LIMITES DES FONCTIONS
LIMITES DES FONCTIONS. I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini. Intuitivement : On dit que la fonction admet pour limite L en +?
Limites de fonctions
Limites de fonctions. 1 Théorie. Exercice 1. 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n'admet pas de limite en +?.
Limites de fonctions
Indice : On pourra utiliser le résultat que la fonction racine est croissante. Limites en l'infini. 10. Page 11. C. Limite
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.
LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)
Remarque : Lorsque x tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. La distance MN tend vers 0. 2) Limite infinie à l'infini.
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)
LIMITES DES FONCTIONS. (Partie 1). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini.
Fiche technique sur les limites
Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. =
3. Limites et fonctions continues
3. Limites et fonctions continues. 3.1 Notions de fonction. 3.1.1 Definitions. Definition 3.1.1 Une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles est une
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
Limites et continuité de fonctions
2 Limites d'une fonction. Limite en l'infini limite en un réel. Limite à gauche
LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 1/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxMPartie 1 : Limite d'une fonction à l'infini
1) Limite infinie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.
Si on prend un intervalle
quelconque, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment grand.Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle
, réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on
note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en +∞ si tout intervalle , réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : limRemarques :
- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : 2 - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales.2) Limite finie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞,si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on
note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher. 3 Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 2, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment grand.
Définition : Si lim
=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontaleà la courbe de la fonction en +∞.
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞ si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : lim Remarque : On a des définitions analogues en -∞.3) Limites des fonctions de référence
Propriétés :
- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim =+∞, lim =+∞ (pour pair) - lim =+∞, lim =-∞ (pour impair) - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A
1) Définition
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .
4Exemple :
La fonction définie par
13-
+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.On a par exemple :
2,99 13-2,99
+1=1012,9999
13-2,9999
+1=10001Les valeurs de la fonction deviennent aussi
grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.La courbe de la fonction "se rapproche" de la
droite d'équation =3 sans jamais la toucher.Si on prend un intervalle
quelconque, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment proche de 3.Définition : Si : lim
=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en si tout intervalle
, réel, contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de
et on note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en si tout intervalle , réel,contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de et on
note : lim 52) Limite à gauche, limite à droite :
Exemple :
Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou limOn parle de limite à droite de 0
Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou limOn parle de limite à gauche de 0.
Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonctionVidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . -∞-425+∞ 6Correction
a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2)Partie 3 : Opérations sur les limites
1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites
peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim "→0 lim "→0 lim "→0 F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. -∞-425+∞ +∞+∞ +∞556-∞
7 PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim "→0 ∞ 0 lim "→0 lim "→0 F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim "→0 ≠0 0 lim "→0 ′≠00 ∞ ∞
0 lim "→0 ∞ 0 ∞F.I. F.I.
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opérationVidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs
Déterminer les limites suivantes : a)lim
-53+
b) lim1-2
-3Correction
a) lim -53+
L lim -5=-∞ lim =+∞lim3+
Comme limite d'un produit : lim
-53+
b) lim1-2
-3 lim1-2=1-2×3=-5
lim -3=0Une limite de la forme "
» est égale à " ∞ ».
Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "» est égale à " +∞ ».
D'où, comme limite d'un quotient : lim
1-2
-3 82) Cas des formes indéterminée
Comme pour les suites, on rappelle que :
Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1)Vidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk
Calculer : lim
-3 +2 -6+1Correction
lim -3 +2 -6+1=? • L lim -3 lim2
On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1= R-3+ 2 6 1 S •lim 2 =lim 6 2 =lim 1 3 =0.Donc, par limite d'une somme :
lim -3+ 2 6 1 =-3 •U lim -3+ 2 6 1 =-3 limDonc, par limite d'un produit :
lim R-3+ 2 6 1S=-∞
Soit : lim
-3 +2 -6+1=-∞. Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (2)Vidéo https://youtu.be/8tAVa4itblc
Vidéo https://youtu.be/pmWPfsQaRWI
9Calculer : a) lim
2
2 -5+16
2 -5 b) lim3
2 +24-1
Correction
a) • En appliquant la méthode précédente pour le numérateur et le dénominateur cela
conduirait à une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant par les monômes de plus haut degré :2
-5+16
-5 2- 1 6- 2- 1 6- • lim 5 =lim 1 2 =lim 5 2 =0.Donc, comme limite de sommes :
lim 2- 5 1 =2etlim 6- 5 =6 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 2- 1 6- 2 6 1 3Soit : lim
2
2 -5+16
2 -5 1 b) • Il s'agit d'une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant par les monômes de plus haut degré :3
+24-1
3+ 4- 1 3+ 4- 1 • lim 1 =lim 2 2 =0Donc, comme limite de sommes :
lim 3+ 2 =3etlim 4- 1 =4 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 3+ 4- 1 3 4 • De plus, lim =-∞, donc, comme limite d'un produit : lim 3+ 4- 1Soit : lim
3
2 +24-1
10 Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de l'expression conjuguéeVidéo https://youtu.be/n3XapvUfXJQ
Vidéo https://youtu.be/y7Sbqkb9RoU
Calculer : a) lim
+1- b) lim 2 -1-2 -5Correction
a) • lim +1=+∞ et lim Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination à l'aide de l'expression conjuguée : +1- X +1- YX +1+ Y +1+ X +1 Y X Y +1+ +1- +1+ 1 +1+ • Comme limite d'une somme : lim +1+Et donc, comme limite d'un quotient : lim
1 2 +1+ =0.Soit lim
+1- =0. b) • L lim -1-2=5-1-2=0
lim -5=5-5=0 Il s'agit d'une forme indéterminée du type " 0 0 • Levons l'indétermination à l'aide de l'expression conjuguée : -1-2 -5 X -1-2 YX -1+2 Y -5 X -1+2 Y -1-4 -5 X -1+2 Y -5 -5 Xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limites et formes indeterminées
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