[PDF] Séries numériques 29 avr. 2014 Maths en

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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Séries numériques

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Disons-le tout net, ce chapitre n"est pas indispensable : d"ailleurs, vous ne verrez pas vraiment la différence avec les suites. Normal, il n"y en a pas. Alors pourquoi l"étudier? Au moins pour être sûr que vous ayez bien assimilé la notion de limite : si vous avez bien compris la convergence des suites, vous ne devriez pas avoir de problème ici. Les séries sont très proches des intégrales sur un intervalle non borné, et nous y ferons allusion à plusieurs reprises. Vous apprendrez plus tard qu"il s"agit de deux cas particuliers du

même objet. Cependant, vous n"êtes pas du tout obligés d"avoir assimilé les intégrales

pour comprendre les séries.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Séries à termes positifs ou nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Critères de Cauchy et de d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Sommes de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Entraînement 22

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Compléments 43

3.1 De Zénon d"Élée à von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Le théorème de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 De seriebus divergentibus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Vous avez le choix! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

29 avril 2014

Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Définitions et propriétés

Définition 1.Soit(un)n?Nune suite de réels ou de complexes. On appellesérie de terme généralun, et on note?unla suite des sommes partielles,(sn)n?N, où pour tout n?N, s n=u0+···+un=n i=0u i. Comme premier exemple de série, observons le développement décimal d"un réel strictement compris entre0et1. x= 0,a1a2...an... ,où pour toutn,an? {0,1,...,9}. Cette écriture correspond en fait à la série de terme général an10 n. La somme partiellesn

est l"approximation décimale par défaut à10-nprès. Voici les 50 premières décimales

de?1 2 ?1 2 = 0.70710678118654752440084436210484903928483593768847... Les nombres décimauxs1= 0.7,s3= 0.707,s6= 0.707106sont des sommes partielles de la série.

Les deux séries les plus souvent utilisées sont la série géométrique et la série expo-

nentielle.

Série géométrique

Le terme général d"une série géométrique estun=rn. Les sommes partielles ont une expression explicite. s n=n i=0ri= 1 +r+···+rn=? ??n+ 1sir= 1

1-rn+11-rsir?= 1

Série exponentielle

Le terme général de la série exponentielle estun= 1/n!, oùn!(factorielle) désigne le produit des entiers de1àn. Par convention,0! = 1. Les sommes partiellessnsont des rationnels mais n"ont pas d"expression explicite. Observons que n"importe quelle suite(sn)n?Npeut être vue comme une série, de terme généralun=sn-sn-1, pourn>1etu0=s0. Dans la plupart des cas, les sommes partielles n"ont pas d"expression explicite, et c"est souvent pour cela que l"on parle de série plutôt que de suite. 1

Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDéfinition 2.On dit que la série?unconverge versssi la suite des sommes partielles

converge verss, qui est appeléesomme de la série. n=0u n=s??limn→∞n k=0u k=s . Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Par exemple, le réelxest la limite de ses approximations décimales, et aussi la somme de la série?an10 n. La série géométrique?rnconverge si et seulement si|r|<1. Dans ce cas, la somme est 11-r. |r|<1 =?+∞? n=0rn=11-r. La somme de la série exponentielle est le nombree, dont le logarithme népérien vaut1.+∞? n=01n!= e?2.71828. Voici un exemple de série dont les sommes partielles sont explicitement calculables. n=01(n+ 1)(n+ 2)= 1.

En effet,

u n=1(n+ 1)(n+ 2)=1n+ 1-1n+ 2 donc u

0+u1···+un= 1-12

+12 -13 +···+1n+ 1-1n+ 2= 1-1n+ 2, et n=01(n+ 1)(n+ 2)= limn→∞1-1n+ 2= 1.

Considérons une série

?unet définissons la fonction en escalierfsur[0,+∞[par : ?n?N,?t?[n,n+ 1[, f(t)≡un. La somme partiellesnest l"intégrale defsur l"intervalle[0,n+1]. La série?unconverge si et seulement si l"intégrale?+∞

0f(t)dtconverge (voir figure 1).

n=0u n=?

0f(t)dt .

2 Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenobleun n n+1Figure1 - Somme d"une série, vue comme l"intégrale d"une fonction en escaliers sur [0,+∞[. Réciproquement, l"intégrale d"une fonction quelconque sur[0,+∞[peut être vue comme la somme de la série dont le terme général est l"intégrale sur[n,n+1[. Nous utiliserons par la suite cette parenté entre séries et intégrales. Comme la convergence d"une intégrale ne dépend que du comportement de la fonc- tion à l"infini, la convergence d"une série ne dépend pas de ses premiers termes. Changer un nombre fini de termes d"une série ajoute une même constante à toutes les sommes partielles à partir d"un certain rang. Cela ne change pas la nature, convergente ou divergente. Si elle est convergente, sa somme est évidemment modifiée. Par exemple : n=11n!= e-1. Le fait de calculer la somme d"une série à partir den= 0est purement conventionnel. On peut toujours effectuer un changement d"indice pour se ramener à une somme à partir de0. Par exemple : n=21n(n-1)=+∞? m=01(m+ 1)(m+ 2)= 1, en posantm=n-2. Le terme général d"une série convergente tend vers0. Théorème 1.Si la série?unconverge, alors la suite(un)n?Ntend vers0. n=0u n=s=?limn→∞un= 0.

La contraposée de ce résultat est souvent utilisée : une série dont le terme général

ne tend pas vers0ne peut pas converger. 3

Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDémonstration: Pour toutn?N, posonssn=?nk=0uk. Pour toutn>1,un=

s n-sn-1. Si?unconverge, la suite(sn)n?Nconverge vers la sommesde la série. Il en est de même de la suite(Sn-1)n?N?. Par linéarité de la limite, la suiteuntend vers s-s= 0.

Par exemple la série de terme général

u n=?1sin= 2k

0sinon

diverge : même si les termes non nuls sont très rares il y en quand même une infinité! Le fait que le terme général tende vers0n"est qu"une condition nécessaire de conver- gence. De nombreuses séries divergentes ont un terme général qui tend vers0. Par exemple, la série de terme généralun=1n+1diverge. En effet : s

2n-1-sn-1=1n+ 1+···+12n>n2n=12

La suite des sommes partielles n"est pas de Cauchy, donc elle ne converge pas. La linéarité des limites entraîne immédiatement le théorème suivant. Théorème 2.Soient?unet?vndeux séries convergentes, de sommes respectivesset t. Soientαetβdeux complexes quelconques. Alors la série de terme généralαun+βvn est convergente, et sa somme estαs+βt.

Par exemple :

n=012 n+13 n=+∞? n=012 n++∞? n=013 n=11-12 +11-13 = 2 +32 =72 Comme conséquence de la linéarité, observons que si ?unconverge et?vndiverge, alors?un+vndiverge. Comme autre conséquence, pourα?= 0,?αunconverge si et seulement si?unconverge. Pour les séries à termes complexes la convergence équivaut à celle des parties réelle et imaginaire. Proposition 1.Soit(un)n?Nune suite de complexes. Pour toutn, notonsanetbnla partie réelle et la partie imaginaire deun. La série?unconverge si et seulement si les deux séries?anet?bnconvergent. Si c"est le cas, on a : n=0u n=+∞? n=0a n+ i+∞? n=0b n. Démonstration: Rappelons qu"une suite de nombres complexes converge si et seule- ment si la suite des parties réelles et la suite des parties imaginaires convergent. Si (An)n?Net(Bn)n?Nsont deux suites de réels : lim n→∞An=Aetlimn→∞Bn=B? lim n→∞An+ iBn=A+ iB? 4 Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleIl suffit d"appliquer ce résultat à A n=n k=0a netBn=n k=0b n, car la partie réelle d"une somme est la somme des parties réelles, et la partie imaginaire d"une somme est la somme des parties imaginaires. Considérons par exemple la série géométrique ?rn, oùrest un complexe de module ρ <1et d"argumentθ:r=ρeiθ. Pour toutn,rn=ρneinθ. Les parties réelle et imaginaire dernsont a n=ρncos(nθ)etbn=ρnsin(nθ). On déduit de la proposition précédente que : n=0a n=Re?11-r? et+∞? n=0b n=Im?11-r?

Le calcul donne :

n=0ρncos(nθ) =1-ρcos(θ)1 +ρ2-2ρcos(θ)et+∞? n=0ρnsin(nθ) =ρsin(θ)1 +ρ2-2ρcos(θ).

1.2 Séries à termes positifs ou nuls

Les séries à termes positifs ou nuls sont plus faciles à étudier. En effet siun>0 pour toutn, la suite des sommes partielles est croissante. s n-sn-1=un>0. Une suite croissante(sn)n?Nn"a que deux comportements possibles. Soit elle est majorée et elle converge, soit elle tend vers+∞. Les séries à termes positifs se comparent comme les intégrales de fonctions positives. Théorème 3.Soient?unet?vndeux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu"il existen0>0tel que pour toutn>n0,un6vn. •Si?vnconverge alors?unconverge. •Si?undiverge alors?vndiverge. Démonstration: Comme nous l"avons observé, la convergence ne dépend pas des pre- miers termes. On peut donc étudier les sommes partielles à partir den0. Pour tout

n>n0, notonssn=un0+···+unettn=vn0+···+vn. Les suites(sn)n>n0et(tn)n>n0sont croissantes, et de plus pour toutn>N sn6tn. Si la série?vnconverge, alors la

suite(tn)converge. Soittsa limite. La suite(sn)est croissante, et majorée part, donc 5 Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenobleelle converge, donc la série ?unconverge aussi. Inversement, si la série?undiverge, alors la suite(sn)tend vers+∞, et il en est de même pour la suite(tn). Comme premier exemple, considérons un développement décimal. Soit(an)n>1une suite d"entiers tous compris entre0et9. La série n=1a n10 nconverge.

En effet, son terme généralun=an10

nest majoré par910 n. La série géométrique?110 n converge, car110 <1. La série?910 nconverge aussi par linéarité, d"où le résultat.

Nous avons déjà vu que la série

n=01(n+ 1)(n+ 2)converge.

Nous allons en déduire que

n=11n

2converge.

En effet :

lim n→∞12n21 (n+1)(n+2)=12

En particulier, il existen0tel que pourn>n0:

12n261(n+ 1)(n+ 2).

En fait c"est vrai pourn>4, mais il est inutile de calculer une valeur précise den0. On en déduit que la série de terme général

12n2converge, d"où le résultat par linéarité.

Montrons maintenant que

n=1(ln(n))αn

3converge,

pour tout réelα. En effet : lim n→∞1n (ln(n))α= 0.

Donc il existen0tel que pourn>n0,

1n (ln(n))α61.

En multipliant les deux membres par

1n 2: (ln(n))αn 361n
2. 6 Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleComme la série ?1n

2converge, il en est de même de la série?(ln(n))αn

3, par le théorème

3.

Inversement, nous avons vu que la série?1n

diverge. On en déduit facilement que les séries?ln(n)n et?1⎷n divergent également. Le théorème de comparaison permet d"utiliser des équivalents. Théorème 4.Soient(un)et(vn)deux suites à termes strictement positifs, équivalentes au voisinage de+∞. u n≂+∞vn??limn→∞u nv n= 1.

Alors les séries

?unet?vnsont de même nature (convergentes ou divergentes). Démonstration: Par hypothèse, pour toutε >0, il existen0tel que pour toutn>n0, ????u nv n-1????< ε??(1-ε)vn< un<(1 +ε)vn. Fixonsε <1. Si?unconverge, alors par le théorème de comparaison 3,?(1-ε)vn converge, donc?vnégalement. Réciproquement, si?undiverge, alors?(1 +ε)vn diverge, et?vnaussi.

Par exemple,

?n2+ 3n+ 1n

4+ 2n3+ 4converge,

n+ ln(n)n

3converge.

Dans les deux cas, le terme général est équivalent à 1n

2, et nous avons vu que la série?1n

2converge. Par contre

n2+ 3n+ 1n

3+ 2n2+ 4diverge,

n+ ln(n)n

2diverge.

Dans les deux cas, le terme général est équivalent à 1n , et nous avons vu que la série?1n diverge. Les théorèmes 3 et 4 permettent de ramener les séries à termes positifs à un ca- talogue de séries dont la convergence est connue. Dans ce catalogue, on trouve les séries de Riemann?n-αet de Bertrand?n-1(ln(n))-β. On les étudie en utilisant les intégrales correspondantes grâce au théorème suivant, illustré sur la figure 2. Théorème 5.Soitfune fonction deR+dansR+, décroissante. La série de terme généralun=f(n)est de même nature (convergente ou divergente) que l"intégrale?+∞

0f(t)dt.

7 Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenobleunun+1 n n+1Figure2 - Comparaison entre une série à termes positifs et l"intégrale d"une fonction décroissante sur[0,+∞[. Démonstration: Commefest décroissante, les inégalitésun>f(x)>un+1sont vraies pour toutx?[n,n+ 1]. En intégrant entrenetn+ 1on obtient : u n>? n+1 nf(t)dt>un+1. Par la relation de Chasles, la somme de0àndonne : u

0+···+un>?

n+1

0f(t)dt>u1+···+un+1.

La série

?unconverge et a pour sommes, si et seulement si la suite des sommes partielles converge verss. Dans ce cas?n+1

0f(t)dtest majorée pars, et comme?x

0f(t)dt

est fonction croissante dex, l"intégrale converge. Réciproquement, si l"intégrale conver- ge, alors?n+1

0f(t)dtest majorée, la suite des sommes partielles aussi, et elle converge.

Rappelons que le point de départ de la sommation n"a pas d"influence sur la conver- gence des séries. Le théorème 5 reste vrai pour des fonctions définies sur[N,+∞[au lieu de[0,+∞[. Nous l"appliquons àf(t) =t-α, puisf(t) =t-1(ln(t))-β. x

1t-αdt=?

?11-α(x1-α-1)siα?= 1 ln(x)siα= 1 x

2t-1(ln(t))-βdt=?

?11-β(ln(x)1-β-ln(2)1-β)siβ?= 1 ln(ln(x))-ln(ln(2))siβ= 1 8 Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleSéries de Riemann

Siα61+∞?

n=1n-αdiverge.

Siα >1+∞?

n=1n-αconverge.

Séries de Bertrand

Siβ61+∞?

n=2n-1(ln(n))-βdiverge.

Siβ >1+∞?

n=2n-1(ln(n))-βconverge.

Nous retrouvons en particulier le fait que

?1n

2converge, alors que?1n

diverge. Voici deux exemples d"utilisation des équivalents pour la comparaison avec les séries de Riemann et de Bertrand.

La série+∞?

n=1ln? 1 +1n 2? converge.

En effet :

ln? 1 +1n 2? +∞1n 2, et la série de Riemann ?1n

2converge.

La série

n=11-cos? 1n ⎷ln(n)?sin( 1n )diverge.

En effet :

1-cos?

1n ⎷ln(n)?sin( 1n )≂+∞12nln(n), et la série de Bertrand ?1nln(n)diverge. Nous allons à nouveau appliquer le théorème de comparaison, pour montrer que si le terme général d"une série est un produit de facteurs dont l"un est dominant, alors la nature de la série est dictée par le terme dominant. Proposition 2.Soientretr?deux réels tels que0< r < r?<1. Soit(an)n?Nune suite telle que?rr nansoit bornée. Alors la série ?rn|an|converge. 9

Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDémonstration: Par hypothèse, il existeMtel que :

?????rr na n? ???< M . En multipliant les deux membres parr?n, on obtient : |rnan|6Mr?n. D"où le résultat par le théorème de comparaison 3, puisque ?r?nconverge. Comme application de cette proposition, sirest tel que0< r <1etαest un réel quelconque, la série ?nαrnconverge. Proposition 3.Soientαetα?deux réels tels que1< α?< αet(an)une suite telle quen-(α-α?)ansoit bornée. Alors la série ?n-α|an|converge. Démonstration: Par hypothèse, il existeMtel que : ???n-(α-α?)an???< M . En multipliant les deux membres parn-α?, on obtient : |n-αan|6Mn-α?. D"où le résultat par le théorème de comparaison 3, puisque ?n-α?converge. Comme conséquence de cette proposition, pour toutα >1et pour tout réelβ, ?n-α(ln(n))βconverge. Dans le catalogue des séries dont la nature est connue, on trouve aussi les séries géo-

métriques et la série exponentielle. Pour la comparaison avec les séries géométriques,

il existe deux critères mieux adaptés que les équivalents. Ils font l"objet de la section suivante.

1.3 Critères de Cauchy et de d"Alembert

Rappelons tout d"abord que la série géométrique ?rnconverge si|r|<1, diverge sinon. Les critères de Cauchy et de d"Alembert permettent de comparer une série à termes positifs avec les séries géométriques. Pour comparerunavecrn, le critère de

Cauchy porte sur

n⎷u n= (un)1n , le critère de d"Alembert surun+1u n. Voici le premier. Théorème 6.(Critère de Cauchy)Soit?unune série à termes positifs ou nuls. 10

Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenoble•S"il existe une constanter <1et un entiern0tels que pour toutn>n0,

n ⎷u n< r <1,alors?u nconverge. •S"il existee un entiern0tel que pour toutn>n0, n ⎷u n>1,alors?u ndiverge. Démonstration: Rappelons que la nature de la série ne dépend pas de ses premiers termes. Dans le premier cas, n ⎷u n< r=?un< rn.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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