[PDF] Limites de fonctions - Lycée dAdultes





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LIMITES DES FONCTIONS

LIMITES DES FONCTIONS. I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini. Intuitivement : On dit que la fonction admet pour limite L en +? 



LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

Remarque : Lorsque x tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. La distance MN tend vers 0. 2) Limite infinie à l'infini.



Limites de fonctions - Lycée dAdultes

DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 octobre 2014 à 9:32. Limites de fonctions. Table des matières. 1 Limite finie ou infinie à l'infini. 2. 1.1 Limitefinieàl'infini .



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0



LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DES FONCTIONS. (Partie 1). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM.



Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

sinon est un prolongement par continuité de f. 4.2 Propriétés de la limite d'une fonction. Les propriétés des limites de suites se généralisent facilement au 



LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction composée. Méthode : Déterminer la limite 



livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

Ce tome débute par l'étude des nombres réels puis des suites. Les chapitres suivants sont consacrés aux fonctions : limite



FONCTION EXPONENTIELLE

Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple : 



Limites de fonctions

limite de somme produit

DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2014 à 9:32

Limites de fonctions

Table des matières

1 Limite finie ou infinie à l"infini2

1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Limite infinie en un point3

3 Limites des fonctions élémentaires4

4 Opérations sur les limites4

4.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Limite d"une fonction composée6

6 Théorèmes de comparaison8

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Limite finie ou infinie à l"infini

1.1 Limite finie à l"infini

Définition 1 :Dire qu"une fonctionf

a pour limite?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un in- tervalle]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf Remarque :On définit de façon analogue limx→-∞f(x) =?. Exemple :Les fonctions de référence :x?→1 x,x?→1xnetx?→1⎷xont des limites nulles en+∞et-∞pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l"axe des abscisses comme asymptote horizontale.

1.2 Limite infinie à l"infini

Définition 2 :Dire qu"une fonction

fa pour limite+∞en+∞, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O Remarque :Cela implique que la fonctionfn"est pas majorée •On définit de façon analogue limx→-∞f(x) = +∞. •Ainsi que : limx→+∞f(x) =-∞et limx→-∞f(x) =-∞ Exemple :Les fonctions de référence :x?→x,x?→xnetx?→⎷ xont pour limite +∞en+∞. La fonction de référence :x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en -∞sinest impair.

PAULMILAN2 TERMINALES

2. LIMITE INFINIE EN UN POINT

Une fonction peut tendre vers+∞en

+∞de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xet x?→⎷ x.

•x?→x2tend "rapidement" vers l"in-

fini. La concavité est tournée vers le haut.

•x?→xtend "moyennement" vers l"in-

fini. Pas de concavité.

•x?→⎷xtend "lentement" vers l"in-

fini. La concavité est tournée vers le bas

Trois façons de

tendre vers+∞ ⎷x x x2 O

2 Limite infinie en un point

Définition 3 :Dire qu"une fonction

fa pour limite+∞ena, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un inter- valle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞

La droiteΔd"équationx=aest dite

asymptote verticaleàCf a[]C fM O Remarque :on définit de façon analogue limx→af(x) =-∞

On peut aussi définir la limite à gauche

ou à droite dex=alorsque la limite en x=an"existe pas. On notera alors : limite à gauche : lim x→axaf(x)

Exemple :La fonctionx?→1

x2a pour limite+∞en 0. La fonctionx?→1 xn"admet pas de limite en 0, mais admetune limite à gauche (-∞)et à droite (+∞) de 0. 1 x2 1 xO limite

à droite

Limite

à gauche

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

3 Limites des fonctions élémentaires

Limites en l"infini

f(x)xn1 xn ⎷x1⎷x limx→+∞f(x)+∞0+∞0 limx→-∞f(x)+∞sinpair -∞sinimpair0non défininon défini

Limites en 0

f(x)1 xn

1⎷x

limx→0x>0f(x)+∞+∞ limx→0x<0f(x)+∞sinpair -∞sinimpairnon défini

4 Opérations sur les limites

4.1 Somme de fonctions

Sifa pour limite???+∞-∞+∞

Siga pour limite??+∞-∞+∞-∞-∞ alorsf+ga pour limite?+??+∞-∞+∞-∞F. Ind.

Exemples :

1) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =x+3+1

x lim x→+∞x+3= +∞ lim x→+∞1 x=0?????

Par somme

lim x→+∞f(x) = +∞

2) Limite en+∞et-∞de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x

lim x→+∞x2= +∞ lim x→+∞x= +∞???

Par somme

lim x→+∞f(x) = +∞ lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞x=-∞???

Par somme, on ne peut conclure

Forme indéterminée :+∞-∞

4.2 Produit de fonctions

Sifa pour limite???=00∞

Siga pour limite??∞∞∞

alorsf×ga pour limite?×??∞*F. ind.∞* *Appliquer la règle des signes

PAULMILAN4 TERMINALES

4. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Exemples :

1) Limite en-∞de la fonction précédente :f(x) =x2+x

Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2? 1+1 x?

On a alors avec le produit :

lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞1+1 x=1?????

Par produit

lim x→-∞f(x) = +∞

2) Limite en+∞de la fonction définie surR+par :f(x) =x-⎷

x On ne peut résoudre par la somme car c"est une forme indéterminée,on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =x-⎷ x=x?

1-1⎷x?

lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞1-1 ⎷x=1?????

Par produit

lim x→+∞f(x) = +∞

3) Limite à droite de 0 de la fonction définie surR?par :f(x) =1

xsinx lim x→0x>01 x= +∞ lim

Par produit, on ne peut conclure

Forme indéterminée0×∞

4.3 Quotient de fonctions

Sifa pour limite???=00?∞∞

Siga pour limite???=00(1)0∞??(1)∞

alorsfga pour limite ??∞*F. ind.0∞*F. ind. *Appliquer la règle des signes (1) doit avoir un signe constant

Exemples :

1) Limite en-2 de la fonction définie surR-{-2}par :f(x) =2x-1

x+2

On a le tableau de signes dex+2 :

x x+2 -∞-2+∞ 0+

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

limx→-22x-1=-5 lim x→-2x>-2x+2=0+ lim lim x→-2x>-2f(x) =-∞ lim x→-2x<-2f(x) = +∞ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=-2.

2) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+1

3x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+∞, nous avons une forme indéterminée :∞ ∞. Il faut donc changer la forme def(x). f(x) =2x+1

3x+2=x?

2+1quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11
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