[PDF] Limites et dérivées de fonctions trigonométriques

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Limites et dérivées de fonctions trigonométriques

Révision fonctions trigonométriques

Question 1Localiser les points correspondants aux angles suivants sur un cercle. a) 6 b)56 c) 86
d)4 e) 34
f)74

Question 2

Évaluer et simplifier les expressions suivantes. a) sin 2 b) cos 76
c) tan 54
d) sec 53
e) csc 34
f)cot 23
g) sin 83
h) cos 52
i) tan 34
j) cot 116
k)sec 43
l) csc 4 m) sin 3 +4 n) cos 12

Question 3

a) Démontrer l"identitécos(+)=cos()à l"aide du cercle tri- gonométrique. b) Démontrer la même identité à l"aide des identités trigonomé- triques pour les sommes d"angles.

Question 4

Démontrer les identités trigonométriques suivantes. a) sin( x)=sin(x) b) cos( x)=cos(x) c) sin( x)=cos x+2 d) cos( x)=sin x2 e)sin

2()=1cos(2)2

f) sin(3 )=3sin()4sin3() g) sin

4()cos4()=cos(2)

h) tan 2 +sin()1+cos()Limites

Question 5

Évaluer les limites suivantes

a) lim x!sin0BBBB@x2 1 CCCCA b) lim x!=3cos0BBBB@x2 1 CCCCA c) lim x!1sin0BBBB@3x2 1 CCCCA d) lim x!+tan0BBBB@x2 1 CCCCA e) lim x!tan0BBBB@x2 1 CCCCA f) lim x!(2 )+1cos(x) g) lim x!0+1tan(x)h)lim x!1tan(x) i) lim x!sec(x) j) lim x!(2 )sec(x) k) lim x!8 tan(2x) l) lim x!3 xsin(x) m) lim x!0sin(2x)tan(4x)2x2 n) lim x!0cos(x)x1 o) lim x!0sec(x)tan(x)x

2csc(x)

Dérivées

Question 6

Démontrer les formules de dérivation suivantes à l"aide des formules de dérivation des fonctions sinus et cosinus, des formules de dériva- tions pour les produits, sommes et quotients et des définitions des fonctions trigonométrique impliquées. (Autrement dit : dériver!) a) cot(x)0=csc2(x) b) sec(x)0=sec(x)tan(x)c) csc (x)0=csc(x)cot(x)

Question 7

Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a)y=sin(5x) b)y=cos(3x) c)y=tanx2 d)y=secx2 e)y=cosx2 3 f)y=x3sin(x) g)y=cos(3x)3cos(x) h)y=sec2(x) i)y=cot(3x)csc(3x) j)y=tan x2x+1! k)y=esin(3x)

Question 8

Trouver

dydx

à l"aide de la dérivation implicite.

a)xsin(x)+ycos(y)=0 b) sin

4(xy)+xy=0c)sec y3+y2=3x4

d)xtaney+lny=3 1

Question 9

Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a)y=cosex b)y=sin3(x)+3sin(x) c)y=ln(sec(x)+tan(x)) d)y=1+csc(x2)1cot(x2)e)y=costan(x2) f)y=ex3sec2(2x) g)y=etan(x)sin(x)cos(x) h)y=cot x1x4!

Question 10

Démontrer que

(cos(x))0=sin(x) a) En utilisant la définition de la déri vée. b)

En utilisant l"identité cos( x)=q1sin2(x).

c)En utilisant les identitéssin(x)=cos2 xetcos(x)= sin2 x.

Applications

Question 11

Trouver l"équation de la droite tangente à la courbe def(x)= ln(sin(x))au point4 ;f4

Question 12

Étudier la croissance et la concavité des fonctions suivantes et tracer leur graphique. a)f(x)=x2 +sin(x), oùx2[0;2] b)f(x)=sinx+cos(x), oùx2[0;2]

Question 13

Trouver les extremums absolus des fonctions données sur l"inter- valle [0;2]. a)f(x)=cos2(2x)b) f(x)=5sin(x)+12cos(x)

Question 14

Un polygone régulier àncôtés est une figure formée dencôtés et angles congrus (carré, pentagone régulier, hexagone régulier, etc.). Plus le nombre de côtés augmente, plus le polygone ressemble à un cercle. On peut dire qu"un cercle est la limite d"un polygone régulier lorsque le nombrende côtés tend vers l"infini. Le rayon de ce cercle correspondra alors à l"apothèmerillustrée dans la figure.r c a) Trouver l"aire d"un polygone régulier àncôtés en fonction der et dec. b) Exprimercen fonction den(vous aurez besoin de trigonométrie ici).c) Utiliser les deux résultats pour trouver une formule générale pour l"aire d"un polygone àncôtés en fonction uniquement den et der. d) En déduire la formule de l"aire d"un cercle (Remarquons quer est une constante dans le processus). Indice : il faut adapter le résultatlimx!0sin(x)x=1à la situation.Vous venez de démontrer la formule de l"aire du cercle! Cette formule a été démontrée pour la première fois par Archimède (287 av. J.C. - 212 av. J.C.), mais sans utiliser le concept moderne de limite.

Question 15

Déterminer quel est le rectangle de périmètre maximum pouvant

être inscrit dans le cercle unité.

Question 16

On lance un projectile avec un canon selon une vitesse initiale de v0m/s. Si on néglige la résistance de l"air, la portée (la distance horizontale parcourue par le projectile) est donnée par la fonction

R()=v20sin(2)g

oùg=9;8m/s2etest l"angle d"inclinaison du canon. Selon quel angle doit-on placer le canon pour avoir une portée maximale?

Question 17

Les côtés congrus d"un triangle isocèle mesurent 5cm. Trouver l"angleentre ces deux côtés qui maximise l"aire du triangle.

Question 18

On fabrique une auge à partir d"une feuille de métal de 120cm de largeur. De chaque côté, on replie une bande de 40cm selon un angle. Quel doit être cet angle pour que l"auge puisse contenir un volume maximal?Question 19 On forme un cône en supprimant un secteur d"un disque de rayon égalr. Trouver la valeur de l"anglepour lequel le volume du cône obtenu est maximal.Question 20 Trouver les extremums locaux des fonctions suivantes. a)y=ln22x2x.b) y=sin2x+2cosx. 2

Solutions

Question 1P

6 P 56
P 86
P 4 P 34
P 74

Question 2

a) 1 b)p3=2 c) 1 d) 2 e)p2 f) 1 =p3 g)p3 2 h) 0 i)1j) p3 k)p2 l)2 m) sin 3 cos4+ cos3 sin4=p2+p6 4 ou utiliser le fait que=3+ =4=7=12 n)q2+p3 2

Question 3

a)P()P(+)cos()cos(+)= cos()b) cos(+)=cos()cos()sin()sin() =cos()(1)sin()(0) =cos()

Question 4

a)P()P()sin()sin()= sin()b)V oirformulaire trigo. c)

V oirformulaire trigo.

d)

Utiliser l"identité pour cosinus d"une

somme d"angles et évaluer cos(=2).e)

Utilisez l"identité donnant le cosinus

d"une somme de deux angles. f)

Utilisez l"identité donnant le sinus

d"une somme de deux angles à deux reprises. g)

Laissé à l"étudiant e.

h)

Laissé à l"étudiant e.

Question 5

a) 1 b)p3 2 c)@ d)1 e)+1 f)+1 g)+1h)1 i)1 j)1 k)1 l) p36 m)4 n)1 o) 1

Question 6

a) cot(x)0= (cos(x)sin(x) 0 (sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)sin 2(x) 1sin 2(x) =csc2(x) b) sec(x)0=(cos(x))10 =cos(x)2(sin(x)) sin(x)cos(x)1cos(x) =sec(x)tan(x) c) csc(x)0=(sin(x))10 =sin(x)2(cos(x)) =cos(x)sin(x)1sin(x) =csc(x)cot(x)

Question 7

a)y0=5cos(5x) b)y0=3sin(3x) c)y=2xsec2x2 d)y=2xsecx2tanx2 e)y=16 sinx2 f) dydx =3x2sin(x)+x3cos(x) g) dydx =3sin(x)3sin(3x)h) dydx =2sec2(x)tan(x) i) dydx =3csc(3x)12csc2(3x) j) dydx x2+2xsec2 x2x+1(x+1)2 k) dydx =3esin(3x)cos(3x)

Question 8

a) dydx =sin(x)+xcos(x)cos(y)ysin(y) b) dydx =yx c) dydx =12x33y2secy3tany3+2y d) dydx =ytan(ey)xye ysec2(ey)+1

Question 9

a) dydx =exsinex b) dydx =cosx3sin2(x)+3sin(x)ln(3) c) dydx =sec(x) d) dydx =2xcsc(x2)1+cot(x2)+csc(x2)

1cot(x2)2

e) dydx =2xsec2(x2)sintan(x2) f) dydx =ex3sec2(2x)3x2+4tan(2x) g) dydx =etan(x)sec2(x)cos(2x) h) dydx =3x4csc2 x1x4!

Question 10

a)

S"inspirer de la preuve de(sin(x))0=

cos(x); vous pouvez utiliser les deux lemmes démontrés en classe sans les redémontrer. b)

Déri verdirectement.

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