Chapitre 4 - Séries numériques (résumé de cours)
On dira que la série ? un est : • convergente (CV) si limn?? Sn existe et on note alors ?n?0 un cette limite
Séries Numériques
sommes partielles est appelée la somme de la série : on note Soit ? un ? vn deux séries numériques et ? ? R un réel. ... Résumé de Cours. 2016-2017.
Séries
Mini-exercices.1. Calculer les sommes partielles Sn de la série dont le terme général est 1. 4k commençant à k = 1. Cette série est-elle convergente ?
Séries numériques
29 avr. 2014 Maths en Ligne. Séries numériques. UJF Grenoble. 1 Cours ... Comme premier exemple de série observons le développement décimal d'un réel.
Chapitre 2 :Séries numériques
L'ensemble des séries à termes dans K est muni d'une structure d'espace vectoriel par les lois : 4.0 International”. https://www.immae.eu/cours/ ...
02 - Séries numériques Cours complet
et est appelée « somme de la série ». Si une série n'est pas convergente
Chapitre 02 : Séries numériques
que l'on a tout mangé signifie que si on fait la somme de on trouvera 1 qu'on notera: . Paradoxe de Zénon : Une course est organisée entre une personne et une
Chapitre 5 - Séries entières (résumé de cours)
Séries entières (résumé de cours). Algèbre et analyse fondamentales - Paris 7 - O. Bokanowski - Octobre 2015. 5.1 Généralités Rayon d'une série entière.
Chapitre 4 - Séries numériques - Cours
Chapitre 4 - Séries numériques - Cours. Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr. CHAPITRE 4. Séries numériques.
Cours TD : les séries numériques
les suites numériques : monotonie convergence. les relations de comparaison entre suites : majoration
G´en´eralit´es
D´efinition :Soit(un)?RN,n?N. On appellesomme partiellede rangn, et on noteUn, la sommeUn=n? k=0u k.Lasuite des sommes partielles(Un)n?Nest appel´eela s´erie de terme g´en´eralun. On la note?un.
D´efinition :La s´erie?unest diteconvergentesi la suite des sommes partielles(Un)l"est. En ce cas, la limite des
sommes partielles est appel´ee lasommede la s´erie : on note n=0u n= limn→+∞Un= limn→+∞n k=0u k Lorsque la suite(Un)diverge, on dit que la s´erie estdivergente.Th´eor`eme-D´efinition*.- Restes d"une s´erie convergente -.Soit?unune s´erieconvergente.´Etant donn´ep?N
le reste d"ordrepde la s´erie?unest d´efini parRp=+∞? n=p+1u nde sorte que+∞? n=0u n=Up+Rp. De plus, la suite (Rp)p?Nestconvergente de limite nulle. Th´eor`eme*.-Soit?un,?vndeux s´eries num´eriques etλ?Run r´eel. ?Si?unconverge, alors? n≥n0u nconverge. ?Si?unconverge, alorsλ?unconverge et+∞? n=0(λun) =λ+∞? n=0u n ?Si?unet?vnconvergent, alors la s´erie?(un+vn) converge et+∞? n=0(un+vn) =+∞? n=0u n++∞? n=0v n ?Si?unconverge et?vndiverge, alors la s´erie?(un+vn) diverge. Th´eor`eme.- Condition n´ecessaire de convergence -.Soit?unune s´erie num´erique. Si ?unconvergealors(un) est convergente de limite nulle Vocabulaire :lorsqueun?→0, on dit que la s´erie?undiverge grossi`erement.S´eries `a termes positifs
Th´eor`eme.- Condition n´ecessaire et suffisante de convergence -.Soit?unune s´erie `a termes positifs. On note
(Un) la suite des sommes partielles. Alors unest convergentesi et seulement si(Un) est major´ee.Dans ce cas,
n=0u n= sup nUn.Lemme.-Soitf:R+→R+une fonction continue par morceaux, d´ecroissante et positive. Alors pour tout entier
natureln?N? n+1 n n n-1f(t)dt Savoir-faire :interpr´eter et illustrer cet encadrement comme aire de r´egions du planR´esum´e de Cours
2016-2017My Ismail Mamouni
http ://myismail.netSéries Numériques
1Th´eor`eme.- Comparaison s´erie-int´egrale -.Soitf:R+→R+une fonction continue par morceaux, d´ecroissante
et positive. AlorsLa serie
?f(n) convergesi et seulement sila suite? ?n 0 f(t)dt? n?Nconverge Th´eor`eme.- Comparaison des s´eries `a termes positifs -.Soitu,vdes suites positives. ?si la s´erie?vnconverge alors?unconverge aussi et+∞? n=0u n=0v n ?si la s´erie?undiverge alors?vndiverge aussi.Th´eor`eme.- R`egles des ´equivalents - .Soitu,vdes suites positives telles queun≂n→∞vn.
Alors les s´eries?unet?vnsont de mˆeme nature, ie.?unconvergesi et seulement si?vnconverge.S´eries absolument convergentes
D´efinition :Soit?unune s´erie. On dit que?unestabsolument convergentesi la s´erie?|un|est convergente.
Th´eor`eme.- Condition suffisante de convergence -.Soit?unune s´erie num´erique. Si ?unest absolument convergentealors?unest convergenteRemarque :dans ce cas,????+∞?
n=0u n=0|un|S´eries de r´ef´erence
Th´eor`eme.- Convergence des s´eries g´eom´etriques -.Soitx?R.La serie geometrique
?xnest convergentesi et seulement si|x|<1En ce cas, elle est absolument convergente.
Corollaire.- S´eries g´eom´etriques et d´eriv´ees -.Soitx?]-1,1[. ?la s´erie?xnest convergente et+∞? n=0xn=1 1-x. ?la s´erie?nxn-1est convergente et+∞? n=1nxn-1=1 (1-x)2. ?la s´erie?n(n-1)xn-2est convergente et+∞? n=2n(n-1)xn-2=2 (1-x)3. Th´eor`eme.- Convergence des s´eries de Riemann -.Soitα?Run r´eel donn´e.La serie de Riemann
n≥11 nαconvergesi et seulement siα >1
Corollaire*.- Comparaison `a une s´erie de Riemann : r`eglenαun-.Soit?unune s´erie `a termes positifs.
?S"il existeα >1 tel quenαun----→n→∞0, alors?unconverge. ?S"il existeα >1 tel quenαun----→n→∞??R+?, alors?unconverge.R´esum´e de Cours
2016-2017My Ismail Mamouni
http ://myismail.net 2quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] cours sig ppt
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