[PDF] Mathématiques financières en 22 fiches

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Marie BOISSONNADE

Maître de conférences

Daniel FREDON

Maître de conférences

Mathématiques

fi nancières en 22 fi ches 5 e

édition

9782100745630-boisso-lim.indd 122/01/16 08:09Retrouver ce titre sur Numilog.com

© Dunod, 2016

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com

ISSN 1951-7874

ISBN 978-2-10-074563-0

9782100745630-boisso-lim.indd 222/01/16 08:09Retrouver ce titre sur Numilog.com

Notions de base

Fiche 1Rappels de mathématiques 1

Fiche 2

Les outils de calcul 12

Fiche 3

Intérêts simples 18

Fiche 4

Intérêts composés 26

Fiche 5

Taux d"intérêt 32

Fiche 6

Annuités 40

Emprunts et investissements

Fiche 7Emprunts indivis50

Fiche 8

Remboursement par échéances constantes 57

Fiche 9

Autres modes de remboursement 65

Fiche 10

Les emprunts obligataires 73

Fiche 11

Remboursement d"un emprunt obligataire 81

Fiche 12

Prix d"une obligation 90

Fiche 13

Gestion obligataire 98

Fiche 14

Choix des investissements 106

Études de cas

Fiche 15Plan d"épargne logement 118

Fiche 16

Emprunts à paliers 125

Fiche 17

Consommer à crédit 128

III

Sommaire

© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.

SommaireRetrouver ce titre sur Numilog.com

Fiche 18Partir à la retraite 132

Fiche 19

Renégocier une dette 138

Fiche 20

Financer un investissement locatif 142

Fiche 21

Choisir une obligation 146

Fiche 22

Revenus trimestriels et portefeuille obligataire 150

Index 155

IVMathématiques financièresRetrouver ce titre sur Numilog.com © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.

Rappels de mathématiques

I Concepts généraux

• L"objet de ce livre est d"étudier les mathématiques financières à un niveau élémen-

taire. Dans ce cas, les connaissances mathématiques nécessaires ne dépassent pas le niveau du baccalauréat. • Il peut cependant être utile à certains lecteurs de faire quelques révisions corres- pondant aux besoins des autres fiches. C"est l"objet de cette première fiche. • Il existe aussi des mathématiques financières de niveau théorique beaucoup plus élevé, dont les résultats sont utilisés par les professionnels de la Bourse et des Assurances. Mais elles ne seront pas abordées dans cet ouvrage.

II L"essentiel à savoir

A. Puissances

• Puissances entières

Soit a?

Ret n?N(avec n?2). On définit :

a n =a×a×···×a? nfacteurs

En posant de plus :

a 1 =a; a 0 =1(pour a?=0) ; a -n =1 a n (pour a?=0) on définit a n pour n?Z.

1FICHE 1- Rappels de mathématiques

FICHE1Retrouver ce titre sur Numilog.com

• Propriétés

a n ×a p =a n+p ;a n b n =(ab) n ;(a n p =a np

• Racine n-ième et puissance fractionnaire

Soit n? N et x>0. On appelle racine n-ièmede x, l"unique réel positif atel que a n =x. On écrit : a= n x=x 1 n

En particulier,

xse note x 1 2 Pour x>0,p? Z,q?N , on note x p q x 1 q p Les règles de calcul sur les exposants rationnels sont alors les mêmes que pour les exposants entiers.

B. Logarithme népérien

• La fonction x?→lnxest définie pour x>0.

Ses valeurs sont fournies par votre calculatrice.

Elle est telle que :

a0et b>0 ln(a r )=rlnapour tout rrationnel. Remarque : Du fait de cette dernière propriété, chaque fois que l"in- connue est en exposant, pensez à prendre le logarithme.

Exemple

Déterminez

ntel que (1,06) n =1,5. En écrivant que les logarithmes des deux membres de l"égalité sont eux- mêmes égaux, on obtient : (1,06) n =1,5??nln(1,06)=ln(1,5) ??n=ln(1,5) ln(1,06)≈7

2Mathématiques financièresRetrouver ce titre sur Numilog.com

• Comme lim

h→0 ln(1+h) h=1, lorsque hest " petit » on peut utiliser l"approximation :ln(1+h)≈h.

C. Exponentielle

• La fonction x?→e

x est définie pour tout x. Ses valeurs sont fournies par votre calculatrice.

Elle est telle que :

ln(e x )=xpour tout x; e lnx =xpour x>0. • Elle vérifie les propriétés algébriques : e a e b =e a+b ; e a e b =e a-b ?e a r =e ra pour tout rrationnel.

• Comme

lim h→0 e h -1 h=1, lorsque hest " petit » on peut utiliser l"approximation :e h ≈1+h.

D. Suites arithmétiques

• Définition

On dit qu"une suite

(u n )est une suite arithmétiques"il existe un réel rtel que : pour tout n? Nu n+1 =u n +r.

Le réel

rest appelé raisonde la suite.

Remarque :Pour vérifier qu"une suite (u

n )est une suite arithmétique, il suffit de vérifier que u n+1 -u n ne dépend pas de n.

• Terme général

Pour tout

n?

N, on a :

u n =u 0 +nr, ou encore en partant de u 1 u n =u 1 +(n-1)r.

3FICHE 1- Rappels de mathématiques

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1Retrouver ce titre sur Numilog.com

• Sommes des npremiers termes

u 0 +u 1 +···+u n-1 =nu 0 +u n-1 2·

E. Suites géométriques

• Définition

On dit qu"une suite

(u n )est une suite géométriques"il existe un réel q?=0tel que : pour tout n? Nu n+1 =u n

×q.

Le réel

qest appelé raison de la suite.

Remarque : Pour vérifier qu"une suite (u

n )est une suite géométrique, il suffit de vérifier que u n+1 u n ne dépend pas de n.

• Terme général

Pour tout

n?

N, on a :

u n =u 0 q n ou encore en partant de u 1 u n =u 1 q n-1

• Somme des npremiers termes

Si q?=1u 0 +u 1 +···+u n-1 =u 0 1-q n

1-q·

IIIComplément : notation Σ

• Symbole

Une somme comme

S=x 1 +x 2 +···+x 86
+x 87
se note : S= 87
i=1 x i

D"une façon générale, la notation

S= n i=1 x i désigne le réel obtenu en remplaçant i dans xquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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