Limites de fonctions et asymptotes PDF

Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008) Gymnase de Burier 2. l'asymptote : la limite tend vers ??. Graphiquement

Limites de fonctions et asymptotes

Chercher la limite de f x quand x tend vers +? c'est étudier le La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe ...

Compléments sur les limites asymptotes et continuité - Lycée d

27 févr. 2017 2 Limite en l'infini des polynômes et fonctions rationnelles ... La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +?.

Chapitre 2: Limites et Asymptotes

La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord (point limite ou asymptote

Limites asymptotes EXOS CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques. M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite

3 Limites et asymptotes de fonctions - 3.1 Introduction

Page 3-1. 3 Limites et asymptotes de fonctions. 3.1 Introduction : approche intuitive des limites. • Soit la fonction ( ) = 1. ( ?1)2 et son graphe :.

CHAPITRE 2 – Limites et asymptotes

Il ne peut y avoir au maximum que deux asymptotes horizontales ou obliques une en -? et une en. +?. d) Extension de la notion d'asymptote. Si lim x ?. f

1 S Limites de fonctions (4) : asymptotes obliques études de fonctions

Dans ce chapitre on va pousser et clore l'étude des asymptotes en étudiant un dernier type d'asymptote : les asymptotes obliques. I. Approche graphique. 1°)

Développements limités

Déterminer l'asymptote en +? et la position du graphe par rapport à cette asymptote. Auteurs du chapitre. Rédaction : Arnaud Bodin. Basé sur des cours de

Limites de fonctions et asymptotes

1. Limite en +∞ou -∞p14. Limites et opérationsp7

2. Asymptotesp3

3. Lilite infinie en un point ap4

Limites de fonctions et asymptotes

1. Limites en ∞.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a; +∞[, a appartenant à ℝ.

Chercher la limite de fx quand

x tend vers +∞, c'est étudier le comportement des réels fx quand on prend pour x des valeurs aussi grande que l'on veut. On observe trois types importants de comportement:

1)Si pour

x assez grand, les images fx sont aussi grandes que l'on veut, on dit que fx tend

vers +∞ quand x tend vers +∞.

On note alors:

limx∞ fx=∞fxM dès que xx0.

Exemples:

limx∞x2=∞ limx∞ x=∞

2)Si pour

x suffisamment grand, les images de fx sont aussi petites que l'on veut, on dit que fx tend vers -∞ quand x tend vers +∞. On note alors: limx∞fx=-∞ Limites de fonctions et asymptotesfxm quand xx0.

Exemple: limx∞-x2=-∞

3)Si pour x suffisamment grand, les images

fx sont aussi proches d'un réel l que l'on veut, on dit que fx tend vers l quand x tend vers +∞. On note alors: limx∞fx=l. La droite  d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de f en +∞. l-fxl dès que xx0.

Exemples:

limx∞ 1 x=0 limx∞1 x=0.

Remarques:

-Certaines fonctions n'ont aucun de ces comportements en +∞. On dit alors que la fonction n'a pas de

limite en +∞. Par exemple: la fonction sinus n'a pas de limite en +∞. -Si

f est définie sur ]-∞; a[, on définit de même des limites quand x tend vers -∞. On notera

limx-∞ fx une telle limite.

Exemples: limx-∞x2=∞

limx-∞ x3=-∞ limx-∞6-1 x=6

Limites de fonctions et asymptotes

2. Asymptotes.

Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; +∞[

La droite  d'équation

y=axb est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ s'il existe une fonction h telle que: pour tout x appartenant à ] a;+∞[, fx=axbhx et limx∞hx=0.

Propriété: Soit

f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ La droite  d'équation y=axb est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ si et seulement si limx∞fx-axb=0.

Preuve:

-Supposons que  soit asymptote à c en +∞.

Il existe dont une fonction h telle que pour tout x appartenant à ]a; +∞[, fx=axbhxoù

limx∞hx=0.

Limites de fonctions et asymptotes

Alors fx-axb=hx donc limx∞fx-axb=0.

-Supposons que limx∞fx-axb=0. Posons hx=fx-axb pour x appartenant à ]a; +∞[.

On a donc limx∞hx=0.

De plus, axbhx=axbfx-axb=fx pour

x appartenant à ]a; +∞[. Donc fx=axbhx avec limx∞hx=0.

Donc  est asymptote à c en +∞.

Remarques:

-Pour a=0, on retrouve le cas de l'asymptote horizontale. -On a, de même, que  est asymptote à c en -∞ s'il existe une fonction h telle que fx=axbhx où limx-∞hx=0.

Exemple: Soit la fonction

f définie sur ℝ* par fx=-x2x1 x.

1.Démontrer que pour tout

x appartenant à ℝ*, fx=-x11 x.

2.Déterminer les asymptotes en +∞ et en -∞ à la courbe cf représentative de la fonction

3.Préciser la position de cf par rapport à son asymptote.

Correction.

1.Soit

xℝ*, -x11 x=-x1x1 x=-x2x1 x=fx. D'où pour tout x appartenant à ℝ*, fx=-x11 x.

2.Soit  la droite d'équation y=-x1.

x--x1=1 x. limx∞ 1 x=0 et limx-∞ 1 x=0. D'où  est asymptote à cf en +∞ et en -∞. x--x1=1 x. 1 x >0 pour x0 et 1 x0 pour x0. Donc  est au dessus de cf pour x0 et  est en dessous de cf pour x0.

3. Limite infinie en un réel a.

3.1. Commençons par un exemple.

Soit f la fonction définie sur ℝ* par fx=1 x.

Limites de fonctions et asymptotes

Les réels fx dépassent n'importe quel réel A aussi grand que l'on veut pourvu que x soit positif et assez proche de 0. On dit que f a pour limite +∞ à droite en 0 et on note limx0,x01 x=∞.

De même, limx0,x01

x=-∞.

3.2. Définition.

Si f est définie sur ]a-;a[ ou sur ]a;a[, ou sur leur réunion, on dit que fx tend vers +∞ quand x tend vers a si fx peut-être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.

Limites de fonctions et asymptotes

On définit de façon analogue le fait que fxtende vers -∞ quand x tend vers a.

3.3. Propriété.

On admettra la propriété suivante.

Propriété:

-Si limxagx= 0+, alors limxa 1 gx=∞. -Si limxagx= 0-, alors limxa 1 gx=-∞.

Exemples:

1)limx2x-22

=0+ d'où limx2 1 x-22=∞.

2)limx3,x3x-3=0+ d'où

limx3,x3 1 x-3=∞, limx3,x3x-3=0- d'où limx3,x3 1 x-3=-∞d'où limx31 x-3 n'existe pas.

3.4. Asymptote verticale.

Limites de fonctions et asymptotes

Définition:

Soit f une fonction, cf sa courbe représentative et a un réel. Lorsque la limite (ou la limite à droite, ou à gauche) de f en a est +∞ ou -∞, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe cf. La courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ\{1} par fx=1 x-12 admet pour asymptote la droite d'équation x=1.

4. Limites et Opérations

Soit f et g deux fonctions, l et l' deux réels, a désigne indifféremment un nombre réel, +∞ ou -∞.

Limites de fonctions et asymptotes

4.1. Somme.limxa

fxlll+∞-∞+∞ limxa indéterminée

Exemples:

limx∞ x23x=limx∞ x2limx∞ x-5x=limx-∞2

4.2. Produit.

limxa limxa gxl'+∞-∞+∞ ou -∞+∞-∞-∞ limxafgxll'+∞ si l0-∞ si l0-∞ si l0+∞ si l0Forme indéterminée+∞+∞-∞

Exemple: limx∞x2

-31 x=∞×-3=-∞

4.3. Inverse.

limxa limxa1 fx 1 l00+∞-∞Forme indéterminée

4.4. Quotient.

limxa fxl0l≠0+∞ ou - ∞ limxa gxl'≠00-∞ ou +∞+∞ ou - ∞ limxa f gxl l'Forme indéterminée0Forme indéterminée.

Limites de fonctions et asymptotes

Exemple:

limx∞21 x=2 et limx∞x2=∞ d'où limx∞

21

x x2=0

4.5. Quelques règles.

On retiendra les règles suivantes, que l'on peut facilement démontrer grâce aux règles de calculs.

Règle 1:

En +∞ et en -∞, un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.

Justification:

Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par fx=anxnan-1xn-1..a1xa0 avec an≠0.

Lorsque

x≠0, fx=anxn 1an-1 anx..a1 anxn-1a0 anxn.

Or limx∞an-1

anx=0, ..., limx∞ a1 anxn-1=0, limx∞ a0 anxn=0.

Nous obtenons limx∞

1an-1 anx..a1 anxn-1a0 anxn=1. Par suite, limx∞fx=limx∞anxn

Exemples:

limx∞

5x2-6x1=limx∞

Nous admettrons la règle suivante:

Règle 2:

En +∞ et en -∞, la limite de la fonction rationnelle définie par fx=anxn..a0 bpxp..b0 an≠0,bp≠0 est celle de x anxn bpxp.

Exemples:

limx∞ x2-3x2

4x2-5x1=limx∞

x2 4x2=1 4. limx-∞3x32x2-7x1 x2-3x2=limx-∞3x3 x2=limx-∞3x=-∞quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Limites de fonctions et asymptotes

1. Limite en +∞ou -∞p14. Limites et opérationsp7

2. Asymptotesp3

3. Lilite infinie en un point ap4

Limites de fonctions et asymptotes

1. Limites en ∞.

Chercher la limite de fx quand

1)Si pour

On note alors:

Exemples:

2)Si pour

Exemple: limx∞-x2=-∞

3)Si pour x suffisamment grand, les images

Exemples:

Remarques:

Exemples: limx-∞x2=∞

Limites de fonctions et asymptotes

2. Asymptotes.

La droite  d'équation

Propriété: Soit

Preuve:

Limites de fonctions et asymptotes

On a donc limx∞hx=0.

Donc  est asymptote à c en +∞.

Remarques:

Exemple: Soit la fonction

1.Démontrer que pour tout

2.Déterminer les asymptotes en +∞ et en -∞ à la courbe cf représentative de la fonction

3.Préciser la position de cf par rapport à son asymptote.

Correction.

1.Soit

2.Soit  la droite d'équation y=-x1.

3. Limite infinie en un réel a.

3.1. Commençons par un exemple.

Limites de fonctions et asymptotes

De même, limx0,x01

3.2. Définition.

Limites de fonctions et asymptotes

3.3. Propriété.

On admettra la propriété suivante.

Propriété:

Exemples:

1)limx2x-22

2)limx3,x3x-3=0+ d'où

3.4. Asymptote verticale.

Limites de fonctions et asymptotes

Définition:

4. Limites et Opérations

Limites de fonctions et asymptotes

4.1. Somme.limxa

Exemples:

4.2. Produit.

Exemple: limx∞x2

4.3. Inverse.

4.4. Quotient.

Limites de fonctions et asymptotes

Exemple:

21

4.5. Quelques règles.

Règle 1:

Justification:

Lorsque

Or limx∞an-1

Nous obtenons limx∞

Exemples:

5x2-6x1=limx∞

Nous admettrons la règle suivante:

Règle 2:

Exemples:

4x2-5x1=limx∞