Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
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Limites et dérivées de fonctions trigonométriques
Question 7. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) y = sin(5x) b) y = cos(3x) c) y = tan. (.
Limites et continuité de fonctions
Opérations sur les limites. Branches infinies. Ordre et limites. 3 Continuité d'une fonction. 4 Fonctions trigonométriques réciproques. Page 24. 2. Limites d'
Limites usuelles fonctions trigonométriques pdf
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Fonctions Trigonométriques - Partie 3 Limites et intégration
Fonctions Trigonométriques - Partie 3. Limites et intégration. I - Limites. Rappel : les fonctions sinus et cosinus n'admettent pas de limite en +∞ et en –∞.
Chapitre 8 - Les fonctions trigonométriques et leurs inverses
Cette ex- pression nous servira plus loin dans le calcul d'une limite importante. Angle. Ami ane OAMO. 1. M.
Limites usuelles fonctions trigonométriques pdf
(sin) cosinus (En mathématiques les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour) (cos) tangente (tg = sin/cos) (notée aussi tan
Limites usuelles fonctions trigonométriques pdf
Avant d'essayer de lever l'indétermination remmettez-vous en mémoire les formules de base du calcul de limites de fonctions trigonométriques. Or nous savons que
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c) earctan(y) = sin(ln(x)). Question 4. Trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) = arcsin(3x) admet une droite tangente perpendiculaire à la
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A.1 Limites de fonctions trigonométriques. Théorème des deux gendarmes. Le théorème suivant implique 3 fonctions f g et h dont l'une f est "prise.
Limites et dérivées de fonctions trigonométriques
Limites et dérivées de fonctions trigonométriques de dérivation des fonctions sinus et cosinus des formules de dériva- tions pour les produits
Limites et continuité de fonctions
Borne supérieure/inférieure et limite. Voisinages dans R. 2 Limites d'une fonction. 3 Continuité d'une fonction. 4 Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes
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des phénomènes vibratoires on retrouve les fonctions trigonométriques. 8.1 DÉFINITIONS ET IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES calcul d'une limite importante.
Limites de fonctions
Ce qui exprime bien que la limite de f en +? est l. Correction de l'exercice 2 ?. Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de
Exercices corrigés limites fonctions trigonométriques pdf
7 sept. 2021 Limites des fonctions trigonométriques exercices corrigés pdf. 1 x x x Yvan Monari [4] Livre  © © Suma: fresques RepRÃ  © sentant des animaux ...
Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =
Limite de sinx / x. 3. Troisième approche : à partir de longueurs. 1). Il est intéressant de travailler dans le cercle trigonométrique car le rayon est 1 et
COURS DE MATH´EMATIQUES Modules M 1201 & M 1302
Limites des fonctions usuelles . Limite d'un quotient de deux fonctions . ... Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques .
FONCTIONS USUELLES
2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 2) Réciproque des fonctions trigonométriques ... LIMITES.PDF. f ?g au voisinage de x0 signifie que lim.
Limites de fonctions
1 Théorie
Exercice 11.Montrer que toute fonction périodique et non constante n"admet pas de limite en +¥.
2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +¥. 1.Démontrer que lim
x!0p1+xp1xx =1. 2. Soient m;ndes entiers positifs. Étudier limx!0p1+xmp1xmx n. 3.Démontrer que lim
x!01x (p1+x+x21) =12 Exercice 3Calculer lorsqu"elles existent les limites suivantes a)limx!0x2+2jxjx b)limx!¥x2+2jxjx c)limx!2x24x 23x+2d)limx!psin2x1+cosxe)limx!0p1+xp1+x2x f)limx!+¥px+5px3 g)limx!03p1+x21x
2h)limx!1x1x
n1 Calculer, lorsqu"elles existent, les limites suivantes : lim x!ax n+1an+1x nan; lim x!0tanxsinxsinx(cos2xcosx); 1 lim x!+¥rx+qx+pxpx; lim x!a+pxpapxapx2a2;(a>0)
lim x!0xE1x lim x!2e xe2x 2+x6; lim x!+¥x41+xasin2x;en fonction dea2R.
Calculer :
limx!0x2+sin1x ;limx!+¥(ln(1+ex))1x ;limx!0+x1ln(ex1):Trouver pour(a;b)2(R+)2:
lim x!0+ ax+bx2 1x Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs. 1. lim x!0+x+2x 2lnx 2. lim x!0+2xln(x+px) 3. lim x!+¥x32x2+3xlnx
4. lim x!+¥epx+1x+2 5. lim x!0+ln(3x+1)2x 6. lim x!0+x x1ln(x+1) 7. lim x!¥2x+1lnx3+41x2 8. lim x!(1)+(x21)ln(7x3+4x2+3) 2 9.lim x!2+(x2)2ln(x38) 10. lim x!0+x(xx1)ln(x+1) 11. lim x!+¥(xlnxxln(x+2)) 12. lim x!+¥e xex2x 2x 13. lim x!0+(1+x)lnx 14. lim x!+¥ x+1x3 x 15. lim x!+¥ x3+5x 2+2 x+1x 2+1 16. lim x!+¥ ex+1x+2 1x+1 17. lim x!0+ln(1+x) 1lnx 18. lim x!+¥x (xx1)x (xx) 19. lim x!+¥(x+1)xx x+1 20. lim x!+¥xpln(x2+1)1+ex3 Indication pourl"exer cice1 N1.Raisonner par l"absurde. 2.Montrer que la limite est la borne supérieure de l"ensemble des v aleursatteintes f(R).Indication pourl"exer cice2 NUtiliser l"expression conjuguée.
Indication pour
l"exer cice3 NRéponses :
1. La limite à droite v aut+2, la limite à gauche2 donc il n"y a pas de limite.2.¥
3. 4 4. 2 5. 12 6. 0 7. 13 en utilisant par exemple quea31= (a1)(1+a+a2)poura=3p1+x2. 8. 1nIndication pour
l"exer cice4 N1.Calculer d"abord la limite de f(x) =xkakxa.
2. Utiliser cos 2x=2cos2x1 et faire un changement de variableu=cosx. 3.Utiliser l"e xpressionconjuguée.
4.Di visernumérateur et dénominateur par
pxapuis utiliser l"expression conjuguée. 5.On a toujours y16E(y)6y, posery=1=x.
6.Di visernumérateur et dénominateur par x2.
7.Pour a>4 il n"y a pas de limite, poura<4 la limite est+¥.Indication pourl"exer cice5 NRéponses : 0;1e
;e: 1.Borner sin
1x 2. Utiliser que ln (1+t) =tm(t), pour une certaine fonctionmqui vérifiem(t)!1 lorsquet!0. 3.Utiliser que et1=tm(t), pour une certaine fonctionmqui vérifiem(t)!1 lorsquet!0.Indication pourl"exer cice6 NRéponse:
pab.4Correction del"exer cice1 N1.Soit p>0 la période: pour toutx2R,f(x+p) =f(x). Par une récurrence facile on montre :
8n2N8x2Rf(x+np) =f(x):
Commefn"est pas constante il existea;b2Rtels quef(a)6=f(b). Notonsxn=a+npetyn= b+np. Supposons, par l"absurde, quefa une limite`en+¥. Commexn!+¥alorsf(xn)!`. Mais f(xn) =f(a+np) =f(a), donc`=f(a). De même avec la suite(yn):yn!+¥doncf(yn)!`et f(yn) =f(b+np) =f(b), donc`=f(b). Commef(a)6=f(b)nous obtenons une contradiction. 2. Soit f:R!Rune fonction croissante et majorée parM2R. NotonsF=f(R) =ff(x)jx2Rg:
Fest un ensemble (non vide) deR, notons`=supF. CommeM2Rest un majorant deF, alors`<+¥. Soite>0, par les propriétés du sup il existey02Ftel que`e6y06`. Commey02F, il existe x02Rtel quef(x0) =y0. Commefest croissante alors:
8x>x0f(x)>f(x0) =y0>`e:
De plus par la définition de`:
8x2Rf(x)6`:
Les deux propriétés précédentes s"écrivent:8x>x0`e6f(x)6`:
Ce qui exprime bien que la limite defen+¥est`.Correction del"exer cice2 NGénéralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, il est utile de faire
intervenir "l"expression conjuguée": papb=(papb)(pa+pb)pa+pb =abpa+pb Les racines au numérateur ont "disparu" en utilisant l"identité(xy)(x+y) =x2y2.Appliquons ceci sur un exemple :
f(x) =p1+xmp1xmx n (p1+xmp1xm)(p1+xm+p1xm)x n(p1+xm+p1xm)1+xm(1xm)x
n(p1+xm+p1xm) 2xmx n(p1+xm+p1xm)2xmnp1+xm+p1xm
Et nous avons
lim x!02p1+xm+p1xm=1: Donc l"étude de la limite defen 0 est la même que celle de la fonctionx7!xmn.Distinguons plusieurs cas pour la limite defen 0.
5 •Si m>nalorsxmn, et doncf(x), tendent vers 0.Si m=nalorsxmnetf(x)tendent vers 1.
Si m nm=1x kaveck=nmun exposant positif. Sikest pair alors les limites à droite et à gauche de 1x ksont+¥. Pourkimpair la limite à droite vaut+¥et la limite à gauche vaut¥. Conclusion pourk=nm>0 pair, la limite defen 0 vaut+¥et pourk=nm>0 impairf n"a pas de limite en0 car les limites à droite et à gauche ne sont pas égales.Correction del"exer cice3 N1.
x2+2jxjx =x+2jxjx . Six>0 cette expression vautx+2 donc la limite à droite enx=0 est+2. Six<0 l"expression vaut2 donc la limite à gauche enx=0 est2. Les limites à droite et à gauche sont
différentes donc il n"y a pas de limite enx=0. 2. x2+2jxjx =x+2jxjx =x2 pourx<0. Donc la limite quandx! ¥est¥. 3. x24x 23x+2=(x2)(x+2)(x2)(x1)=x+2x1, lorsquex!2 cette expression tend vers 4.
4. sin2x1+cosx=1cos2x1+cosx=(1cosx)(1+cosx)1+cosx=1cosx. Lorsquex!pla limite est donc 2. 5. p1+xp1+x2x =p1+xp1+x2x p1+x+p1+x2p1+x+p1+x2=1+x(1+x2)x(p1+x+p1+x2)=xx2x(p1+x+p1+x2)=1xp1+x+p1+x2. Lorsque x!0 la limite vaut12 6. px+5px3=px+5px3px+5+px3px+5+px3=x+5(x3)px+5+px3=8px+5+px3. Lorsquex!+¥, la limite vaut 0. 7. Nous a vonsl"ég alitéa31= (a1)(1+a+a2). Poura=3p1+x2cela donne : a1x 2=a31x
2(1+a+a2)=1+x21x
2(1+a+a2)=11+a+a2:
Lors quex!0, alorsa!1 et la limite cherchée est13 Autre méthode : si l"on sait que la limite d"un taux d"accroissement correspond à la dérivée nous avons
une méthode moins astucieuse. Rappel (ou anticipation sur un prochain chapitre) : pour une fonctionf
dérivable enaalors lim x!af(x)f(a)xa=f0(a): Pour la fonctionf(x) =3p1+x= (1+x)13
ayantf0(x) =13 (1+x)23 cela donne ena=0 : lim x!03 p1+x21x 2=limx!03
p1+x1x =limx!0f(x)f(0)x0=f0(0) =13 8. xn1x1=1+x+x2++xn. Donc six!1 la limite dexn1x1estn. Donc la limite dex1x n1en 1 est1n La méthode avec le taux d"accroissement fonctionne aussi très bien ici. Soitf(x) =xn,f0(x) =nxn1et
a=1. Alorsxn1x1=f(x)f(1)x1tend versf0(1) =n.Correction del"exer cice4 N6 1.Montrons d"abord que la limite de
f(x) =xkakxa enaestkak1,kétant un entier fixé. Un calcul montre quef(x) =xk1+axk2+a2xk3++ak1; en effet(xk1+axk2+a2xk3++ak1)(xa) =xkak. Donc la limite enx=aestkak1. Une autre méthode consiste à dire quef(x)est la taux d"accroissement de la fonctionxk, et donc la limite de
fenaest exactement la valeur de la dérivée dexkena, soitkak1. Ayant fait ceci revenons à la limite
de l"exercice : commexn+1an+1x nan=xn+1an+1xaxax nan: Lepremiertermeduproduittendvers(n+1)anetlesecondterme, étantl"inversed"untauxd"accroissement, tend vers 1=(nan1). Donc la limite cherchée est (n+1)annan1=n+1n a: 2. La fonction f(x) =tanxsinxsinx(cos2xcosx)s"écrit aussif(x) =1cosxcosx(cos2xcosx). Or cos2x=2cos2x1. Posons
u=cosx, alors f(x) =1uu(2u2u1)=1uu(1u)(12u)=1u(12u) Lorsquextend vers 0,u=cosxtend vers 1, et doncf(x)tend vers13 3. rx+qx+pxpx= qx+px+pxpx qx+px+px+px q x+px+px+px =px+pxq x+px+px+px =q1+1pxq 1+px+px
xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
de limite en0 car les limites à droite et à gauche ne sont pas égales.Correction del"exer cice3 N1.
x2+2jxjx =x+2jxjx . Six>0 cette expression vautx+2 donc la limite à droite enx=0 est+2. Six<0l"expression vaut2 donc la limite à gauche enx=0 est2. Les limites à droite et à gauche sont
différentes donc il n"y a pas de limite enx=0. 2. x2+2jxjx =x+2jxjx =x2 pourx<0. Donc la limite quandx! ¥est¥. 3. x24x23x+2=(x2)(x+2)(x2)(x1)=x+2x1, lorsquex!2 cette expression tend vers 4.
4. sin2x1+cosx=1cos2x1+cosx=(1cosx)(1+cosx)1+cosx=1cosx. Lorsquex!pla limite est donc 2. 5. p1+xp1+x2x =p1+xp1+x2x p1+x+p1+x2p1+x+p1+x2=1+x(1+x2)x(p1+x+p1+x2)=xx2x(p1+x+p1+x2)=1xp1+x+p1+x2. Lorsque x!0 la limite vaut12 6. px+5px3=px+5px3px+5+px3px+5+px3=x+5(x3)px+5+px3=8px+5+px3. Lorsquex!+¥, la limite vaut 0. 7. Nous a vonsl"ég alitéa31= (a1)(1+a+a2). Poura=3p1+x2cela donne : a1x2=a31x
2(1+a+a2)=1+x21x
2(1+a+a2)=11+a+a2:
Lors quex!0, alorsa!1 et la limite cherchée est13Autre méthode : si l"on sait que la limite d"un taux d"accroissement correspond à la dérivée nous avons
une méthode moins astucieuse. Rappel (ou anticipation sur un prochain chapitre) : pour une fonctionf
dérivable enaalors lim x!af(x)f(a)xa=f0(a):Pour la fonctionf(x) =3p1+x= (1+x)13
ayantf0(x) =13 (1+x)23 cela donne ena=0 : lim x!03 p1+x21x2=limx!03
p1+x1x =limx!0f(x)f(0)x0=f0(0) =13 8. xn1x1=1+x+x2++xn. Donc six!1 la limite dexn1x1estn. Donc la limite dex1x n1en 1 est1nLa méthode avec le taux d"accroissement fonctionne aussi très bien ici. Soitf(x) =xn,f0(x) =nxn1et
a=1. Alorsxn1x1=f(x)f(1)x1tend versf0(1) =n.Correction del"exer cice4 N61.Montrons d"abord que la limite de
f(x) =xkakxa enaestkak1,kétant un entier fixé. Un calcul montre quef(x) =xk1+axk2+a2xk3++ak1; en effet(xk1+axk2+a2xk3++ak1)(xa) =xkak. Donc la limite enx=aestkak1. Uneautre méthode consiste à dire quef(x)est la taux d"accroissement de la fonctionxk, et donc la limite de
fenaest exactement la valeur de la dérivée dexkena, soitkak1. Ayant fait ceci revenons à la limite
de l"exercice : commexn+1an+1x nan=xn+1an+1xaxax nan: Lepremiertermeduproduittendvers(n+1)anetlesecondterme, étantl"inversed"untauxd"accroissement, tend vers 1=(nan1). Donc la limite cherchée est (n+1)annan1=n+1n a: 2.La fonction f(x) =tanxsinxsinx(cos2xcosx)s"écrit aussif(x) =1cosxcosx(cos2xcosx). Or cos2x=2cos2x1. Posons
u=cosx, alors f(x) =1uu(2u2u1)=1uu(1u)(12u)=1u(12u) Lorsquextend vers 0,u=cosxtend vers 1, et doncf(x)tend vers13 3. rx+qx+pxpx= qx+px+pxpx qx+px+px+px q x+px+px+px =px+pxq x+px+px+px =q1+1pxq1+px+px
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