LIMITES DES FONCTIONS
LIMITES DES FONCTIONS. I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini. Intuitivement : On dit que la fonction admet pour limite L en +?
LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)
Remarque : Lorsque x tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. La distance MN tend vers 0. 2) Limite infinie à l'infini.
Limites de fonctions - Lycée dAdultes
DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 octobre 2014 à 9:32. Limites de fonctions. Table des matières. 1 Limite finie ou infinie à l'infini. 2. 1.1 Limitefinieàl'infini .
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DES FONCTIONS. (Partie 1). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM.
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
sinon est un prolongement par continuité de f. 4.2 Propriétés de la limite d'une fonction. Les propriétés des limites de suites se généralisent facilement au
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction composée. Méthode : Déterminer la limite
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
Ce tome débute par l'étude des nombres réels puis des suites. Les chapitres suivants sont consacrés aux fonctions : limite
FONCTION EXPONENTIELLE
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
Limites de fonctions
limite de somme produit
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2014 à 9:32
Limites de fonctions
Table des matières
1 Limite finie ou infinie à l"infini2
1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Limite infinie en un point3
3 Limites des fonctions élémentaires4
4 Opérations sur les limites4
4.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Limite d"une fonction composée6
6 Théorèmes de comparaison8
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Limite finie ou infinie à l"infini
1.1 Limite finie à l"infini
Définition 1 :Dire qu"une fonctionf
a pour limite?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un in- tervalle]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf Remarque :On définit de façon analogue limx→-∞f(x) =?. Exemple :Les fonctions de référence :x?→1 x,x?→1xnetx?→1⎷xont des limites nulles en+∞et-∞pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l"axe des abscisses comme asymptote horizontale.1.2 Limite infinie à l"infini
Définition 2 :Dire qu"une fonction
fa pour limite+∞en+∞, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O Remarque :Cela implique que la fonctionfn"est pas majorée On définit de façon analogue limx→-∞f(x) = +∞. Ainsi que : limx→+∞f(x) =-∞et limx→-∞f(x) =-∞ Exemple :Les fonctions de référence :x?→x,x?→xnetx?→⎷ xont pour limite +∞en+∞. La fonction de référence :x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en -∞sinest impair.PAULMILAN2 TERMINALES
2. LIMITE INFINIE EN UN POINT
Une fonction peut tendre vers+∞en
+∞de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xet x?→⎷ x.x?→x2tend "rapidement" vers l"in-
fini. La concavité est tournée vers le haut.x?→xtend "moyennement" vers l"in-
fini. Pas de concavité.x?→⎷xtend "lentement" vers l"in-
fini. La concavité est tournée vers le basTrois façons de
tendre vers+∞ ⎷x x x2 O2 Limite infinie en un point
Définition 3 :Dire qu"une fonction
fa pour limite+∞ena, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un inter- valle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞La droiteΔd"équationx=aest dite
asymptote verticaleàCf a[]C fM O Remarque :on définit de façon analogue limx→af(x) =-∞On peut aussi définir la limite à gauche
ou à droite dex=alorsque la limite en x=an"existe pas. On notera alors : limite à gauche : lim x→axExemple :La fonctionx?→1
x2a pour limite+∞en 0. La fonctionx?→1 xn"admet pas de limite en 0, mais admetune limite à gauche (-∞)et à droite (+∞) de 0. 1 x2 1 xO limiteà droite
Limite
à gauche
PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Limites des fonctions élémentaires
Limites en l"infini
f(x)xn1 xn ⎷x1⎷x limx→+∞f(x)+∞0+∞0 limx→-∞f(x)+∞sinpair -∞sinimpair0non défininon définiLimites en 0
f(x)1 xn1⎷x
limx→0x>0f(x)+∞+∞ limx→0x<0f(x)+∞sinpair -∞sinimpairnon défini4 Opérations sur les limites
4.1 Somme de fonctions
Sifa pour limite???+∞-∞+∞
Siga pour limite??+∞-∞+∞-∞-∞ alorsf+ga pour limite?+??+∞-∞+∞-∞F. Ind.Exemples :
1) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =x+3+1
x lim x→+∞x+3= +∞ lim x→+∞1 x=0?????Par somme
lim x→+∞f(x) = +∞2) Limite en+∞et-∞de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x
lim x→+∞x2= +∞ lim x→+∞x= +∞???Par somme
lim x→+∞f(x) = +∞ lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞x=-∞???Par somme, on ne peut conclure
Forme indéterminée :+∞-∞
4.2 Produit de fonctions
Sifa pour limite???=00∞
Siga pour limite??∞∞∞
alorsf×ga pour limite?×??∞*F. ind.∞* *Appliquer la règle des signesPAULMILAN4 TERMINALES
4. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Exemples :
1) Limite en-∞de la fonction précédente :f(x) =x2+x
Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2? 1+1 x?On a alors avec le produit :
lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞1+1 x=1?????Par produit
lim x→-∞f(x) = +∞2) Limite en+∞de la fonction définie surR+par :f(x) =x-⎷
x On ne peut résoudre par la somme car c"est une forme indéterminée,on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =x-⎷ x=x?1-1⎷x?
lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞1-1 ⎷x=1?????Par produit
lim x→+∞f(x) = +∞3) Limite à droite de 0 de la fonction définie surR?par :f(x) =1
xsinx lim x→0x>01 x= +∞ limPar produit, on ne peut conclure
Forme indéterminée0×∞
4.3 Quotient de fonctions
Sifa pour limite???=00?∞∞
Siga pour limite???=00(1)0∞??(1)∞
alorsfga pour limite ??∞*F. ind.0∞*F. ind. *Appliquer la règle des signes (1) doit avoir un signe constantExemples :
1) Limite en-2 de la fonction définie surR-{-2}par :f(x) =2x-1
x+2On a le tableau de signes dex+2 :
x x+2 -∞-2+∞ 0+PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
limx→-22x-1=-5 lim x→-2x>-2x+2=0+ lim lim x→-2x>-2f(x) =-∞ lim x→-2x<-2f(x) = +∞ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=-2.2) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+1
3x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+∞, nous avons une forme indéterminée :∞ ∞. Il faut donc changer la forme def(x). f(x) =2x+13x+2=x?
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