[PDF] 3. Limites et fonctions continues

View - Download 3. Limites et fonctions continues

Previous PDF

Next PDF

3.Limiteset fonctionscontinues

3.1Notionsdef onction

3.1.1DeÞnitions

DeÞnition3.1.1Unefonction dÕunevariablerŽelleˆv aleursrŽellesest uneapplicationf:U•

R,oUestunepartie deR.EngŽnŽral, Uestuninterv alleou unerŽuniondÕintervalles.On appelleUledomainede dŽÞnitiondela fonctionf. •Exemple3.1LafonctionGin verseG: f:]G•,0[#]0,+•[•R x$• 1 x

LegraphedÕune fonctionf:U•Restlapartie G

f deR 2 dŽÞnieparG f ={(x,f(x))|x%U}. •Exemple3.2LegraphedÕune fonction(ˆg auche),lÕex empledugraphe dex$• 1 x (ˆdroite).

48Chapitre3.Limitesetfonctions continues

Soientf:U•Retg:U•RdeuxfonctionsdŽÞnies surune mmepartieUdeR.Onpeut alorsdŽÞnirles fonctionssui vantes: ¥lasommede fetgestlafonction f+g:U•RdŽÞniepar(f+g)(x)=f(x)+g(x)pour toutx%U; ¥leproduitde fetgestlafonction f&g:U•RdŽÞniepar(f&g)(x)=f(x)&g(x)pour toutx%U; ¥lamultiplicationpar unscalaire •%Rdefestlafonction f:U•RdŽÞniepar(•f)(x)= •f(x)pourtoutx%U.

3.1.2FonctionsmajorŽes, minorŽes,bornŽes

DeÞnition3.1.2Soientf:U•Retg:U•Rdeuxfonctions.Alors :

¥f'gsi(x%U,f(x)'g(x);

¥f'0si(x%U,f(x)'0;

¥f>gsi(x%U,f(x)>g(x);

¥festditeconstante surUsi)G%R,(x%U,f(x)=G;

¥festditenulle si(x%U,f(x)=0.

DeÞnition3.1.3Soitf:U•Runefonction.Alors :

¥festmajorŽesur Usi)M%R,(x%U,f(x)*M;

¥festminorŽesur Usi)m%R,(x%U,f(x)'m;

¥festbornŽesur Usifestˆla foismajorŽeet minorŽesurU,cÕest-ˆ-diresi )M%R, (x%U,|f(x)|*M. VoicilegraphedÕunefonction bornŽe(minorŽepar metmajorŽepar M).

3.1.3Fonctionscroissantes ,dŽcroissantes

DeÞnition3.1.4Soitf:U•Runefonction.On ditque :

¥festcroissantesur Usi(x,y%U,x*y+f(x)*f(y)

¥feststrictementcroissante surUsi(x,y%U,xf(y) ¥festmonotone(resp. strictementmonotone) surUsifestcroissanteou dŽcroissante (resp.strictementcroissante oustrictementdŽcroissante) surU. •Exemple3.3

¥LafonctionGracine carrŽeG

[0,+•[•R x$• x eststrictementcroissante.

3.1Notionsde fonction 49

¥LesfonctionsGe xponentielleGexp:R•RetGlogarithmeG ln:]0,+•[•Rsontstrictement croissantes.

¥LafonctionGv aleur absolueG

R•R

x$•|x| nÕestnicroissante, nidŽcroissante.P arcontre, lafonction [0,+•[•R x$•|x| eststrictementcroissante.

3.1.4ParitŽetpŽriodicitŽ

DeÞnition3.1.5SoitIunintervalle deRsymŽtriqueparrapport ˆ0 (cÕest-ˆ-diredela forme ]Ga,a[ou[Ga,a]ouR).Soitf:I•RunefonctiondŽÞnie surcetinterv alle.Ondit que:

¥festpairesi (x%I,f(Gx)=f(x),

¥festimpairesi (x%I,f(Gx)=Gf(x).

InterprŽtationgraphique:

¥festpairesi etseulement sisongraphe estsymŽtriquepar rapportˆlÕax edesordonnŽes (Þguredeg aucheci-dessous). ¥festimpairesi etseulement sisongraphe estsymŽtriquepar rapportˆlÕorigine (Þgurede droiteci-dessous). •Exemple3.4

¥LafonctiondŽÞnie surRparx$•x

2n (n%N)estpaire.

¥LafonctiondŽÞnie surRparx$•x

2n+1 (n%N)estimpaire. ¥Lafonctioncos :R•Restpaire.La fonctionsin :R•Restimpaire. DeÞnition3.1.6Soitf:R•Runefonctionet TunnombrerŽel, T>0.Lafonction festdite pŽriodiquedepŽriode Tsi(x%R,f(x+T)=f(x).

50Chapitre3.Limitesetfonctions continues

•Exemple3.5Lesfonctionssinus etcosinus sont2#-pŽriodiques.La fonctiontangenteest #-pŽriodique.•

3.2Limites

3.2.1DŽÞnitions

Limiteenun point

Soitf:I•RunefonctiondŽÞnie surun intervalle IdeR.Soitx 0 %Runpointde Iouune extrŽmitŽdeI. DeÞnition3.2.1Soit•%R.Ondit quefapourlimite •enx 0 si ($>0,)%>0,(x%I,|xGx 0 |<%+|f(x)G•|<$ Onditaussi quef(x)tendvers •lorsquextendvers x 0 .Onnote alorslim x•x 0 f(x)=•. R LÕordredesquantiÞcateurs(et)estimportantet onne peutpasles Žchanger,le %dŽpendant engŽnŽraldu $. •Exemple3.6

¥lim

x•x 0 x= x 0 pourtoutx 0 '0. 0 %Z. DeÞnition3.2.2SoitfunefonctiondŽÞnie surun ensembledela forme]a,x 0 [#]x 0 ,b[.

¥Onditque fapourlimite +•enx

0 si (A>0,)%>0,(x%I,|xGx 0 |<%+f(x)>A

Onnotealors lim

x•x 0 f(x)=+•.

¥Onditque fapourlimite G•enx

0 si (A>0,)%>0,(x%I,|xGx 0 |<%+f(x)Onnotealors lim x•x 0 f(x)=G•.

LimiteenlÕinÞni

Soitf:I•RunefonctiondŽÞnie surun intervallede laformeI=]a,+•[.

3.2Limites51

DeÞnition3.2.3

¥Soit•%R.Ondit quefapourlimite •en+•si ($>0,)B>0,(x%I,x>B+|f(x)G•|<$

Onnotealors lim

x•+• f(x)=•.

¥Onditque fapourlimite +•en+•si

(A>0,)B>0,(x%I,x>B+f(x)>A type]G•,a[. •Exemple3.7Onales limitesclassiquessui vantespour toutn'1:

¥lim

x•+• x n =+•etlim x•G• x n +•sinestpair

G•sinestimpair

¥lim

x•+• G 1 x n =0etlim x•G• G 1 x n =0

Limitesˆg aucheetˆ droite

SoitfunefonctiondŽÞnie surun ensembledela forme]a,x 0 [#]x 0 ,b[.

DeÞnition3.2.4

¥Onappellelimite ˆdroiteen x

0 deflalimitede lafonctionf |x 0 ,b[ enx 0 etonla note lim x 0 f.

¥Onappellelimite ˆg aucheenx

0 deflalimitede lafonction f ]a,x 0 enx 0 etonla note lim x G 0 f.

¥Onnoteaussi lim

x•x 0 x>x 0 f(x)pourlalimite ˆdroite etlim x•x 0 x0,)%>0,x 0 Demme,f:I•Radmetunelimite • %Rˆgauche enx 0 sietseulement si: ($>0,)% >0,x 0 G% ¥Silafonction fadmetunelimite enx 0 ,alorsses limitesˆ gaucheet ˆdroiteco•ncident et valentlim x•x 0 f(x). ¥RŽciproquement,sifaunelimite ˆgauche etune limiteˆdroite enx 0 etsices limitesvalent f(x 0 )(fŽtantbiendŽÞnie enx 0 )alorsfadmetunelimite enx 0

¥commepourtout x%]2,3[,E(x)=2,ona lim

x•2

E(x)=2,

¥commepourtout x%[1,2[,E(x)=1,ona lim

x•2 G

E(x)=1,

52Chapitre3.Limitesetfonctions continues

Lesdeuxlimites Žtantdif fŽrentes,onen dŽduitqueEnÕapasde limiteen x 0 =2.•

3.2.2PropriŽtŽsdeslimites

Proposition3.2.1Siunefonction admetunelimite, alorscette limiteestunique.

Soientdeuxfonctions fetg.Onsuppose quex

0 estunrŽel, ouquex 0

Proposition3.2.2Silim

x•x 0 f(x)=•%Retlim x•x 0 g(x)=• %R,alors:

¥lim

x•x 0

¥lim

x•x 0 (f(x)+g(x))=•+•

¥lim

x•x 0 (f(x)&g(x))=•&•

¥Si•.=0alorslim

x•x 0 1 f(x) 1

¥Silim

x•x 0 f(x)=+•(ouG•)alorslim x•x 0 1 f(x) =0

Proposition3.2.3Silim

x•x 0 f(x)=•etlim x•x 0 g(x)=• alorslim x•x 0 g/f(x)=• R

Envoici uneliste:

+•G•,0&•, 0 0 ,1 0 inŽgalitŽlarge.

Proposition3.2.4

¥Sif*getsilim

x•x 0 f(x)=•%Retlim x•x 0 g(x)=• %R,alors•*•

¥Sif*getsilim

x•x 0 f(x)=+•,alorslim x•x 0 g(x)=+•.

Sif*g*hetsilim

x•x 0 f(x)=lim x•x 0 h(x)=•%R,alorsgaunelimite enx 0 etlim x•x 0 g(x)=•.

3.3ContinuitŽen unpoint 53

3.3ContinuitŽenun point

3.3.1DŽÞnition

SoientIunintervalle deRetf:I•Runefonction.

DeÞnition3.3.1

¥Onditque festcontinueen unpoint x

0 %Isi ($>0,)%>0,|xGx 0 |<%+|f(x)Gf(x 0 cÕest-ˆ-diresifadmetunelimite enx 0 ,cettelimite valant nŽcessairementf(x 0 ¥Onditque festcontinuesur Isifestcontinueen toutpoint deI. •Exemple3.9Lesfonctionssui vantessont continues:

¥unefonctionconstante surun intervalle,

¥lafonctionracine carrŽex$•

xsur[0,+•[,

¥lesfonctionssinus etcosinussur R,

¥lafonctionv aleurabsoluex$•|x|,

¥lafonctione xponentiellesur R,

¥lafonctionlog arithmenŽpŽrien sur]0,+•[. Intuitivement,unefonctionestcontinuesur unintervalle sionpeut tracersongraphe sanslev erle crayondela feuille,cÕest-ˆ-diresi sacourbereprŽsentati venÕadmet pasde saut.

Voicidesfonctionsquine sontpascontinues enx

0

54Chapitre3.Limitesetfonctions continues

3.3.2PropriŽtŽs

LacontinuitŽassure parex emplequesi lafonctionnÕest pasnulleenunpoint(cequiest une propriŽtŽponctuelle)alors ellenÕest pasnulleautour decepoint (propriŽtŽlocale). Lemme3.3.1Soitf:I•RunefonctiondŽÞnie surun intervalleIetx 0 unpointde I.Sif estcontinueen x 0 etsif(x 0 ).=0,alorsil existe %>0telque (x%]x 0 G%,x 0 +%[,f(x).=0.

LacontinuitŽse comportebiena vecles opŽrationsŽlŽmentaires.Les propositionssui vantessont

desconsŽquencesimmŽdiates despropositionsanalogues surleslimites. Proposition3.3.2Soientf,g:I•Rdeuxfonctionscontinues enunpoint x 0 %I.Alors:

¥•festcontinueen x

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] limites et fonctions composée

[PDF] Limites et formes indeterminées

[PDF] Limites et propriétés

[PDF] Limites et tangente

[PDF] Limites et théorème des gendarmes

[PDF] limites exercices

[PDF] limites fonctions trigonométriques exercices corrigés pdf

[PDF] limites forme indeterminée minimum

[PDF] limites formes indéterminées

[PDF] limites formes indéterminées exercices

[PDF] limites formules

[PDF] Limites Ln

[PDF] limites ln exercices corrigés

[PDF] limites polynome de degré 3

[PDF] limites suites terminale es