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Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +? et ?? que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur Si f(x) = anxn +
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Remarques : • Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l'infini le quotient tend vers zéro : 0+ ou 0- selon la règle des signes
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Remarque : Lorsque x tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement : On dit que la
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Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule : par exemple ?a sous-entend a ? 0 n ? N? k est une constante
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tend vers l'infini mais verrons également des limites lorsque x s'approche d'une valeur réelle Pour cela X est calculé par la formule où N est une
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Formule de Taylor développements limités applications 1 Rappel de cours 1 1 Formule de Taylor Si une fonction f(x) est définie et continue sur [a b]
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La seule vraie nouveauté sera la définition rigoureuse de la notion de limite (dite "définition avec des ?") 1 LimitES dE FoNCtioNS 1 1 Retour sur les
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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x ?????? x?+? 0 x lnx ?????? x?0+ 0 ln(x) x ?1 ???? x?1 1 ln(1+ x)
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1) Limites 1-1 méthodes pour lever une indétermination au voisinage d'un infini Exemple1 f(x) = x + 1 x2 + 3x + 1 Quelle est la limite en +? ?
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faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f Nous allons voir trois formules de Taylor elles auront toutes la même partie polynomiale
Fiche technique sur les limites
1Fonctionsélémentaires
Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.1.1Limiteen+1et1
f(x)x n1 x npx1pxln(x)e xlim x!+1f(x)+10+10+1+1lim x!1f(x)npair+1 nimpair10non défininon défininon défini01.2Limiteen0
f(x)1 x n1pxln(x)lim x!0x>0f(x)+1+11 lim x!0x<0f(x)npair+1 nimpair1non défininon défini2Asymptotesparallèlesauxaxes Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!1f(x)=lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflimx!af(x)=1La droitex=aest asymptote verticale àCf3Opérationsurleslimitesetformesindéterminées
3.1Sommedefonctions
Sifa pour limitelll+11+1Siga pour limitel
0+11+111
alorsf+ga pour limitel+l0+11+11F. Ind.Paul Milan 1 sur
3Terminale ES
3.2Produitdefonctions
3.2Produitdefonctions
Sifa pour limitell,001
Siga pour limitel
0111alorsfga pour limitell01*F. ind.1**Appliquer la règle des signes
3.3Quotientdefonctions
Sifa pour limitell,00l11
Siga pour limitel
0,0001l1
alors fg a pour limitel l01*F. ind.01*F. ind.
*Appliquer la règle des signes4Polynômesetlesfonctionsrationnelles
4.1Fonctionpolynôme
Théorème 1Un polynôme a même limite en+1et1que son monôme du plus haut degré.Si P(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim Théorème 2Une fonction rationnelle a même limite en+1et1que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.Si f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+1f(x)=limx!+1a nxnb mxmetlimx!1f(x)=limx!1a nxnb mxmPaul Milan 2 sur3 Terminale ES4.3Asymptoteoblique
4.3Asymptoteoblique
Théorème 3Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du polynôme du numé- rateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+1et1.Soit f(x)=P(x)Q(x)et dP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équation y=ax+b alorslimx!1[(f(x)(ax+b)]=05Fonctionslogarithmeetexponentielle5.1Fonctionlogarithme
Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en+1et en0.En+1limx!+1ln(x)x
=0;limx!+1ln(x)x n=0En0 limx!0x>0xln(x)=0;limx!0x>0x
nln(x)=05.2Fonctionexponentielle
Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance en+1et en1.En+1limx!+1e
xx = +1;limx!+1e xx n= +1 En 1limx!1xex=0;limx!1xnex=0Paul Milan 3 sur3 Terminale ESquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limites ln exercices corrigés
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