[PDF] Exercices dOrsay Table des mati`eres

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L1Exercices d"Orsay

Table des mati`eres

I SM1 Exercices 4

1 Nombres complexes 4

1.1 Forme cart´esienne, forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 G´eom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Ensembles, r´eels 5

2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 R´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Logique et raisonnements 8

4 Fonctions, limites 9

4.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Continuit´e 10

6 D´erivabilit´e 11

6.1 D´efinition, calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2 Th´eor`eme de Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Convexit´e13

7.1 Convexit´e, concavit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.3 Fonctions trigonom´etriques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.4 Croissance compar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II SM1 Devoirs 16

8 Devoir : Nombres complexes 16

1

9 Devoir : In´egalit´es, nombres complexes, r´ecurrence 17

9.1 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9.3 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9.4 Probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10 Devoir : Fonctions 18

11 Devoir : Limites, continuit´e 19

12 Devoir : D´erivabilit´e 20

13 Devoir : Fonctions r´eciproques 21

14 Examen22

III SM2 Exercices 22

15 Int´egration 22

16

´Equations diff´erentielles 24

17 Matrices, syst`emes lin´eaires 25

18 Espaces vectoriels : d´efinition 27

19 Espaces vectoriels : bases, dimension 28

20 Applications lin´eaires 30

21 Int´egrales multiples 32

IV SM2 Devoirs 34

22 Devoir : Int´egration 34

23 Devoir :

´Equations diff´erentielles 34

24 Devoir : Matrices 35

25 Devoir : Int´egration 35

26 Devoir :

´Equations diff´erentielles 36

27 Devoir : Matrices, syst`emes lin´eaires 37

28 Devoir : Espaces vectoriels 37

29 Devoir : Espaces vectoriels 38

30 Interrogation : Espaces vectoriels 38

2

31 Interrogation : Int´egration, ´equations diff´erentielles 39

32 Interrogation : Espaces vectoriels 39

33 Examen : partiel 39

34 Examen : Juin 2004 40

35 Examen : Septembre 2004 41

V Corrections 43

3

Premi`ere partie

SM1 Exercices

1 Nombres complexes

1.1 Forme cart´esienne, forme polaire

Exercice 1Calculer le module des nombres complexes suivants : Z

1=-i;Z2= 1 +i;Z3= 2i(3 +i)(1 +i)

Z

4=(2 + 3i)(1 + 2i)(-1 +i)(1 +i);Z5=(1 +i)42 +i;Z6=2 +i1-i+2i1 +i

Exercice 2Placer sur le cercle trigonom´etrique les nombres complexes suivants : Z Exercice 3Mettre sous forme trigonom´etrique les nombres complexes suivants :

1 +i; 1-i⎷3 ;-⎷3 +i;1 +i⎷3⎷3-i

Exercice 4Mettre sous forme alg´ebrique, c"est-`a-dire sous la formea+ib(a,b?R), les nombres complexes suivants : Z

1=3 + 6i3-4i;Z2=?1 +i2-i?

2 +3 + 6i3-4i;Z3=2 + 5i1-i+2-5i1 +i Z 4=? 12 +i⎷3 2 3 ;Z5=(1 +i)9(1-i)7

1.2 Trigonom´etrie

Le but des exercices suivants est de retrouver les formules usuelles de trigonom´etrie `a partir

des propri´et´es de l"exponentielle complexe. On rappelle les propri´et´es suivantes (x, y?R) :

|eix|= 1 ;ei(x+y)=eixeiy;eix= cosx+isinx.

Exercice 51. Montrer que (eiθ)-1=e

iθ=e-iθ(θ?R).

2. Etablir les formules d"Euler :

cosθ=eiθ+e-iθ2 et sinθ=eiθ-e-iθ2i. Exercice 61. Calculer sin(x+y), cos(x+y) et tan(x+y) en fonction des sinus, cosinus et tangente dexou dey; en d´eduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y?R).

2. Calculer cosxet sinxen fonction de tanx2

pourx?=π+ 2kπ , k?Z.

Exercice 7En utilisant les formules d"Euler,

4

1. exprimer cosacosb, sinasinbet cosasinb`a l"aide de somme de cosinus et/ou sinus,

2. lin´eariser cos

2aet sin2a.

Exercice 8Etablir la formule de Moivre (θ?R,n?N) : (cosθ+isinθ)n= cos(nθ) +isin(nθ).

Exercice 9CalculerZ= (1 +i⎷3)

2003.
Exercice 10Calculer cos(π/12).D´eveloppercos(x-y)pour de "bonnes" valeurs dexety. Exercice 11R´esoudre dansRles ´equations suivantes et placer les images des solutions sur le cercle trigonom´etrique : sinx=⎷3 2 ; tanx=-1.

Exercice 12R´esoudre dansRl"´equation

cos(5x) = cos?2π3 -x?

1.3 G´eom´etrie

Exercice 131. R´esoudre dansCl"´equationz/(z-1) =i. Donner la solution sous forme alg´ebrique.

2. SoientM,OetAles points d"affixes respectivesz, 0, 1; on suppose que ces trois points

sont distincts. Interpr´eter g´eom´etriquement le module et un argument dez/(z-1) et retrouver la solution de l"´equation du (1).

Exercice 14Trouver les nombres complexesztels que

a)z-1z+ 1?R;b)z-1z+ 1?iR.

2 Ensembles, r´eels

2.1 Ensembles

Exercice 15On poseA={(x,y)?R2;y > x2-1}etB={(x,y)?R2;y <1-x2}. Repr´esenter graphiquementA,B,A∩B,A?B,?A,?B,?A??Bet?(A∩B).Tous les compl´ementaires sont pris ici dansR2.Ecrire chacun de ces ensembles sous la forme{(x,y)? R

2;...}.

Exercice 16SoientAetBdeux parties d"un ensembleE. Exprimer?(A∩B) et?(A?B) `a l"aide de?Aet?B. Exercice 17Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ´eventuellement vide, I 1=10? n=1? 1-1n ,2-1n ;I2=10? n=1? 1-1n ,2-1n I

3=+∞?

n=1[n,+∞[ ;I4=+∞? n=1? 1n 5

2.2 R´eels

Exercice 18Mettre sous forme de fractions irr´eductibles les nombres rationnels suivants, donn´es par leurs d´eveloppements d´ecimaux p´eriodiques : x

1= 3,14?14...;x2= 0,9?9...;x3= 3,149?9...

Exercice 191. Montrer que pour toutn?1, on a :⎷n+ 1-⎷n=1⎷n+ 1 +⎷n

2. Montrer que pour tout entiern?1, on a

2( ⎷n+ 1-⎷n)<1⎷n <2(⎷n-⎷n-1)

3. En d´eduire un encadrement de la somme

?N n=11⎷n , pour toutN?1.

4. Quelle est la partie enti`ere de 1 +

1⎷2

+1⎷3 +···+1⎷10000 Encadrer s´epar´ement la somme den= 2`aN= 10000, puis den= 1`aN-1. Exercice 20On noteE(x) la partie enti`ere d"un r´eelx, c"est `a direE(x) est l"unique entier relatif v´erifiantE(x)?x < E(x) + 1.

1. Montrer que pour tout r´eelsxety, on aE(x) +E(y)?E(x+y)?E(x) +E(y) + 1.

2. CalculerE(x) +E(-x) pourxr´eel.

3. Montrer que pour tout entier natureln?1 et pour tout r´eelx,E(x) =E?E(nx)/n?.

Exercice 21Comparer 6⎷5 et 8

⎷3, puis

2⎷6-⎷5

et3⎷5-⎷2 +4⎷6 + ⎷2 Exercice 22Soientxetydes r´eels tels que-5?x?4 et-10?y?-6. Trouver des encadrements dex+y,x-y,xy,x/yet⎷x

2. Que peut-on dire de 1/x?

-facultatifmˆeme question pour-7?x?9 et-2?y?-1. R´eponse :-9?x+y?8 ;-6?x-y?11 ;-18?xy?14 ;-9?x/y?7 ; 0?⎷x 2?9 -facultatifmˆeme question pour-12?x?1 et-3?y?4. R´eponse :-15?x+y?5;-16?x-y?4;-48?xy?36; 0?⎷x 2?12. x/yn"est pas d´efini poury= 0 et{x/y;-12?x?1 et-3?y?4 ety?= 0}est non born´e. -facultatifmˆeme question pour 3?x?4 et-5?y?-3

R´eponse :-2?x+y?1; 6?x-y?9;-20?xy?-9;-43

?x/y?-35 ; 3?⎷x 2?4.

Exercice 23Dans cet exercice, on demande d"utiliser les propri´et´es de la relation d"ordre dans

Ret non d"´etudier les variations d"une fonction. R´esoudre dansRles in´equations suivantes :

a)|x-3|+|x+ 4|?7 b) 0?⎷x

2+ 3-⎷x

2+ 1?1

c)⎷x

2-4x+ 4?|3x2

-1| d) 02+x-2>1 +x2

Exercice 25D´emontrer l"implication suivante :

|x|?1 =?????x+ sinxx

7+x-3?

????2 Exercice 26Pour tout r´eelanon nul, on noteIa={x?R| |x-a|<|a|/2}.

1. D´ecrire en termes d"encadrement, puis en termes d"intervalle, l"ensembleIa. Hachurer sur

la droite r´eelle l"ensembleIapoura=-2 eta= 1. V´erifier que pour toutx?Ia, alorsx est non nul et a mˆeme signe quea.

2. Peut-on dire qu"il existe une constantem >0 ind´ependante deatelle que pour toutx

appartenant `a l"ensembleIa, on ait|x|> m? Exercice 27D´eterminer si les ensembles suivants sont born´es et en donner eventuellement des bornes. {n-1n+ 1|n?N},{(-1)nn|n?N},{(-1)n+1n |n?N?}.

Exercice 28Soitz?Ctel que 2?|z|?4. Montrer que

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