Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
Loi uniforme. Loi de Bernoulli. Loi binomiale. Loi de Poisson. 3. Approximation en loi. Clément Rau. Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
C- Lois usuelles
C.1- Lois discrètes- Loi uniforme. Ex : E=« lancer d'un dé régulier » X suit une loi uniforme de probabilité 1/6 ... Fonction de répartition.
1 Lois discrètes
1 Lois discrètes 1.6 Loi Uniforme sur un ensemble de cardinal fini ... La densité et la fonction de répartition de la loi N(0 1) sont notées par :.
Informatique. Séance 5 : Simulations de variables aléatoires
illustrations Python du chapitre 5 pour tracer des fonctions de répartition. 1 Loi uniforme discrète. Écrire une fonction Python qui prend comme argument
Lois de probabilité usuelles (rappels) ? ? Université Paris
Lois de probabilité usuelles (rappels). Généralités. Fonction de répartition d'une loi discrète. Si X est une variable aléatoire telle que X(?) =.
TP 2 : Simulation de lois de probabilités - Introduction
14 janv. 2020 Lois discrètes. Loi uniforme discrète. Soit une variable aléatoire distribuées selon ... La fonction de répartition d'une loi uniforme sur.
La simulation probabiliste avec Excel
La fonction de répartition est calculée par la fonction LOI.NORMALE.STANDARD Loi. Formule discrète uniforme sur les valeurs entières de 1 à n.
Simulation
Simulation d'une loi discrète par rejet . de la fonction de répartition de la loi uniforme sur ]01[ (qui coïncide sur [0
Simulation de variables aléatoires
(3) Loi discrète uniforme sur {1 2
Variables aléatoires à densité
Il y a plusieurs exemples de variables aléatoires réelles non discrètes (que l'on la fonction de répartition associée (dans le cas des lois uniformes et ...
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Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est
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On reconnait la fonction de répartition d'une loi uniforme sur [0 1] Donc U suit une loi uniforme sur [0 1] 5 On rappelle que dans cette feuille d'exercice
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Donner la loi de X et représenter sa fonction de répartition 3 De façon générale on dit que U suit une loi uniforme sur l'ensemble {1 n} et on note
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Fonction de répartition Définition • On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par F(x) = P(X ? x) Hervé Hocquard Lois discr`etes
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Définition 1 La fonction de répartition (f d r ) de la variable aléatoire X sur La loi uniforme sur [a b] : on a ici deux réels a
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3 1 1 Fonction de répartition conjointe et marginales 69 Lois conjointes et lois marginales Cas discret
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Définition : Une variable aléatoire X obéit à une loi uniforme discrète si toutes ses valeurs 1 2 n sont équiprobables : P(X = k) =
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La fonction de répartition F de la loi uniforme sur [01] est donc nulle sur R? égale `a la fonction identité sur [01] et constante égale `a 1 sur [1+?[
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Montrer que pour tout x ? R Fn(x) tend vers la fonction de répartition de la loi uniforme sur [01] 4 Pour x ? R est-ce que fn(x) converge lorsque n tend
Comment trouver la fonction de répartition d'une loi ?
Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).Quels sont les lois discrètes ?
La loi uniforme discrète décrit un tirage aléatoire à n résultats possibles équiprobables : pile ou face, dé, roulette de casino, tirage d'une carte. La loi triangulaire discrète décrit la somme de deux uniformes indépendantes de même paramètre : résultat du jet de deux dés.Quand on utilise la loi uniforme discrète ?
La loi uniforme discrète
Elle suit une loi uniforme discrète lorsqu'il y a une probabilité égale que soit n'importe quelle valeur. Si tu lances un dé normal, tu ne peux obtenir qu'un nombre fini de valeurs et la probabilité d'obtenir n'importe quelle valeur est la même.- Une loi de probabilité est dite continue quand l'expérience aléatoire associée à cette loi peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle défini, ouvert ou non. Pour une loi continue : la notion de distribution de probabilité n'a plus de sens. car elle donne la probabilité qu'un sujet prenne une valeur donnée.
Simulation des lois usuelles avec Matlab1/25
1 Lois discrètes
1.1 Loi de Bernoulli de paramètreθ, notéeBer(θ)
?x? {0,1}, P(X=x) =θx(1-θ)1-xE[X] =θ V ar[X] =θ(1-θ)
fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] = 1-θ+θt.1.2 Loi Binomiale de paramètres(n,θ), notéeBin(n,θ)
?k? {0,1,...,n}, P(X=k) =Cknθk(1-θ)n-kE[X] =nθ V ar[X] =nθ(1-θ)
fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] = (1-θ+θt)n.Exemple
On considèreuneurnecontenantNboules,N1boulerouges,N2=N-N1boules noires. On en tire par hasardnboules avec remise. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Posonsp=N1N, on a :
P(X=k) =Cknpk(1-p)n-k,?k? {0,1,...,n}.
Propriétés
Ê.Ë.Ê. SiXsuit une loiBin(n,θ), alorsn-Xsuit une loiBin(n,1-θ). loiBer(θ), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiBin(n,θ).KD.GHORBANZADEH
2/25Simulation des lois usuelles avec Matlab
1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4n=20;
5theta=0.2;
6nb=2000;
7R=binornd(n,theta,nb,1);
8hist(R)
9x=0:1:max(R);
10p1=nb*binopdf(x,n,theta);
11hold on
12plot(x,p1,'*k','linewidth',1);
13box off
14hold off
rhbino.m0123456789100
50100
150
200
250
300
350
400
450
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 1 - simulation de la loiBin(n,θ)
KD.GHORBANZADEH
Simulation des lois usuelles avec Matlab3/25
1.3 Loi géométrique de paramètreθ, notéeG´eo(θ)
?k?N?, P(X=x) =θ(1-θ)k-1E[X] =1
θV ar[X] =1-θθ2
fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =θt1-(1-θ)t.
?Remarque Dans certains ouvrages la loiG´eo(θ)est présentée sous la forme : ?k?N, P(X=x) =θ(1-θ)k.1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4theta=.13;
5nb=500;
6R = geornd(theta,nb,1);
7hist(R)
8x=0:1:max(R);
9p1=2*nb*geopdf(x,theta);
10hold on
11plot(x,p1,'*k');
12box off
13hold off
rhgeo.mKD.GHORBANZADEH
4/25Simulation des lois usuelles avec Matlab
0510152025303540450
50100
150
200
250
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 2 - simulation de la loiG´eo(θ)
1.4 LoiBinomialeNégativede paramètres(n,θ),notéeBN(n,θ)
?n?N?,?k?N, P(X=k) =Ckn+k-1θn(1-θ)kE[X] =n
θV ar[X] =n(1-θ)θ2
fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =?θt1-(1-θ)t?
nPropriété
SiX1,...,Xnsont des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi G´eo(θ), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiBN(n,θ).KD.GHORBANZADEH
Simulation des lois usuelles avec Matlab5/25
1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4theta=.3;
5N=5;6nb=500;
7R = nbinrnd(N,theta,nb,1);
8hist(R)
9x=0:1:max(R);
10p1=3.2*nb*nbinpdf(x,N,theta);
11hold on
12plot(x,p1,'*k');
13box off
14hold off
rhbineg.m0510152025303540450
20 4060
80
100
120
140
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 3 - simulation de la loiBN(n,θ)
KD.GHORBANZADEH
6/25Simulation des lois usuelles avec Matlab
1.5 Loi de Poisson de paramètreλ, notéeP(λ)
?k?N, P(X=k) =e-λλk k!E[X] =λ V ar[X] =λ
fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =eλ(1-t).Propriété
SiX1,...,Xnsont des variables aléatoires indépendantes de lois respectives : P(λ1),...,P(λn), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiP(n? k=1λ k).1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4lambda=7;
5nb=1000;
6R = poissrnd(lambda,nb,1);
7hist(R)
8x=0:1:max(R)+1;
9p1=1.7*nb*poisspdf(x,lambda);
10hold on
11plot(x,p1,'*k','linewidth',1);
12box off
13hold off
rhpois.mKD.GHORBANZADEH
Simulation des lois usuelles avec Matlab7/25
0246810121416180
50100
150
200
250
300
350
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 4 - simulation de la loiP(λ)
1.6 Loi Uniforme sur un ensemble de cardinal fini
?k? {1,...,N}, P(X=k) =1 NE[X] =N+ 1
2V ar[X] =N2-112.
1.7 Loi d'une variable aléatoire presque sûrement égale à une
valeur constantex0P(X=x0) = 1
E[X] =x0V ar[X] = 0
fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =tx0.KD.GHORBANZADEH
8/25Simulation des lois usuelles avec Matlab
2 Lois continues
2.1 Loi Uniforme sur l'intervalle[a,b], notéeU([a,b])
densit´efX(x) =1 b-al1[a,b](x) x-a b-asia < x < b1 six≥b
E[X] =a+b
2V ar[X] =(b-a)212
fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] =eibt-eiat it(b-a).1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4a=2; 5b=7;6nb=1000;
7R = unifrnd(a,b,nb,1);
8hist(R)
9x = a:0.1:b;
10p1=.55*nb*unifpdf(x,a,b);
11hold on
12plot(x,p1,'k','linewidth',2);
13box off
14hold off
rhunif.mKD.GHORBANZADEH
Simulation des lois usuelles avec Matlab9/25
22.533.544.555.566.570
20 4060
80
100
120
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 5 - simulation de la loiU([a,b])
2.2 Loi Triangulaire sur l'intervalle[-a,a], notéeΔ([-a,a])
densit´efX(x) =1 a(1-|x|a)l1[-a,a](x) (x+a)21-(a-x)2
1 six≥a
E[X] = 0V ar[X] =a2
6 fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] =((( sinat 2at 2))) 2KD.GHORBANZADEH
10/25Simulation des lois usuelles avec Matlab
Propriété
alorsX-Ysuit une loiΔ([-a,a]).1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4a=3; nb=1000;
5X = unifrnd(0,a,nb,1); %loi uniforme
6Y = unifrnd(0,a,nb,1); %loi uniforme
7hist(X-Y)
8x = -1-a:0.1:a+1;
9p1=.55*nb*(1/a)*(1-abs(x)./a).*(x>=-a & x<=a);
10hold on
11plot(x,p1,'k','linewidth',2);
12box off
13hold off
rhtriag.m -4-3-2-1012340 20 4060
80
100
120
140
160
180
200
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 6 - simulation de la loiΔ([-a,a])
KD.GHORBANZADEH
Simulation des lois usuelles avec Matlab11/25
2.3 Loi Normale de paramètres(m,σ2), notéeN(m,σ2)
densit´efX(x) =1σ⎷2πe-(x-m)22σ2
E[X] =m V ar[X] =σ2
fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] = exp(imt-12σ2t2)
transform´eedeLaplace?X(t) =E[etX] = exp(mt+12σ2t2).
Propriétés
Ë.Ì.Ê. La densité et la fonction de répartition de la loiN(0,1)sont notées par : ?(x) =1 ⎷2πe-x22Φ(x) =? x ?(t)dt. Ë.Ì.Ë. Pourx?Ron a :Φ(x) + Φ(-x) = 1. Ë.Ì.Ì. Pourα?]0,1[on a :Φ-1(α) + Φ-1(1-α) = 0, oùΦ-1désigne la fonction réciproque deΦ. Ë.Ì.Í. SiXsuit une loiN(m,σ2), alors pourα?= 0et pour toutβ,αX±β suit une loiN(αm±β,α2σ2). Ë.Ì.Î. SiXsuit une loiN(m,σ2), alorsX-mσsuit une loiN(0,1).
k=1α kXksuituneloiN(n? k=1α kmk,n? k=1α2kσ2k).
loiN(m,σ2). AlorsXn=1nn
i=1X ietS2n=1n-1n i=1?Xi-Xn?2sont indé-
pendants.KD.GHORBANZADEH
12/25Simulation des lois usuelles avec Matlab
1clear all
2map(1,:) = [rand rand rand];
3colormap(map)
4m=7;5sigma2=13;
6nb=2000;
7R= normrnd(m,sqrt(sigma2),nb,1);
8hist(R)
10p1=2*nb*normpdf(x,m,sqrt(sigma2));
11hold on
12plot(x,p1,'k','linewidth',2);
13box off
14hold off
rhnormal.m -10-505101520250 50100
150
200
250
300
350
400
450
500
© D.Ghorbanzadeh (1997)
FIG. 7 - simulation de la loiN(m,σ2)
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