LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction composée. Méthode : Déterminer la limite
Limites de fonctions - Lycée dAdultes
9 oct. 2014 3 Limites des fonctions élémentaires. 4. 4 Opérations sur les limites ... 5 Limite d'une fonction composée. 6. 6 Théorèmes de comparaison.
Limites de fonctions composées On a besoin détudier la limite en
31 janv. 2011 Limites de fonctions composées ... besoin d'étudier la limite en ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u.
LIMITES DES FONCTIONS
On dit que la fonction admet pour limite L en +? si ( ) est aussi proche de L que Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.
Terminale S - Limites de fonctions
Exemple 1: Déterminer la limite en +? de la fonction définie sur ?{0} par. ( ) = 2) Limite de la composée d'une suite et d'une fonction.
LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)
On souhaite calculer la limite de la fonction f en +? . On considère les fonctions u et v Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.
DÉRIVATION
La fonction f est la composée de deux fonctions et telles que : On en déduit comme limite de fonction composée
Limites de fonctions - Lycée dAdultes
3 oct. 2014 Limite d'une fonction composée. Exercice 4. Déterminer les limites des fonctions suivantes au point d'abscisse demandé. 1) f(x) = ?.
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Donc comme limite de fonction composée : lim. ?. ° = ° = . 2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances.
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l'ordre n en (DL d'une composée) Soient f une fonction réelle définie au voisinage de x0 ...
LIMITES DES FONCTIONS
Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini
1) Limite infinie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.
Remarques :
- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales. 22) Limite finie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞,si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on
note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher.
Définition : Si lim
=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontaleà la courbe de la fonction en +∞.
3Remarques :
• Lorsque tend vers +∞, la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. • On a une définition analogue en -∞.3) Limites des fonctions de référence
Propriétés :
- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A
1) Définition
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .
Exemple :
La fonction définie par
13-
+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.On a par exemple :
2,99 13-2,99
+1=1012,9999
13-2,9999
+1=10001Les valeurs de la fonction deviennent aussi
grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.La courbe de la fonction "se rapproche" de la
droite d'équation =3 sans jamais la toucher. 4Définition : Si : lim
=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .2) Limite à gauche, limite à droite :
Exemple :
Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou limOn parle de limite à droite de 0
Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou limOn parle de limite à gauche de 0.
Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonctionVidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . 5Correction
a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2) -∞-425+∞ -∞-425+∞ +∞+∞ +∞556-∞
6Partie 3 : Opérations sur les limites
1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites
peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim lim lim F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ∞ 0 lim lim F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ≠0 0 lim ′≠00 ∞ ∞
0 lim ∞ 0 ∞ F.I. F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opérationVidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs
Déterminer les limites suivantes : a)lim
-53+
b) lim1-2
-3Correction
a) lim -53+
F lim -5=-∞ lim =+∞lim3+
Comme limite d'un produit : lim
-53+
7 b) lim1-2
-3 lim1-2=1-2×3=-5
lim -3=0Une limite de la forme "
» est égale à " ∞ ».
Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "» est égale à " +∞ ».
D'où, comme limite d'un quotient : lim
1-2
-32) Cas des formes indéterminée (non exigible)
Comme pour les suites, on rappelle que :
Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1) - NON EXIGIBLEVidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk
Calculer : lim
-3 +2 -6+1Correction
lim -3 +2 -6+1=? • F lim -3 lim2
On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1= M-3+ 2 6 1 N •lim 2 =lim 6 2 =lim 1 3 =0.Donc, par limite d'une somme :
lim -3+ 2 6 1 =-3 •P lim -3+ 2 6 1 =-3 lim 8Donc, par limite d'un produit :
lim M-3+ 2 6 1N=-∞
Soit : lim
-3 +2 -6+1=-∞. Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations - NON EXIGIBLEVidéo https://youtu.be/8tAVa4itblc
Vidéo https://youtu.be/pmWPfsQaRWI
Calculer : a) lim
2
2 -5+16
2 -5 b) lim3
2 +24-1
Correction
a) • En appliquant la méthode précédente pour le numérateur et le dénominateur cela
conduirait à une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :2
-5+16
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