Compléments sur les limites asymptotes et continuité

Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008) Gymnase de Burier 2. l'asymptote : la limite tend vers ??. Graphiquement

Limites de fonctions et asymptotes

Chercher la limite de f x quand x tend vers +? c'est étudier le La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe ...

Compléments sur les limites asymptotes et continuité - Lycée d

27 févr. 2017 2 Limite en l'infini des polynômes et fonctions rationnelles ... La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +?.

Chapitre 2: Limites et Asymptotes

La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord (point limite ou asymptote

Limites asymptotes EXOS CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques. M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite

3 Limites et asymptotes de fonctions - 3.1 Introduction

Page 3-1. 3 Limites et asymptotes de fonctions. 3.1 Introduction : approche intuitive des limites. • Soit la fonction ( ) = 1. ( ?1)2 et son graphe :.

CHAPITRE 2 – Limites et asymptotes

Il ne peut y avoir au maximum que deux asymptotes horizontales ou obliques une en -? et une en. +?. d) Extension de la notion d'asymptote. Si lim x ?. f

1 S Limites de fonctions (4) : asymptotes obliques études de fonctions

Dans ce chapitre on va pousser et clore l'étude des asymptotes en étudiant un dernier type d'asymptote : les asymptotes obliques. I. Approche graphique. 1°)

Développements limités

Déterminer l'asymptote en +? et la position du graphe par rapport à cette asymptote. Auteurs du chapitre. Rédaction : Arnaud Bodin. Basé sur des cours de

DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:09

Compléments sur les limites,

asymptotes et continuité

Table des matières

1 Limites finies ou infinies en l"infini2

1.1 Limites finies à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limites infinies en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Limites infinies en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Limites à droite, à gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Limite en l"infini des polynômes et fonctions rationnelles6

2.1 Limite en l"infini d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . 6

3 Asymptote oblique7

4 Limites indéterminées avec des radicaux9

4.1 Une simple indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Une double indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Continuité12

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Règles opératoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1 Limites finies ou infinies en l"infini

1.1 Limites finies à l"infini

Dire qu"une fonctionfa pour limite

?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert centré en?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[.Aétant à déterminer.

On obtient une définition plus rigou-

reuse avec des quantificateurs : A xOC fΔ Définition 1 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.

On écrira lim

x→+∞f(x)=?ou lim+∞f=?si, et seulement si, ??>0,?A>0,?x?D,x>A? |f(x)-?|Exemple :Montrons que limx→+∞2x-1x+1=2. ?2x-1 x+1-2???? =????2x-1-2x-2x+1???? =????-3x+1???? ?3xet3x3?. d"où ??>0,?A=3 ?,?x?]0 ;+∞[,x>A?????2x-1x+1-2???? Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]-∞;b[.

On écrira lim

x→-∞f(x)=?ou lim-∞f=?si, et seulement si, ??>0,?B<0,?x?D,xPAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1.2 Limites infinies en l"infini

Dire qu"une fonctionfa pour limite

+∞en+∞, signifie que tout intervalle ]M;+∞|contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez grand - c"est à dire pourx?]A;+∞[,Aétant à déterminer.

On obtient une définition plus rigou-

reuse avec des quantificateurs : A]M Cf O Définition 3 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.

On écrira lim

x→+∞f(x)=+∞ou lim+∞f=+∞si, et seulement si, ?M>0,?A>0,?x?D,x>A?f(x)>M "Pour tout réel positif M (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel positif A tel que pour tout x de D supérieur à A alors f(x)est supérieur à M ». Exemple :Montrons que limx→+∞lnx= +∞ La fonction ln est définie sur]0 ;+∞[. SoitM>0. lnx>M?x>eM, on a donc ?M>0,?A=eM,?x?]0 ;+∞[,x>A?lnx>M Définition 4 :On définit de façon analogue : Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.

On écrira lim

x→+∞f(x)=-∞ou lim+∞f=-∞si, et seulement si, ?m<0,?A>0,?x?D,x>A?f(x)On écrira lim x→-∞f(x)=+∞ou lim-∞f=+∞si, et seulement si, ?M>0,?B<0,?x?D,xM Soit une fonctionfdéfinie surD=]-∞;b[.

On écrira lim

x→-∞f(x)=-∞ou lim-∞f=-∞si, et seulement si, ?m<0,?B<0,?x?D,xPAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1.3 Limites infinies en un point

Dire qu"une fonctionfa pour limite

+∞ena, signifie que tout intervalle ]M;+∞|contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle ouvert de rayonηcontenanta. Le rayonηétant à déterminer

On obtient une définition plus rigou-

reuse avec des quantificateurs a[]C fM O Définition 5 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.

On écrira lim

x→af(x)= +∞ou limaf= +∞si, et seulement si, ?M>0,?η>0,?x?D,|x-a|<η?f(x)>M "Pour tout réel positif M (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel positifηtel que pour tout x de D dans]a-η;a+η[alors f(x)est supérieur à M ». La droiteΔd"équationx=aest diteasymptote verticaleàCfau pointa. Remarque :L"intervalleD=]b;a[?]a;c[est appelévoisinagedea. La fonction fdoit être définie dans un voisinage deatout en étant non définie ena.

Exemple :Montrer que limx→12x+1

(x-1)2= +∞

Pourx>0 etx?=1, on a2x+1

(x-1)2?1(x-1)2et 1 (x-1)2>M?(x-1)2<1M? |x-1|<1⎷M, on a donc : ?M>0,?η=1 ⎷M,?x?D,|x-1|<η?f(x)>M Définition 6 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.

On écrira lim

x→af(x)=-∞ou limaf=-∞si, et seulement si, ?m<0,?η>0,?x?D,|x-a|<η?f(x)"Pour tout réel négatif m (aussi grand négatif soit-il), on peut trouver un réel positifη

tel que pour tout x de D dans]a-η;a+η[alors f(x)est inférieur à m ». La droiteΔd"équationx=aest diteasymptote verticaleàCfau pointa.

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1.4 Limite finie en un point

Dire qu"une fonctionfa pour limite?

ena, signifie que tout intervalle ouvert centré en?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est

à dire pour lesxd"un intervalle ouvert

à déterminer.

On obtient une définition plus rigou-

reuse avec des quantificateurs a? O Définition 7 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.

On écrira lim

x→af(x)=?ou limaf=?si, et seulement si, ??>0,?η>0,?x?D,|x-a|<η? |f(x)-?|1.5 Limites à droite, à gauche Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un voisinageDdea. On dit que fadmet une limite : A droite dea, notée limx→ax>af(x)ou limx→a+f(x)ou lima+f, si et seulement si : limite finie?:??>0,?η>0,?x?D,a0,?η>0,?x?D,a-ηPourx>1 etM>0,3x-1>M?x-1<3M?x<1+3M, d"où : ?M>0,?η=3

M,?x?D, 1M

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

2. LIMITE EN L"INFINI DES POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES

Pourx<1 etm<0,3x-13m?x>1+3m, d"où :

?m<0,?η=-3 m,?x?D, 1-η2 Limite en l"infini des polynômes et fonctions ra- tionnelles

2.1 Limite en l"infini d"un polynôme

Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+∞et en-∞que son monôme du plus haut degré.

SiP(x) =n∑

i=0a ixi=anxn+an-1xn-1+···+a0alors lim x→+∞P(x) =limx→+∞anxnet limx→-∞P(x) =limx→-∞anxn Démonstration :On met en facteur le monôme du plus haut degré,an?=0 :

P(x) =n∑

i=0a ixi=anxn?

1+n-1∑

i=0a i an×1xn-i? or?i??0 ;n-1?, limx→+∞1 xn-i=limx→-∞1xn-i=0, d"où par somme et produit : lim x→+∞P(x) =limx→+∞anxnet limx→-∞P(x) =limx→-∞anxn Exemple :Limites en+∞et-∞du polynômePtel que :P(x) =4x3+2x2+4

On a : lim

x→+∞P(x) =limx→+∞4x3= +∞et limx→-∞P(x) =limx→-∞4x3=-∞

2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle

Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+∞et-∞que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

Sif(x) =n∑

i=0a ixi m∑ j=0b lim x→+∞f(x) =limx→+∞a nxn bmxmet limx→-∞f(x) =limx→-∞a nxnbmxm

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

3. ASYMPTOTE OBLIQUE

Démonstration :On met en facteur les monômes du plus haut degré du nu- mérateur et du dénominateur,an?=0,bm?=0 f(x) =n∑ i=0a ixi m∑ j=0b jxj=a nxn?

1+n-1∑

i=0a i an×1xn-i? bmxm?

1+m-1∑

j=0b jbm×1xm-j? ?i??0 ;n-1?, limx→+∞1xn-i=limx→-∞1xn-i=0, ?j??0 ;m-1?, limx→+∞1xm-j=limx→-∞1xm-j=0, parsomme,produit,quotient: lim x→+∞f(x) =limx→+∞a nxn bmxmet limx→-∞f(x) =limx→-∞a nxnbmxm

Exemple :

Déterminer la limite en+∞de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x2-3x+6x-1. lim x→+∞f(x) =limx→+∞2x2 x=limx→+∞2x= +∞ Déterminer la limite en-∞de la fonctiongdéfinie par :g(x) =4x2+3x-53x2-1 lim x→-∞g(x) =limx→-∞4x2

3x2=limx→-∞43=43

3 Asymptote oblique

Définition 9 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet uneasymp- tote obliqued"équationy=ax+ben+∞ou en-∞si et seulement si : lim x→+∞[f(x)-(ax+b)]=0 ou limx→-∞[f(x)-(ax+b)]=0 Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient la courbeCfet son asymptotedsuivantes : O Cf d

PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR

3. ASYMPTOTE OBLIQUE

Théorème 3 :Dans une fonction rationnellef, lorsque le degré du polynôme du numérateurnet celui de son dénominateurmsont tels quen=m+1, alors la courbe représentativeCfadmet une asymptote obliqueden+∞et-∞.

Soitf(x) =P(x)

Q(x)etd◦P=d◦Q+1

Soit la droite d d"équationy=ax+balors limx→∞[f(x)-(ax+b)] =0 Exemple :Soit la fonction définie surR-{-1}par :f(x) =2x2-3x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+∞et-∞. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+∞et en-∞. Pour déterminer cette asymptote, il faut décomposerfen éléments simples. Dé- terminons les coefficienta,betctel que :f(x) =ax+b+c x+1. Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.

1reméthode : par identification

On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +c x+1=ax2+ax+bx+b+cx+1=ax2+ (a+b)x+b+cx+1 Par identification, on obtient le système suivant : ?a=2 a+b=-3 b+c=1??????a=2 b=-5 c=6soitf(x) =2x-5+6 x+1

2eméthode : par division euclidienne

On effectue une division en basex. On a alors :

2x2-3x+1

x+1 -2x2-2x

0x2-5x+1

+5x+5 0x+6

2x-5On a alors :f(x) =2x-5+6x+1

Montrons maintenant que la droite d"équationy=2x-5 est asymptote à la courbe defen+∞et-∞. On calcule :f(x)-(2x-5) =6 x+1.

PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR

4. LIMITES INDÉTERMINÉES AVEC DES RADICAUX

limx→+∞x+1= +∞donc par quotient limx→+∞6x+1=0 lim x→-∞x+1=-∞donc par quotient limx→-∞6 x+1=0, d"où lim x→+∞[f(x)-(2x-5)] =0 et limx→-∞[f(x)-(2x-5)] =0 La droite d"équationy=2x-5 est asymptote à la courbe defen+∞et-∞.

Déterminons le signe def(x)-(2x-5) =6

x+1pour connaître la position de l"asymptote par rapport à la courbe. Le signe de 6 x+1est du signe dex+1 x f(x)-(2x-5) -∞-1+∞ 0+ La courbe est au dessus de l"asymptote en+∞et en dessous en-∞.

On obtient la courbe suivante :

51015
-5 -10 -15 -201 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7y=2x-5 Cf O

4 Limites indéterminées avec des radicaux

4.1 Une simple indétermination

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =⎷

x2+1+x

1) Déterminer la limite de la fonctionfen-∞.

2) a) Tracer la courbeCfpuis conjecturer une asymptote obliqueΔen+∞.

b) Démontrer cette conjecture.

PAUL MILAN9VERS LE SUPÉRIEUR

4. LIMITES INDÉTERMINÉES AVEC DES RADICAUX

1) Le premier terme⎷x2+1 tend vers+∞tandis que le deuxièmextend vers

-∞lorsquextend vers-∞(+∞-∞) Pour lever l"indétermination, on multiplie par la quantité conjuguée : f(x) =(⎷ Il suffit alors de déterminer la limite de ce dénominateur pour trouverla limite de la fonctionfen-∞ lim x→-∞x2+1= +∞ lim x→+∞⎷ x= +∞???

Par composition

lim x→-∞?x2+1= +∞

Comme lim

x→-∞-x= +∞par somme limx→-∞⎷ x2+1-x= +∞

Par quotient, on a alors : lim

x→-∞f(x) =0 Remarque :La courbeCfadmet l"axe des abscisses comme asymptote hori- zontale en-∞.

2) a) À l"aide d"une calculette on peut visualiser la courbeCf. D"après l"allure de

la courbe, on peut conjecturer que la courbe admet la droiteΔd"équation y=2xcomme asymptote oblique comme le montre la graphique suivant : 12345

1 2 3-1-2-3-4-5-6-7

Cf O b) La fonctionftend manifestement vers+∞en+∞car somme de deux est asymptote à la courbe en+∞, étudions la limite en+∞de la quantité f(x)-2x.

PAUL MILAN10VERS LE SUPÉRIEUR

4. LIMITES INDÉTERMINÉES AVEC DES RADICAUX

?x>0,f(x)-2x=?x2+1+x-2x=|x|?1+1x2-x=x? ?1+1x2-1? x?

1+1x2-1??

?1+1x2+1??

1+1x2+1=x?

1+1 x2-1??

1+1x2+1

1 x? ?1+1x2+1? >0 lim x→+∞1+1 x2=1 lim x→1⎷ x=1?????

Par composition et somme

lim x→+∞?1+1x2+1=2

Comme lim

x→+∞x= +∞par produit et quotient limx→+∞f(x)-2x=0 La droiteΔd"équationy=2xest donc asymptote àCfen+∞. La courbe C fest au dessus de la droiteΔcar la quantitéf(x)-2xest positive pourx positif.

4.2 Une double indétermination

Soit la fonctionfdéfinie sur[0 ;+∞;[par :f(x) =⎷ x2+2x-x

Déterminer la limite de la fonctionfen+∞

Le premier terme⎷x2+2xtend vers+∞tandis que le deuxième-xtend vers -∞lorsquextend vers+∞(+∞-∞) f(x) =(⎷ Remarque :On observe une deuxième indétermination car le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux l"infini.?∞ Pour lever cette deuxième indétermination, il faut mettre en facteur le terme prépondérant du dénominateur. x2+2x+x=|x|?1+2x+x, on a alors : ?x>0,f(x) =2x x?1+2x+x=2xx? ?1+2x+1? =2

1+2x+1

Il suffit de déterminer la limite de ce dénominateur pour trouver la limite de la fonctionfen+∞.

PAUL MILAN11VERS LE SUPÉRIEUR

5. CONTINUITÉ

limx→+∞1+2x=1 lim x→1⎷ x=1?????

Par composition et somme

lim x→+∞?1+2x+1=2

Par quotient, on a alors : lim

x→+∞f(x) =1 Remarque :La courbeCfadmet donc une asymptote horizontale d"équationquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Compléments sur les limites,

Table des matières

1 Limites finies ou infinies en l"infini2

1.1 Limites finies à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limites infinies en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Limites infinies en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Limites à droite, à gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Limite en l"infini des polynômes et fonctions rationnelles6

2.1 Limite en l"infini d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . 6

3 Asymptote oblique7

4 Limites indéterminées avec des radicaux9

4.1 Une simple indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Une double indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Continuité12

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Règles opératoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1 Limites finies ou infinies en l"infini

1.1 Limites finies à l"infini

Dire qu"une fonctionfa pour limite

On obtient une définition plus rigou-

On écrira lim

On écrira lim

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1.2 Limites infinies en l"infini

Dire qu"une fonctionfa pour limite

On obtient une définition plus rigou-

On écrira lim

On écrira lim

On écrira lim

1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1.3 Limites infinies en un point

Dire qu"une fonctionfa pour limite

On obtient une définition plus rigou-

On écrira lim

Exemple :Montrer que limx→12x+1

Pourx>0 etx?=1, on a2x+1

On écrira lim

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1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI

1.4 Limite finie en un point

Dire qu"une fonctionfa pour limite?

à dire pour lesxd"un intervalle ouvert

à déterminer.

On obtient une définition plus rigou-

On écrira lim

M,?x?D, 1M

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2. LIMITE EN L"INFINI DES POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES

Pourx<1 etm<0,3x-13m?x>1+3m, d"où :

2.1 Limite en l"infini d"un polynôme

SiP(x) =n∑

P(x) =n∑

1+n-1∑

On a : lim

2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle

Sif(x) =n∑

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

3. ASYMPTOTE OBLIQUE

1+n-1∑

1+m-1∑

Exemple :

3x2=limx→-∞43=43

3 Asymptote oblique

PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR

3. ASYMPTOTE OBLIQUE

Soitf(x) =P(x)

Q(x)etd◦P=d◦Q+1

1reméthode : par identification

2eméthode : par division euclidienne

On effectue une division en basex. On a alors :

2x2-3x+1

0x2-5x+1

2x-5On a alors :f(x) =2x-5+6x+1

PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR

Pourx<1 etm<0,3x-13m?x>1+3m, d"où :

1reméthode : par identification

2eméthode : par division euclidienne