X = x) ou {X = x} l"évènement X-1({x}). Théorème 1.1 : image réciproque d"une partie de E.Soient (W,A) un ensemble muni d"une tribu et X une variable aléatoire discrète sur W à valeurs dans E.
Alors : " U Ì X(W), X-1(U) Î A, et donc X-1(U) est un évènement. On notera parfois : X-1(U) = {X Î U} = (X Î U).Démonstration :
Puisque X(W) est au plus dénombrable, U l"est aussi et on peut énumérer ses éléments :
U = {x
n, n Î }, où les xn sont deux à deux distincts (la démonstration s"adapte si U est fini).
Puis :
{ }U0nnxU, et : { } { }UU
01011)()(
nn nnxXxXUX.Comme : " x Î X(W), X
-1({x}) Î A, et puisque A est une tribu sur W, on en déduit que, comme réunion dénombrables d"éléments de A, X -1(U) est encore un élément de A. Théorème 1.2 : probabilité attachée à une variable aléatoire discrète.Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur W à valeurs dans un
ensemble E. Alors l"application PX de P(X(W)) dans [0,1] définie par : " A Î P(X(W)), PX(A) = P(X-1(A)), définit une probabilité sur (X(W),P(X(W))). En particulier, si : x Î X(W), on notera plus simplement P(X = x) la quantité :P(X = x) = PX(X-1({x})) = P({X = x}).
De même, si : A Ì X(W), on notera plus simplement P(X Î A) la quantité :P(X Î A) = PX(X-1(A)).
Démonstration :
Vérifions les différents points qui garantissent le résultat.· P
X est bien à valeurs dans [0,1].
· P
X(X(W)) = P(X-1(X(W))) = P(W) = 1.
· Soit (A
n) une suite de parties de X(W) deux à deux disjointes.Alors les ensembles {X
-1(An), n Î } sont deux à deux disjoints, donc la série ∑01))((
nnAXP est convergente et :011))(())((
nnNnnAXPAXPU.
Mais on a de plus :
Nnn NnnAXAX11)(, qu"on vérifie par double inclusion.Donc :
00111)())(()(
nnX nn Nnn NnnNnnXAPAXPAXPAXPAPUUU.
Définition 1.2 : loi de probabilité d"une variable aléatoire discrète.Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur W à valeurs dans E.
Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 4 -L"application définie au théorème 1.2 est appelée loi (ou de loi de probabilité) de la variable aléatoire X,
et on la note PX. Théorème 1.3 : système complet induit par une variable aléatoire discrète.Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur W à valeurs dans E.
Alors la famille des parties ({X = xk}, k Î ), où (xk) correspond à une énumération de X(W), forme un
système complet d"événements.Démonstration :
Il est clair que ces ensembles sont deux à deux disjoints (un élément w de W ne peut avoir deux images
distinctes par X), et que leur réunion est bien W puisque chaque élément w a une image X(w) qui se
retrouve dans l"énumération.Théorème 1.4 : caractérisation d"une loi de variable aléatoire discrète à l"aide d"événements
élémentaires.
Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur W à valeurs dans E.
Alors la loi de X est entièrement déterminée par la connaissance des P(X = xk), où (xk) correspond à une
énumération de X(W).
Démonstration :
Si on connaît la loi de X, on connaît évidemment les P(X = x k), k Î . Réciproquement si on connaît ces probabilités élémentaires, alors : " A Î P(X(W)), {}U KkkxAÎ=, où K est une partie de .
Cette réunion étant disjointe, on peut alors écrire : KkkKkkXxXPxXPAP)()()(U.
Donc on peut ainsi déterminer P
X(A) pour tout : A Î P(W).
Remarque : si : A Î P(E), on peut écrire : A = A" È A"", avec : A" Ì X(W), et : A"" Ì E \ X(W).
On peut alors écrire : P
X(A) = PX(A") + 0, et obtenir ainsi PX(A).
Théorème 1.5 : (admis) existence d"une probabilité pour (xn) et (pn) données.Soient (W,A) un ensemble muni d"une tribu et X une variable aléatoire discrète sur W à valeurs dans un
ensemble E.Soient par ailleurs (xn) les valeurs prises par X dans E, et (pn) une suite d"éléments de [0,1] telle que :
10=∑
=nn p. Alors il existe une probabilité sur (W,A) telle que : " n Î , nnpxXP==)(.Démonstration (hors programme) :
X(W) étant au plus dénombrable, on écrit : X(W) = {x0, ..., xn, ...}, et on choisit, pour tout : n Î , un
élément w
n dans W tel que : X(wn) = xn.Pour tout élément A de A, on note ensuite 1
A sa fonction indicatrice définie par :
" w Î W, 1Enfin, on définit : " A Î A,
0)(1.)(
nnAnpAPw, la somme étant finie si X(W) est fini.Alors P répond au problème, car :
· P est bien à valeurs dans [0,1] puisque les p n sont positifs et donc : " A Î A,11)(1.)(0
000==£=£∑∑∑
=nn nn nnAn pppAPw.11)(1.)(
000====W∑∑∑
W nn nn nnn pppPw.· Si (A
p) est une suite d"éléments de A deux à deux disjoints, on a : " w Î W, ∑0)(1)(1
0 pA A p p pww UEn effet, pour : w Î W,
- soit : $ p Î , w Î A p, et dans ce cas il n"y a qu"un seul indice p qui a cette propriété car la famille est formée d"ensembles disjoints. Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 5 -On a alors : 1)(1
0 =w U pp AD"autre part,
)(1wkA sont nuls sauf pour : k = p, et il vaut alors 1.Donc la série
³0)(1
pA pw converge et sa somme vaut 1, ce qui démontre l"égalité annoncée. p, et dans ce cas la série est nulle, de somme 1 d"une part, mais wn"appartient pas non plus à la réunion et l"autre terme est nul également d"où à nouveau l"égalité.
Pour : n Î , la famille
³³0,0)(1.
pnnAn ppw est alors sommable car : - " n Î , la famille³0)(1.
pnAn ppw est sommable de somme 0 ou pn, et : n pnAnppp££∑³0)(1.0w.
- la famille0 0)(1.
n pnAn ppw est sommable car la famille ∑³0nnpest elle-même sommable.
Le théorème de Fubini (th. 8.11) permet d"en déduire que la famille :0 00)(1.)(
p nnAn pp ppAPw, et : =U U000 00 00)(1.)(1.)(1.)(
0 pp nn An n pnAn n pnAn ppAPpppAP pppp www.Remarque :
Pratiquement toutes les démonstrations hors programme se réfèrent au paragraphe 8 (familles sommables).2. Fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète, lois classiques.
Définition 2.1 : fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète réelle. Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète réelle sur W. On appelle fonction de répartition de X la fonction FX définie sur par : " x Î , )()(xXPxFX£=.Remarque :
En fait, la connaissance de W est très souvent inutile.En pratique, on se contente souvent de la variable aléatoire X ou de sa loi de probabilité ou encore de sa
fonction de répartition F X.Un théorème (difficile) assure que si on se donne une (ou des) " bonne(s) » fonctions, on peut trouver
un univers probabilisé et une (ou des) variable(s) aléatoire(s) sur cet univers dont la (les) fonction(s) de
répartition est (sont) la (les) fonction(s) donnée(s) initialement. Définition 2.2 : (hors programme) histogramme d"une variable aléatoire discrète réelle. Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète réelle sur W. Soit (xn)nÎ une énumération ordonnée des valeurs de X (telle que (xn) est croissante).On appelle histogramme de X la représentation (en bâtons ou rectangles) de la suite ordonnée
(P(X = xn))nÎ.Théorème 2.1 : propriétés d"une fonction de répartition d"une variable aléatoire réelle discrète.
Soient (W,A,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète réelle sur W.Soit F la fonction de répartition de X.
Alors :
· F est croissante sur ,
· 1)(lim=+¥®xFx,
· 0)(lim=-¥®xFx.
Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 6 -Démonstration :
· Pour : x £ y, on a : (-¥,x] Ì (-¥,y], et P étant croissante (au sens de l"inclusion), on a :
)()()()(yFyXPxXPxF=£££=. · F étant croissante et minorée par 0, elle admet une limite en -¥.De plus, soit (x
n) une suite décroissante de réels tendant vers -¥.Alors la suite : A
n = (-¥,xn], est telle que : I =0nn A= AE, puisque (xn) tend vers -¥, et : An+1 Ì An.Donc : 0 = P(AE) =
)(lim)(lim)(lim)(nnnnnnNnnxFxXPAPAP +¥®+¥®+¥®Î=£==I. Par la caractérisation séquentielle des limites de fonctions, on en déduit que :0)(lim=-¥®xFx.
· La même démonstration, avec cette fois une suite (x n) qui tend vers +¥ et la même suite (An) montre que :1)(lim=+¥®xFx.
exemple 2.1 : variable aléatoire suivant une loi uniforme (tracé ci-dessous fait pour : n = 4).
La fonction de répartition suivant une loi uniforme U(n) sur {0,...,n} est donnée par : " x Î , · (x < 0) ⇒ (F(x) = 0), · " 0 £ k < n, (k £ x < k + 1) ⇒ (F(x) = 1 1 n k),· (n £ x) ⇒ (F(x) = 1).
exemple 2.2 : variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli (tracés ci-dessous faits pour : p = 0.7).
La fonction de répartition d"une variable suivant une loi de Bernoulli B(p) est donnée par : " x Î , · (x < 0) ⇒ (F(x) = 0),· (0 £ x < 1) ⇒ (F(x) = p),
· (1 £ x) ⇒ (F(x) = 1).
Fonction de répartition loi uniforme U(4) Histogramme Fonction de répartition loi de Bernoulli B(0.7) Histogramme Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 7 -exemple 2.3 : variable aléatoire suivant une loi binomiale (tracés ci-dessous fait pour : (n,p) = (20,0.5), et :
(n,p) = (30,0.8)). La fonction de répartition d"une variable suivant une loi binomiale B(n,p) est donnée par : " x Î , · (x < 0) ⇒ (F(x) = 0), · " 0 £ k < n, (k £ x < k + 1) ⇒ (F(x) = k iini ppin0)1.(.),
· (n £ x) ⇒ (F(x) = 1).
Définition 2.3 : loi géométrique.
Soit (W,A,P) un espace probabilisé.
Soit : p Î ]0,1[.
On dit qu"une variable aléatoire sur W suit la loi géométrique de paramètre p lorsque :· X(W) = *, et :
· " k Î *, 1)1.()(--==kppkXP.
Une telle loi est notée G(p) et on écrira : X ~ G(p).Remarques :
· La loi géométrique est la loi de la variable aléatoire qui modélise le premier Pile dans une suite infinie
de tirages à Pile ou Face indépendants et pour une pièce déséquilibrée (c"est-à-dire telle que obtenir Pile
a une probabilité p).En effet, obtenir un premier Pile au tirage k (pour : k ³ 1) correspond à avoir obtenu des Face aux
(k - 1) tirages précédents et un Pile au k ième, soit bien : ppkXPk.)1()(1--==.· Un événement quelconque n"a pas de probabilité attribuée par cette méthode (d"ailleurs quel est
précisément l"univers de l"expérience ?) et c"est seulement l"événement correspondant à une infinité de
Face successifs à qui il semble naturel d"attribuer la probabilité 0. · La loi géométrique est aussi appelée " loi du premier succès ». · La somme des probabilités des événements élémentaires vaut bien : Fonction de répartition loi binomiale B(20,0.5) Histogramme Fonction de répartition loi binomiale B(30,0.8) Histogramme Chapitre 10 : Variables aléatoires - Cours complet. - 8 -1)1(11.)1.()(
111=--=-==∑∑
ppppkXPkk kexemple 2.4 : variable aléatoire suivant une loi géométrique (tracé ci-dessous fait pour : p = 0.25).
La fonction de répartition d"une variable suivant une loi géométrique G(p) est donnée par :
" x Î , · (x < 1) ⇒ (F(x) = 0), · " n Î *, (n £ x < n + 1) ⇒ (F(x) = nn kkppp)1(1)1.(11--=-∑
Théorème 2.2 : loi géométrique Û variable aléatoire discrète sans mémoire. Soit X une variable aléatoire discrète réelle sur un espace probabilisé (W,A,P). Si X suit une loi géométrique, alors X est " sans mémoire » à savoir : " (k,l) Î *2, )()()(lXPlkXPkX>=+>>. Réciproquement, si X est à valeurs entières strictement positives, telle que :· " k Î *, P(X = k) > 0, et :
· " (k,l) Î *2, )()()(lXPlkXPkX>=+>>.
alors X suit une loi géométrique.Démonstration :
· Commençons par supposer que X soit la loi géométrique G(p). Alors : " k Î *, l"événement {X > k} est l"union disjointe de ({X = i}, i > k).Donc :
kk kiippppppkXP)1()1(11.)1.()1.()(11-=---=-=>∑
Puis : " (k,l) Î *
2, )()1()1()1( lXPppp kXPlkXP kXPkXlkXPlkXPl klk kX>=-=--=>+>=>>Ç+>=+> · Réciproquement, si X a les propriétés annoncées, notons : P(X = 1) = p.On a alors : " k Î *,
)1()()1( )())()1(()1()(>=>+>=>>Ç+>=+>>XPkXPkXP kXPkXkXPkXPkX. Or : pXPXPXP-==-=£-=>1)1(1)1(1)1(. Donc la suite (P(X > k)) est géométrique de raison (1 - p), et : " k Î *, kkpXPpkXP)1()1(.)1()(1-=>-=>-.Enfin : " k Î *,
X suit donc bien la loi géométrique G(p).
Remarque :
· La loi est dite alors " sans mémoire » car la connaissance du résultat des k premiers tirages ne modifie
pas les probabilités pour les suivants.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] variable statistique discrète
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